数与式中典型例题串讲一1．若分式无意义，则的值的是（）A.0B.－2C.0或2D.±2【答案】C.【解析】试题分析：当时，分式无意义.∵即∴或∴或.故选C.考点：分式无意义的条件.2．多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（）A.4B.－4C.±2D.±4【答案】D.【解析】试题分析：使能用完全平方公式分解因式，则要使.即所以.故选D.考点：用公式法分解因式.3．下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题解析：解：A选项：不是同类项，不能合并同类项，故A选项错误；B选项：根据同底数幂的乘法，底数不变指数相乘，可得：，故B选项正确；C选项：根据幂的乘方与积的乘方可得：，C选项错误；D选项：根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得：，故D选项错误.故应选D.考点：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法点评：本题主要考查了关于幂的运算.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积；同底数幂相除，底数不变，指数相减.4．已知三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断中，正确的个数是（）①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个１５\n【答案】C【解析】由原点左边的数小于0，原点左边的数大于0所以，，，所以正确；由互为相反数的两个数在原点两侧，可知在原点右侧，且在的右侧，所以，故错误；∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a＋b＜0，③正确；④∵a＜c，∴c－a＞0，④正确．所以正确的判断为3个．故选C．考点：有理数的减法；数轴；有理数大小比较；有理数的加法；有理数的乘法．点评：此题主要考查学生数轴上的点的位置和数的关系，给学生渗透数形结合的思想．5．已知：，则的值为（）A．B．1C．-1D．-5【答案】B【解析】试题分析：本题根据题意可得：+1=3a，两边同除以a得：a+=3，则a+－2=3－2=1．考点：代数式求值的技巧．6．有理数a,b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（）jb<0<a;k|b|<|a|;lab＞0;ma－b＞a＋b.A．jkB．jmC．klD．lm【答案】B【解析】试题分析：根据数轴可得：b＜0＜a；；ab＜0；a－b＞a+b；∴正确的是①、④.考点：数的大小比较，绝对值的性质.7．已知点，，在反比例函数的图像上．下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：∵-k2-1＜0∴反比例函数的图像在一、三象限，∴故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①ab<0，②b2>4a，③0<a＋b＋c<2，④0<b<1，⑤当x>－1时，y>0．其中正确结论的个数是（）１５\nA．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】试题解析：解：因为二次函数图象的开口向下，所以a＜0，因为对称轴在y轴的右侧，所以＞0，所以b＞0，所以ab＜0，故①正确；因为抛物线与x轴有两个交点，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，所以＞0，因为抛物线与y轴的交点坐标是（0，1），所以c＝1，所以b2>4a，故②正确；因为抛物线过点（－1，0），对称轴在y轴的右侧，所以抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是x＞2，所以当x＝1时，0＜y＜2，所以0<a＋b＋c<2，故③正确；因为抛物线与x的交点是（－1，0），所以a－b＋c＝0，因为c＝1，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1，因为a＜0，所以b＜1，因为b＞0，所以0<b<1，故④正确；从图象上可以看出，当x>－1时，y可能大于0，也可能小于0，故⑤错误.所以有4个正确的.故应选C.考点：二次函数的图象点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质.二次函数当a＞0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；抛物线的对称轴是；抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）.9．观察下列各式：①.；②.；③.；……则第个式子为：.【答案】【解析】试题分析：本题关键是抓住等号的左边的第三个加数的底数是前面两个加数底数的和，而右边括号里的第三个加数是前面两个加数底数的积，可以用n来表示.试题解析：考点：找规律10．．【答案】．１５\n【解析】试题分析：正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数．正数大于负数．试题解析：根据题意得：当时,原式;当时,原式．当时,原式．纵观结果，最小,．考点：1数轴;2绝对值;3比较大小．11．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是________【答案】16或-16．【解析】试题分析：根据完全平方公式有x2+kxy+64y2=（x+8y）2或x2+kxy+64y2=（x-8y）2，则k=16或-16．试题解析：∵x2+kxy+64y2=（x+8y）2或x2+kxy+64y2=（x-8y）2，∴k=16或-16．考点：完全平方式．12．