浙江省衢州市2019年中考数学试卷（解析版）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1.在，0，1，-9四个数中，负数是（ ）A. B. 0 C. 1 D. -9【答案】D【考点】正数和负数的认识及应用【解析】【解答】解：∵-9＜0＜＜1，∴负数是-9.故答案为：D.【分析】负数：任何正数前加上负号都等于负数；负数比零、正数小，在数轴线上，负数都在0的左侧.2.浙江省陆域面积为101800平方千米，其中数据101800用科学记数法表示为（ ）A. 0.1018×105 B. 1.018×105 C. 0.1018×105 D. 1.018×106【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：∵101800=1.018×105.故答案为：B.【分析】科学记数法：将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案.3.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） ABCD【答案】A【考点】简单组合体的三视图\n【解析】【解答】解：从物体正面观察可得，左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体.故答案为：A.【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.4.下列计算正确的是（ ）A. a6+a6=a12 B. a6×a2=a8 C. a6÷a2=a3 D. （a6）2=a8【答案】B【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A.∵a6+a6=2a6，故错误，A不符合题意；B.∵a6×a2=a6+2=a8，故正确，B符合题意；C.∵a6÷a2=a6-2=a4，故错误，C不符合题意；D.∵（a6）2=a2×6=a12，故错误，D不符合题意；故答案为：B.【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误；B.根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，依此计算即可判断正确；C.根据同底数幂的除法：底数不变，指数相减，依此计算即可判断错误；D.根据幂的乘方：底数不变，指数相乘，依此计算即可判断错误.5.在一个箱子里放有1个自球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C【考点】等可能事件的概率【解析】【解答】解：依题可得，箱子中一共有球：1+2=3（个），∴从箱子中任意摸出一个球，是白球的概率P=.故答案为：C.【分析】结合题意求得箱子中球的总个数，再根据概率公式即可求得答案.6.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3）【答案】A【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，\n∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）A. 60° B. 65° C. 75° D. 80°【答案】D【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，∴∠DCE=∠DEC=2x，∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，∵∠BDE=75°，∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，∠CDE=180°-4x=80°.故答案为：D.【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.8.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）\nA. 6dm B. 5dm C. 4dm D. 3dm【答案】B【考点】垂径定理的应用【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，∵AB=8，CD⊥AB，∴AD=4,点O、D、C三点共线,∵CD=2，∴OD=r-2，在Rt△ADO中，∵AO2=AD2+OD2，,即r2=42+（r-2）2，解得：r=5，故答案为：B.【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4,OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.9.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】C【考点】等边三角形的性质【解析】解：如图，作BG⊥AC，\n依题可得：△ABC是边长为2的等边三角形，在Rt△BGA中，∵AB=2，AG=1,∴BG=，即原来的纸宽为.故答案为：C.【分析】结合题意标上字母，作BG⊥AC，根据题意可得：△ABC是边长为2的等边三角形，在Rt△BGA中，根据勾股定理即可求得答案.10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）A B C D【答案】C【考点】动点问题的函数图象【解析】【解答】解：①当点P在AE上时，∵正方形边长为4，E为AB中点，∴AE=2，∵P点经过的路径长为x，∴PE=x，∴y=S△CPE=·PE·BC=×x×4=2x，②当点P在AD上时，∵正方形边长为4，E为AB中点，∴AE=2，\n∵P点经过的路径长为x，∴AP=x-2，DP=6-x，∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC，=4×4-×2×4-×2×（x-2）-×4×（6-x），=16-4-x+2-12+2x，=x+2，③当点P在DC上时，∵正方形边长为4，E为AB中点，∴AE=2，∵P点经过的路径长为x，∴PD=x-6，PC=10-x，∴y=S△CPE=·PC·BC=×（10-x）×4=-2x+20，综上所述：y与x的函数表达式为：y=.故答案为：C.【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）11.计算：=________。【答案】【考点】分式的加减法【解析】【解答】解：∵原式=.故答案为：.【分析】根据分式加减法法则：同分母相加，分母不变，分子相加减，依此计算即可得出答案.12.数据2，7，5，7，9的众数是________ 。【答案】7【考点】众数【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：2，5，7，7，9，\n∴这组数据的众数为：7.故答案为：7.【分析】众数：一组数据中出现次数最多的数，由此即可得出答案.13.已知实数m，n满足，则代数式m2-n2的值为________ 。【答案】3【考点】代数式求值【解析】【解答】解：∵m-n=1，m+n=3，∴m2-n2=（m+n）（m-n）=3×1=3.故答案为：3.【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.14.如图，人字梯AB，AC的长都为2米。