上海市长宁、嘉定区2022届高三第二次模拟数学（理）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）1．函数的最小正周期是__________．2．若关于的不等式的解集为，则实数_________．3．（理）已知集合，若，则实数的取值范围是．4．已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为__________．5．求值：___________．是否结束开始输出理第8题，6．已知向量不超过5，则k的取值范围是____________．7．设，行列式中第3行第2列的代数余子式记作，函数的反函数图像经过点，则 ．8．（理）如图是一个算法框图，则输出的的值是_______．9．（理）已知，且，则．10．（理）设函数，则将的曲线绕轴旋转一周所得几何体的体积为____________．11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为，向上的点数大于且小于或等于的事件为，则事件的概率____________．12．（理）设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则____________．1113.（理）函数的最大值和最小值分别为，则______．14．（理）设为数列的前项和，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15.已知，是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（ ）A．B.C.D.16.（理）关于直线，及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若，则17.过点作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条，且方程为B．存在无数条C．存在两条，方程为D．不存在18.（理）已知且，函数在区间上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是()11三．解答题（本大题满分74分，共5小题）ABCD19.（理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：已知平面，，与平面所成的角为，且．（1）求与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．20.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△中，角，，所对应的边，，成等比数列．（1）求证：；（2）求的取值范围．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数是定义域为的奇函数．（1）求的值；（2）（理）若，且在上的最小值为，求的值．（文）若，试说明函数的单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）如图，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）（理）过轨迹的准线与轴的交点作直线与轨迹交于不同两点、，且线段的垂直平分线与轴的交点为，求的取值范围；（3）（理）对于（2）中的点、，在轴上是否存在一点，使得△11为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）（理）已知三个互不相等的正数，，成等比数列，公比为．在，之间和，之间共插入个数，使这个数构成等差数列．（1）若，在，之间插入一个数，求的值；（2）设，，问在，之间和，之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的个数中，有个位于，之间，个位于，之间，试比较与的大小．数学理（参考答案）11一、填空题（每小题4分，共56分）1．2。3。（理）4。5。6.7。8．（理）9。（理）10。（理）11．（理）12。（理）13。（理）14．（理）二、选择题（每小题5分，共20分）15．B16。B17。D18。（理）A（三、解答题19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）（理）解：（1）因为平面，所以，又，所以平面，就是与平面所成的角．………………2分因为平面，与平面所成的角为，故，由，得，，………………4分所以，所以与平面所成角的大小为．………………6分（2）设点到平面的距离为，由（1）可得，，则，………………8分．………………10分由，得．所以点到平面的距离为．………………12分（文）解：（1）由题意，解得.………………2分在△中，，所以．在△中，，所以．………………4分所以．………………6分11（2）取中点，连接，，则，得或它的补角为异面直线与所成的角.………………8分又，，得，，由余弦定理得，………………10分所以异面直线与所成角的大小为．………………12分20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）解：（1）由已知，，所以由余弦定理，得………………2分由基本不等式，得．………………4分所以．因此，．………………6分（2），………………9分由（1），，所以，所以，所以，的取值范围是．………………12分21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）（理）解：（1）由题意，对任意，，即，………………2分即，，因为为任意实数，所以．………………4分解法二：因为是定义域为的奇函数，所以，即，．当时，，，是奇函数．所以的值为．………………4分11（2）由（1），因为，所以，解得．………………6分故，，令，则，由，得，所以，………………9分当时，在上是增函数，则，，解得（舍去）．………………11分当时，则，，解得，或（舍去）．………………13分综上，的值是．………………14分（文）解：（1）由题意，对任意，，即，………………2分即，，因为为任意实数，所以．………………4分解法二：因为是定义域为的奇函数，所以，即，．当时，，，是奇函数．所以的值为．………………4分（2）由（1）知，由，得，解得．………………6分当时，是减函数，也是减函数，所以是减函数．………………7分由，所以，………………8分因为是奇函数，所以．………………9分11因为是上的减函数，所以即对任意成立，………………11分所以△，………………12分解得．………………13分所以，的取值范围是．………………14分22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）（理）解：（1）设，由题意，，，，，，………………2分由，得，化简得．所以，动点的轨迹的方程为．………………4分（2）轨迹为抛物线，准线方程为，即直线，所以，………………6分设直线的方程为（），由得，由△，得．………………8分设，，则，所以线段的中点为，………………9分所以线段垂直平分线的方程为，………………10分令，得．………………11分因为，所以．………………12分（3）由（2），，，所以．………………14分假设存在点，使得△为等边三角形，则到直线的距离．………………15分因为，所以，………………16分所以，解得．………………17分所以，存在点，使得△为等边三角形．………………18分11（文）（1）设，由题意，，，，，，………………2分由，得，化简得．所以，动点的轨迹的方程为．………………4分（2）轨迹为抛物线，准线方程为，即直线，所以，……………5分当时，直线的方程为，与曲线只有一个公共点，故．…………6分所以直线的方程为，由得，由△，得．………………8分设，，则，，所以，，………………9分若，则，即，，，………………11分解得．所以．………………12分（3）由（2），得线段的中点为，线段的垂直平分线的一个法向量为，所以线段的垂直平分线的方程为，………………15分令，，………………16分因为，所以．所以的取值范围是．………………18分23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）11（理）解：（1）因为，，是互不相等的正数，所以且．由已知，，，是首项为，公比为的等比数列，则，，…2分当插入的一个数位于，之间，设由个数构成的等差数列的公差为，则，消去得，因为，所以．………………4分（2）设所构成的等差数列的公差为，由题意，，共插入个数．………………5分若在，之间插入个数，在，之间插入个数，则，于是，，，解得．………………7分若在，之间插入个数，在，之间插入个数，则，于是，解得（不合题意，舍去）．………………9分若，之间和，之间各插入个数，则，，解得（不合题意，舍去）………………11分综上，，之间插入个数，在，之间插入个数．………………12分（3）设所构成的等差数列的公差为，由题意，，，又，，…………14分所以，即，因为，所以．………………16分所以，当，即时，；当，即时，．………………18分（文）（1）当时，由已知，得．当时，由，，两式相减得，即，所以是首项为，公比为的等比数列．所以，（）．………………4分（2）由题意，，故，即，………………6分因为，所以，即，解得，…………8分11所以．所以所得等差数列首项为，公差为，共有项．………………10分所以这个等差数列所有项的和．………………11分所以，，．………………12分（3）由（1）知，所以．………………14分由题意，，即对任意成立，所以对任意成立．………………16分因为在上是单调递增的，所以的最小值为．所以．由得的取值范围是．所以，当时，数列是单调递减数列．………………18分11