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为．【答案】m≥9.【解析】试题解析：解：因为无论x取任何实数，代数式都有意义，所以，因为，所以，所以，所以m－9≥0，所以m≥9.考点：二次根式的意义点评：本题主要考查了二次根式的意义.二次根式中的被开方数不能是负数.13．若n为正整数，观察下列各式：＝，＝，＝，…，根据观察计算：＋＋＋…＋＝________．【答案】【解析】试题分析：根据已知条件，将每一个分数分解成两个负数，寻找抵消规律求解．１５\n考点：有理数的混合运算．点评：本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．14．当x时，分式在实数范围内有意义．【答案】x＞2.【解析】试题解析：解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为0，可得：x－2＞0，所以x＞2.考点：分式、二次根式点评：本题主要考查了分式与二次根式.分式的分母不能等于0；二次根式中的被开方数是非负数.15．（3分）（2022•云南）观察规律并填空（1﹣）=•=；（1﹣）（1﹣）=•••==（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；…（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）【答案】【解析】试题分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=••••••…=．故答案为：．点评：此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．16．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：１５\n则第次运算的结果（用含字母和的代数式表示）．【答案】【解析】试题分析：根据题意得；；；根据以上规律可得：=．考点：规律题．17．设，，，…，，，则S4＝，S＝（用含的代数式表示，其中为正整数）．【答案】【解析】试题分析：观察可知；通过计算得到所以S＝1+1-+1+-+…+1+-=考点：二次根式，有理数的运算.18．计算：．【答案】解：【解析】试题分析：根据tan30°=，，，，代入计算，即可得出答案.考点：实数的混合运算.点评：本题主要考查了实数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，任何不等于零的零次幂都为0.学生还要熟练掌握二次根式的化简.19．（1）因式分解：x3+2x2y+xy2．（2）化简（a+b）2-（a-b）2（3）计算：１５\n（4）计算：（5）计算：【答案】（1）x（x+y）2．（2）4ab；（3）-1；（4）；（5）6．【解析】试题分析：（1）先提取公因式x，余下的因式用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先用完全平方公式把括号展开，再合并同类项即可；（3）按同分母分式加减法进行计算即可；（4）先把被除式和除式的分母进行因式分解，再用被除式乘以除式的倒数即可求出结果．（5）先分别计算算术平方根、绝对值、0次幂和负整数指数幂，然后再进行加减运算即可求出答案．试题解析：（1）原式=x（x2+2xy+y2）=x（x+y）2．（2）原式=（a2+2ab+b2）-（a2-2ab+b2）=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab；（3）原式=；（4）原式==（5）原式=3+4+1-2=6．考点：1．因式分解；2．分式的运算；3．有理数的混合运算．20．先化简，再求值：，其中.【答案】0.【解析】试题分析：本题分为化简和求值两大步骤.化简这一步要先算括号里面的，再算乘法；这是常规解法，也可利用分配律进行“简便”运算；化简后，再把a=-4代入求值.试题解析：原式＝＝当a=-4时，原式的值为0.考点：分式的计算和化简.21．请你先化简分式，再选取一个恰当的值代入求值．【答案】.【解析】１５\n试题分析：先进行分式的化简，再选取使分式有意义的x的值代入求值即可.试题解析：原式===当x=0时，原式=.考点：分式的化简求值.22．（9分）已知且试化简:（1）（2）【答案】（1）∵，，∴，．原式＝；（2）∵，，，∴，，，∴原式＝＝－1＋1＋1＝1．【解析】（1）根据绝对值的性质和，，求出，，然后对原式化简即可；（2）根据，，，得到，，，再对原式进行化简即可得出答案．考点：绝对值．点评：此题主要考查了绝对值的性质，由已知得出，，，，，是解题的关键．23．（9分）互为相反数，c与d互为倒数，的绝对值是5，试求代数式的值.【答案】∵a、b互为相反数，∴a＋b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵|m|＝5，∴m＝±5，当m＝5时，2022（a＋b）－3cd＋2m2＝2022×0－3×1＋2×52＝47；当m＝－5时，2022（a＋b）－3cd＋2m＝2022×0－3×1＋2×（－5）2＝47．【解析】根据相反数，绝对值，倒数的概念和性质求得a与b，c与d及m的关系或值后，代入代数式求值．考点：代数式求值；相反数；绝对值；倒数．点评：本题主要考查相反数，绝对值，倒数的概念及性质．（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；（2）倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；（3）绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．24．观察下列各式：；；１５\n；……根据前面各式的规律可得到．【答案】xn+1-1【解析】试题分析：根据题目给出的几个式子即可总结出规律.考点：平方差公式；探索数字规律点评：此题考查了平方差公式的应用，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．