当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】1.5【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，∵AC=2，∠ACD=50°,∴sin50°=，∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5.故答案为：1.5.【分析】在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F。若y=（k≠0）图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为________ 。\n【答案】24【考点】相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解：作FG⊥BE，作FH⊥CD，如图，设A（-2a，0），D（0，4b），依题可得：△ADO≌△EDO，∴OA=OE，∴E（2a，0），∵B为OE中点，∴B（a，0）,∴BE=a,∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD,AB=CD=3a，C（3a，4b），∴△BEF∽△CDF,∴,又∵D（0，4b），∴OD=4b,∴FG=b,又∵S△BEF=·BE·FG=1，∴即ab=1,∴ab=2,\n∵C（3a，4b）在反比例函数y=上，∴k=3a×4b=12ab=12×2=24.故答案为：24.【分析】作FG⊥BE，作FH⊥CD，设A（-2a，0），D（0，4b），由翻折的性质得：△ADO≌△EDO，根据全等三角形性质得OA=OE，结合题意可得E（2a，0），B（a，0）,由平行四边形性质得AE∥CD,AB=CD=3a，C（3a，4b），根据相似三角形判定和性质得,从而得FG=b,由三角形面积公式得ab=1,即ab=2,将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.16.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为________ .（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1，…，则顶点F2019的坐标为________ .【答案】（1）（2）（,）【考点】探索图形规律【解析】（1）依题可得，CD=1，CB=2，∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°，∴∠BDC=∠OBA，又∵∠DCB=∠BOA=90°，∴△DCB∽△BOA，∴；（2）根据题意标好字母，如图，\n依题可得：CD=1,CB=2，BA=1，∴BD=，由（1）知，∴OB=，OA=，易得：△OAB∽△GFA∽△HCB，∴BH=，CH=，AG=，FG=，∴OH=+=，OG=+=，∴C（，），F（，），∴由点C到点F横坐标增加了，纵坐标增加了，……∴Fn的坐标为：（+n，+n），∴F2019的坐标为：（+×2019，+×2019）=（，405），故答案为：，（，405）.\n【分析】（1）根据题意可得CD=1，CB=2，由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA，根据相似三角形判定得△DCB∽△BOA，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得CD=1,CB=2，BA=1，在Rt△DCB中，由勾股定理求得BD=，由（1）知，从而可得OB=，OA=，结合题意易得：△OAB∽△GFA∽△HCB，根据相似三角形性质可得BH=，CH=，AG=，FG=，从而可得C（，），F（，），观察这两点坐标知由点C到点F横坐标增加了，纵坐标增加了，依此可得出规律：Fn的坐标为：（+n，+n），将n=2019代入即可求得答案.三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20-21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程）17.计算：|-3|+（π-3）0-+tan45°【答案】解：原式=3+1-2+1=3【考点】算术平方根，实数的运算，0指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值【解析】【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.18.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≌△ADF．\n∴AE=CF【考点】菱形的性质【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF，由全等三角形性质即可得证.19.如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上，（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点，（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点.【答案】（1）解：如图，线段CD就是所求作的图形．（2）解：如图，\nABEC就是所求作的图形【考点】作图—复杂作图【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥CB，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.20.某校为积极响应“南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。（1）请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。（2）在扇形统计图中，求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。（3）若该校共有学生1200人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？【答案】（1）解：学生共有40人条形统计图如图所示．（2）解：选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为×360°=36°（3）解：参与“礼源”课程的学生约有1200×=240（人）【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图\n【解析】【分析】（1）根据统计表和扇形统计图中的数据，由总数=频数÷频率，频数=总数×频率即可得答案.（2）由条形统计图中可得“礼行”学生人数，由×360°，计算即可求得答案.（3）由条形统计图知“礼源”的学生人数，根据×全校总人数，计算即可求得答案.21.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线.（2）若DE=，∠C=30°，求的长。【答案】（1）证明：如图，连结OD．∵OC=OD，AB=AC，∴∠1=∠C，∠C=∠B，∴∠1=∠B,∴DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠ODE=90°，∴DE为⊙O的切线．（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．∴∠ADC=90°．∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°，BD=CD，∴∠AOD=60°．