浙江省杭州市拱墅区2022年4月模拟（一模）考试数学试卷考生须知:A．本试卷满分120分,考试时间100分钟.B．答题前,在答题卡填涂姓名学校的信息及考号.C．必须在答题卡的对应答题位置上答题，写在其他地方无效.一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ） A．B．C．D．2．如图，已知四条直线a，b，c，d，其中a∥b，c⊥b，且∠1＝50°．则∠2＝（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．下列计算或化简正确的是（ ）A．B．C．D．4．下列因式分解正确的是()A．B．C．D．5．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r,则R与r的关系正确的是（）A．R＝8rB．R＝6rC．R＝4rD．R＝2r6．某校在七年级设立了六个课外兴趣小组，每个参加者只能参加一个兴趣小组，下面是六个兴趣小组不完整的频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，可得下列结论不正确的是()A．七年级共有320人参加了兴趣小组；B．体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为96°；C．美术兴趣小组对应扇形圆心角的度8\n数为72°；D．各小组人数组成的数据中位数是56.7．下列说法中正确的是（）A.若式子有意义，则x＞1；B.已知a，b，c，d都是正实数，且，则C.在反比例函数中，若x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞2；D.解分式方程的结果是原方程无解.8．二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④9．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④10．关于x的方程（p，q是正整数）,若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（）A． B． C． D．二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.11.计算：；；12．五位射击运动员在一次射击练习中，每人打10抢，成绩（单位：环）记录如下：97，98，95，97，93．则这组数据的众数是；平均数是；13．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为81元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；14．如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D，连结AC，OC，CB.有下列结论：8\n①∠1＝∠2；②OC∥AE；③AF＝OC；④△ADC∽△ACB.其中结论正确的是（写出序号）；15．在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交BC于点E，过点A作直线CD的垂线交CD于点F，若AB＝4，BC＝6，则CE＋CF的值为；16．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为.三、全面答一答(本题有8个小题,共66分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．(本小题6分)先化简，再求值：，其中a＝sin60°，b＝tan60°.18．(本小题8分)设函数，其中a可取的值是－1，0，1；b可取的值是－1，1，2：（1）当a、b分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；（2）如果a在－1，0，1三个数中随机抽取一个，b在－1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x＞0时y随x增大而减小的函数的概率.19．(本小题8分)（1）在图1中，求作△ABC的外接圆（尺规作图，不写作法保留痕迹）；（2）如图2，若△ABC的内心为O，且BA＝BC＝8，sinA，求△ABC的内切圆半径.20．（本小题10分）8\n如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．（1）求证：△ADQ≌△AEQ；（2）求证：PQ＝DQ＋PB；（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．21．（本小题10分）某商店采购甲、乙两种型号的电风扇，共花费15000元，所购进甲型电风扇的数量不少于乙型数量的2倍，但不超过乙型数量的3倍.现已知甲型每台进价150元，乙型每台进价300元，并且销售甲型每台获得利润30元，销售乙型每台获得利润75元.设商店购进乙型电风扇x台.（1）商店共有多少种采购电风扇方案？（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的电风扇全部售出，写出此商店销售这两种电风扇所获得的总利润y（元）与购进乙型电风扇的台数x（台）之间的函数关系式；（3）商店怎样的采购方案所获得的利润最大？求出此时利润最大值.22．（本小题12分）如图，在Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB－BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动.设移动时间为x秒：（1）当x＝2时，求△AEF的面积；（2）当EF∥BO时，求x的值；（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式.23．（本小题12分）如图，已知抛物线的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）直接写出抛物线的解析式及点A的坐标；（2）设抛物线上的点Q，使△QAO与△AOB相似（不全等），求出点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，已知点M（0，），连结QM并延长交抛物线另一点R，在直线QR下方的抛物线上找点P，当△PQR面积最大时，求点P的坐标及S△PQR的最大值.8\n参考答案一．仔细选一选（每小题3分）DCABCBDCDA二．认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)11.；12．97；9613．10%14．①②④15．10＋或2＋16．