25．先化简，再求值：（8分）已知：当时，求的值．【答案】解：当时，原式.【解析】试题分析：先将A、B代入所求的代数式，按照整式的加减运算法则进行化简，再将x，y的值代入计算，即可得出答案.考点：整式的化简求值.点评：本题主要考查了整式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则.26．对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数）．例如：，．（1）求：____________，______________；（2）若，则正整数m的最小值是_____________．【答案】（1）37，26；（2）6．【解析】试题分析：（1），∵=F(4)=16，=F(16)=37，=F(37)=58，=F(58)=89，=F(89)=145，=F(145)=26，=F(26)=40，=F(40)=16，．．．．．．，∵7个开始循环，2022÷7=281．．．6，∴==26；１５\n（2）由（1）得，=89，∴，∴且n为正整数，，∴只要n+1是3的倍数即可，n最小取2，当n=2时，3m=18，∴m最小值为6．故答案为：（1）37，26；（2）6．考点：新定义．27．观察下面计算：①②；③④．求：（1）直接写出（n为正整数）的值；（2）利用上面所揭示的规律计算：．【答案】（１）＝－；（2）-１＋．【解析】试题分析：（1）观察给出的几个等式发现：等式的左边都是两个连续正整数的算术平方根的和的倒数，右边是较大的正整数的算术平方根与较小的正整数的算术平方根的差；（2）根据（1）中发现的规律，把代数式中的每一项变成两个数的差的形式，然后合并同类二次根式．试题解析：（1）＝－；（2），=，＝-１＋．考点：1、数字的变化规律类；2、实数的运算．28．阅读与探究：已知公式１５\n（1）=；（2）当n=10时，则=；（3）在公式中，=．（6分）【答案】（1）0（2）（3）2或0【解析】试题分析：（1）把x=1代入公式即可；（2）把代入得+=0，所以,把x=-1代入得:,所以=；（3）分两种情况讨论：n是奇数，n是偶数．试题解析：（1）把x=1代入公式得=0；把代入得+=0，所以,把x=-1代入得:,所以所以=；（3）当n为奇数时，当n为偶数时，．考点：1．求代数式的值；2．整式的加减．１５\n29．（8分）已知：是最小的正整数且、满足．（1）请直接写出、、的值.===（2）、、所表示的点分别为A、B、C，点P为一动点，其表示的数为，点P在0和2表示的点之间运动时（即0≤≤2时），请化简式子：.（请写出化简过程）···CBA（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB。请问，BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【答案】（1）（2）12-2x（3）见解析【解析】试题分析：（1）因为是最小的正整数，所以b=1，又，所以根据非负数的性质可得：c-5=0，a+b=0，所以a=-1，c=5；（2）将0≤≤2，分成3种情况：当时，当时，当时，讨论，去掉绝对值号化简即可；（3）根据A，B，C的运动情况即可确定AB，BC的变化情况，即可确定BC-AB的值．试题解析：（1）因为是最小的正整数，所以b=1，又，所以根据非负数的性质可得：c-5=0，a+b=0，所以a=-1，c=5；所以（2）当时，x+1＞0，x-1＜0，x-5＜0，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=x+1-（1-x）-2（x-5）=x+1-1+x-2x+10=10，当时，x+1=2，x-1=0，x-5=-4，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=2-0+8=10，当时，x+1＞0，x-1＞0，x-5＜0，|x+1|-|x-1|+2|x-5|=x+1-（x-1）-2（x-5）=x+1+1-x-2x+10=12-2x（3）不变．因为点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B每秒2个单位长度向右运动，所以A，B每秒钟增加3个单位长度；因为点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，所以B，C每秒钟增加3个单位长度．所以BC-AB=2，BC-AB的值不随着时间t的变化而改变．所以BC—AB=2考点：1.数轴；2.非负数的性质：3.绝对值．30．（9分）（2022•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．１５\n（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=x2﹣x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；１５\n（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴=，即=，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，S△PBQ最大=．答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．∵点K在抛物线上．∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．１５\n∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）=×4•EK=2（﹣m2+m）=﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．解得m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．１５