\n∵DE=，∴BD=CD=2，∴OC=2，…6分∴AD=π×2=π【考点】圆周角定理，切线的判定，弧长的计算【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠DOE=90°，从而可得证.（2）连结AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案.22.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）…190200210220…y(间)…65605550…（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。（2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.（3）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元？【答案】（1）解：如图所示：\n（2）解：设y=kx+b(k≠0)，把（200，60)和（220，50)代入，得，解得∴y=x+160（170≤x≤240）（3）解：w=x·y=x·（x+160)=x2+160x．∴对称轴为直线x==160， ∵a=<0，∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小．故当x=170时，w有最大值，最大值为12750元【考点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.（2）设y与x的函数表达式为y=kx+b，再从表中选两个点（200，60），（220，50）代入函数解析式，得到一个关于k、b的二元一次方程组，解之即可得出答案，由题意即可求得自变量取值范围.（3）设日营业额为w，由w=xy==-x2+160x，再由二次函数图像性质即可求得答案.23.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B(c，d)，若点T（x，y)满足x=，y=，那么称点T是点A，B的融合点。例如：A（-1，8），B（4，-2），当点T（x，y）满是x==1,y==2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点，\n（1）已知点A（-1，5），B(7，7)，C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点。（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y)是点D，E的融合点。①试确定y与x的关系式。②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标。【答案】（1）解：=2，=4∴点C（2，4）是点A，B的融合点（2）解：①由融合点定义知x=，得t=3x-3．又∵y=，得t=∴3x-3=，化简得y=2x-1．②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）．由点T是点E，D的融合点，可得m=或2m-1=，\n解得m=,∴点E1(,6)．（ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）．由点T是点E，D的融合点，可得点E2（6，15）．（iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在．综上所述，符合题意的点为E1（，6），E2(6，15）【考点】定义新运算【解析】【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.（2）①由题中融合点的定义可得y=2x-1，.②结合题意分三种情况讨论：（ⅰ）∠THD=90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（ⅱ）∠TDH=90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（ⅲ）∠HTD=90°时，由题意知此种情况不存在.24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。\n（1）求CD的长。（2）若点M是线段AD的中点，求的值。（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°?【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°．在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2（2）解：易得，BC=6，BD=4．由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM．∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM，∴AG=DF．由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴∴（3）解：∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。① 当⊙Q与DE相切时，如图1，\n过Q点作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG设⊙Q的半径QP=r则QH=r，r+r=2，解得r=．∴CG=×=4，AG=2．易知△DFM∽△AGM，可得，则∴DM=．② 当⊙Q经过点E时，如图2，过C点作CK⊥AB，垂足为K．设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3-r．在Rt△EQK中，12+（-r）2=r2，解得r=，∴CG=×=易知△DFM∽△AGM，可得DM=③ 当⊙Q经过点D时，如图3，\n此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM=4．综上所述，当DM=或<DM<4时，满足条件的点P只有一个。【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC长.（2）由题意易求得BC=6，BD=4，由全等三角形判定ASA得△DFM≌AGM，根据全等三角形性质得DF=AG，根据相似三角形判定得△BFE∽△BGA，由相似三角形性质得，将DF=AG代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得△CQG是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当⊙Q与DE相切时，结合题意画出图形，过点Q作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG，设⊙Q半径为r，由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；②当⊙Q经过点E时，结合题意画出图形，过点C作CK⊥AB，设⊙Q半径为r，在Rt△EQK中，根据勾股定理求得r，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；③当⊙Q经过点D时，结合题意画出图形，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，由此可得DM长.