（注：11、12、15题每个答案2分；14题对一个1分、2个2分、3个4分，出现③0分）三．全面答一答(本题有8个小题,共66分)17.(6分)化简-----------------3分（过程2分）∵a＝sin60°＝，b＝tan60°＝，∴原式的值＝----------------3分（各1分）18.(8分)（1），最小值；，最小值；，最小值0-----------3分（2）可得到9个不同的函数解析式---------------------------------------------------------------------------2分∵当x＞0时y随x增大而减小的函数是，，∴概率为--------------3分（注：2个函数可以不具体写出）19.(8分)(1)外接圆图略----------------------------------------------------------------------------3分(2)连结BO并延长交AC于F，∵AB＝BC＝8，O为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF＝CF，又∵sinA，∴BF＝ABsinA＝8×＝6-------------------------------------2分∴AF＝，---------------------------------------------------------------1分∴Rt△OBE中：解得半径为：----------2分解法二△面积法：AC＝---------1分，设内接圆半径为R，R（AB＋AC＋BC）＝AC·BF，解得内接圆半径R＝--------------------------2分（未根式有理化不扣分）8\n20．（10分）（1）∵ABCD是正方形，∴在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，有AD＝AE，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△AEQ（HL）------------------3分（2）同理可证得△AEP≌△ABP--------------------------------------------1分∴PB＝PE，由（1）QD＝QE，∴PQ＝QE＋PE＝DQ＋PB------------2分（3）当∠1=∠2时，Rt△ADQ∽Rt△PCQ，∴∠3＝∠4，又∵∠3＝∠5∴∠3＝∠4＝∠5，且∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠3＝60°--------------1分∴Rt△ADQ中，AD＝3，DQ＝-------------------------------------------1分∴QC＝3―，∴PQ＝2QC＝6―2------------------------------------2分21．（10分）（1）∵购进乙型电风扇x台，∴购进甲型电风扇台数是＝100－2x----------------1分由题意得：2x≤100－2x≤3x，∴解得20≤x≤25--------------------------------------------------------2分∴购电风扇方案有6种：---------------------2分（题目没要求写具体的6种，写了更好。没写具体不扣分，需答出6种）（2）∵，∴（20≤x≤25）------------3分（取值范围1分）（3）∵y随x增大而增大，∴当x＝25时利润最大，∴（元）---2分22.（12分）（1）当x＝2时，AE＝2，OF＝6，∴S△APQ＝6--------------------------------------------3分（2）∵Rt△AOB中，已知AO＝6，BO＝8，∴AB＝10当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，∴，解得------------------------3分8\n（3）当F与B重合时，，∴分两段讨论：①0＜x≤时，F在OB上移动，--------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）②＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，则即，∴FH＝∴＝-----------------------------------------3分（含x范围1分，如果没有分段，应写出取值范围）23.（12分）解：（1）由顶点B（3，）及抛物线过原点O，∴解得----------------2分∴A点坐标为（6，0）--------------------------------------------------------------------------------------1分（2）过B作BC⊥x轴于点C，Rt△OCB中，tan∠OBC＝，∴∠OBC＝60°,∴∠OBA＝120°,△AOB是顶角为120°的等腰三角形，当点Q在x轴下方时，必与点B重合（舍去全等情况），∴当Q在x轴上方时，过Q作QD⊥x轴，∵△QAO∽△AOB，∴必有OA＝AQ＝6，且∠OAQ＝120°，∴∠QAD＝60°，∴AD＝3，QD＝3,∴Q（9，3）----------------------------2分∵Q（9，3）满足，∴Q在抛物线上，----------------------------------------1分根据对称性Q2(也满足条件，8\n∴符合条件的Q点有两个：Q1（9，3）、Q2(---------------------------------------------1分（3）将M（0，）、Q1（9，3）代入，得直线QR的解析式为，求与抛物线的交点R：令解得，（即Q点舍去），∴R（－1，）--------------------------------------1分设P点在直线QR下方且在抛物线上，则P（x,）,过P作直线平行于y轴，交QR于点K，则K（x,）则S△PQR＝S△QPK＋S△RPK＝PK（＝[―（）]×10＝―当x＝4时，S△PQR最大＝----------------------------------------------------------------------1分∴点P的坐标为（4，）------------------------------------------------------------------------1分同理过Q2(、M的直线交抛物线R2，在Q2R2下方抛物线取点P2，解得P2（0,0），S△PQR最大＝3----------------------------------------------------------------------2分8
