2022年绍兴市高三教学质量调测数学（理）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式:如果事件，互斥，那么柱体的体积公式 如果事件，相互独立，那么其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式球的表面积公式 其中分别表示台体的上、下底面积，球的体积公式表示台体的高其中R表示球的半径第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集，集合，则A．B．C．D．2．设等差数列前项和为，若，，则公差为11A．B．C．D．3．若，，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A．B．C．D．5．函数在下列哪个区间上单调递增A．B．（第4题）C．D．6．已知实数满足则的最小值为A．B．C．D．7．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．在下列条件中，可得出的是A．B．C．D．8．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点．若△的面积为，则双曲线的离心率等于A．B．C．D．119．已知函数若方程有四个不同的实数根,,,，则的取值范围为A．B．C．D．10．如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面上的射影为点．当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于（第10题）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知为虚数单位，则▲．12．某程序框图如图所示，若输入，则运行后输出的值是▲．13．展开式的常数项是▲．14．已知实数依次构成公差不为零的等差数列．若去掉其中一个数后，其余三个数按原来顺序构成一个等比数列，则此等比数列的公比为▲．15．甲、乙、丙三位学生在学校开设的三门选修课中自主选课，其中甲和乙各选修其中的两门，丙选修其中的一门，且每（第12题）门选修课这三位学生中至少有一位选修，则不同的选法共有▲种．16．已知，为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，11则的最小值为▲．17．已知为上的任意实数，函数，，．则以下结论：①对于任意，总存在，，使得；②对于任意，总存在，，使得；③对于任意的函数，，总存在，使得；④对于任意的函数，，总存在，使得．其中正确的为▲．（填写所有正确结论的序号）三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18．（本小题满分14分）如图，在△中，，，点在边上，,，为垂足．（Ⅰ）若△的面积为，求的长；（Ⅱ）若，求角的大小．（第18题）19．（本小题满分14分）在两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的2个红球、3个黄球．现分别从每个口袋中各任取2个球，设随机变量为取得红球的个数.（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望.1120．（本小题满分14分）如图，在梯形中，，，.点在平面上的射影为点，且，二面角为.（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.（第20题）21．(本小题满分15分)已知是圆上的一个动点，过点作两条直线，它们与椭圆都只有一个公共点，且分别交圆于点．（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）（i）求证：对于圆上的任一点，都有成立；（ii）求△面积的取值范围．（第21题）22．(本小题满分15分)已知函数.(Ⅰ)若无极值点，求的取值范围；(Ⅱ)设为函数的一个极值点，问在直线的右侧，函数的图象上是否存在点，，使得成立？若存11在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.2022年绍兴市高三教学质量调测数学（理）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A2．C3．A4．B5．B6．C7．D8．D9．C10．A二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．12．13．14．或15．16．17．①④三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18．(本小题满分14分)解:（Ⅰ）由已知得，又，得．……………………3分在△中，由余弦定理得，所以的长为．……………………7分（Ⅱ）方法1：因为．……………………10分在△中，由正弦定理得，又，得，……………………12分解得，所以即为所求．……………………14分11方法2：在△中，由正弦定理得，又由已知得，为中点，，所以．……………………10分又，所以，……12分得，所以即为所求．……………………14分19．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意的取值为0，1，2，3，4．…………………………2分且；…………………………3分；…………………………4分；…………………………5分；…………………………6分.…………………………7分所以的分布列为01234P…………………………9分（Ⅱ）的数学期望.……………14分20．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）方法1：∵，∴点在平面上的射影在线段的中垂线上，设的中点为，连接，∴，∴为二面角11的平面角，∴.……………………2分在等腰△中，∵，∴，又，∴.在△中，得.……………………3分以为原点，分别以平行于，的直线为轴、轴建立空间直角坐标系，则，，所以，.………………4分∵轴，故可取一个的平行向量.设平面的法向量是，则即E取.……………………5分∴直线与平面所成角满足，…………7分所以直线与平面所成角为.……………………8分方法2：过点作，垂足为，连接．过作，垂足为，连接．平面，∴．，∴平面．又平面，∴，又，∴平面．∴就是与平面所成角．……3分∵，∴点在平面上的射影在线段的中垂线上，设的中点为，连接，∴，∴为二面角的平面角，∴.在等腰△中，∵，∴，又，∴.在△中，得，∴.又，，在△中，可得.………………6分∴，∴．……………………7分所以直线与平面所成角为．……………………8分（Ⅱ）设，则，连接.在△中，,又由（Ⅰ）得，，∴，∴．……………………9分11在△中,，又，∴，得，即.……………………11分∴三棱锥的体积.……14分21．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）设，代入消去，得．………………2分由得，，设的斜率分别为，得．所以直线的方程分别为．………………4分（Ⅱ）（i）证明：①当中有一条斜率不存在时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为．当方程为时，此时与圆交于点，所以方程为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直．………………5分②当斜率都存在时，设点，且．设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，代入消去，得．………………7分由化简整理得，因为，所以有．…………………9分设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直．综上，成立．…………………………10分（ii）方法1：记原点到直线的距离分别为,则△面积11．………………………13分因为，所以．所以△面积的取值范围为．………………………15分方法:2：记原点到直线的距离分别为，因为，所以△面积满足，………………………13分且,所以，即．所以△面积的取值范围为．……………………15分22．(本小题满分15分)解：(Ⅰ)由已知得（），……………………1分令得，则.……………………2分因为无极值点，所以或，……………………4分得或.所以的取值范围为．……………………6分(Ⅱ)因为，由(Ⅰ)可知，函数最多只有一个极值点，且函数在上单调递增．由得．……………………7分又，所以，所以．……………………9分因为，所以，设，，则，则函数在上单调递增，又，所以11，所以，……………………10分所以，即，得（或）．……………………12分又因为点在直线右侧，且在函数图象上，所以①当时，，此时；②当时，，此时，．……………………14分综上，存在满足条件的点，且当时，的取值范围为当时，的取值范围为．……………………15分11
