福建省建瓯二中2022届九年级数学复习：三角函数新人教版1、九（一）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°，树高5m；今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少m？2、某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150m，且B在A的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．7\n【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB=C′D，∠ABG=∠ADC′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=。∴。（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=AD=4。∵tan∠ABG=tan∠ADE=。∴EH=HD×=4×。∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线。∴HF=AB=×6=3。∴EF=EH+HF=。8.（2022湖南岳阳8分）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：7\nⅠ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD。（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD。7\n（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB。Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′：通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′。21（.2022辽宁锦州12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF.②CF=BC－CD.(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状，并说明理由.【答案】解：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。∵∠BAD=∠BAC－∠DAC，∠CAF=∠DAF－∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。∴BD⊥CF。②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，∵BD=BC－CD，∴CF=BC－CD。（2）CF=BC+CD。（3）①CF=CD－BC。②△AOC是等腰三角形。理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。7\n则∠ABD=180°－45°=135°。∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。∵∠BAD=∠DAF－∠BAF，∠CAF=∠BAC－∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=180°－45°=135°。∴∠FCD=∠ACF－∠ACB=90°，则△FCD为直角三角形。∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC=DF。∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角形。【考点】动点问题，正方形的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。【分析】（1）由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出△BAD≌△CAF，从而得到∠ACF=∠ABD=45°，即可证得BD⊥CF。 由△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC－CD，从而CF=BC－CD。（2）同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC＋CD，从而CF=BC＋CD。（3）①同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=CD－BC，从而CF=CD－BC。②通过SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD=180°－45°=135°。从而得到∠FCD=90°。由三角形中线的性质得到OC=DF。由正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，从而得到△AOC是等腰三角形。25.（2022青海省10分）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°7\n又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．【答案】解：（2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，由（1）知∠EAM=∠FEC。∵AM=EC，AB=BC，∴BM=BE。∴∠BME=45°。∴∠AME=∠ECF=135°。∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°。又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC。在△AEM和△EFC中，∵∠AME=∠ECF，∠AME=∠ECF，∠EAM=∠FEC，∴△AEM≌△EFC（ASA）。∴AE=EF。（3）探究3：成立。证明如下：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，∴BM=BE。∴∠BME=45°。∴∠BME=∠ECF。又∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA。又∵∠MAD=∠AEF=90°，∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，7\n即∠MAE=∠CEF。在△MAE和△CEF中，∵∠BME=∠ECF，AM=CE，∠MAE=∠CEF，∴△MAE≌△CEF（ASA）。∴AE=EF。15.（2022浙江舟山12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．【答案】解：（1）3；60。7
