2021年湖南省衡阳市中考数学试卷

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）（2021•衡阳）8的相反数是　　A．B．8C．D．2．（3分）（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为　　A．B．C．D．3．（3分）（2021•衡阳）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•衡阳）下列运算结果为的是　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•衡阳）下列计算正确的是　　A．B．C．D．第39页（共39页）\n6．（3分）（2021•衡阳）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是　　A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是857．（3分）（2021•衡阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是　　A．B．C．D．8．（3分）（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为，，　　A．7.5米B．8米C．9米D．10米9．（3分）（2021•衡阳）下列命题是真命题的是　　第39页（共39页）\nA．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为C．有一个角是的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形10．（3分）（2021•衡阳）不等式组的解集在数轴上可表示为　　A．B．C．D．11．（3分）（2021•衡阳）下列说法正确的是　　A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人12．（3分）（2021•衡阳）如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点第39页（共39页）\n，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是　　A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（3分）（2021•衡阳）若二次根式有意义，则的取值范围是　　．14．（3分）（2021•衡阳）计算：　　．15．（3分）（2021•衡阳）因式分解：　　．16．（3分）（2021•衡阳）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为　　．（结果保留17．（3分）（2021•衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了，结果提前3天完成任务．则实际每天植树　　棵．18．（3分）（2021•衡阳）如图1，菱形的对角线与相交于点，、两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为．设运动的时间为秒，、间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，当点在段上运动且、两点间的距离最短时，、两点的运动路程之和为　　厘米．第39页（共39页）\n三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）（2021•衡阳）计算：．20．（6分）（2021•衡阳）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．21．（8分）（2021•衡阳）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是　　度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．第39页（共39页）\n22．（8分）（2021•衡阳）如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．（1）试判定四边形的形状，并说明理由；（2）已知，，求的长．23．（8分）（2021•衡阳）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到表中数据．双层部分长度281420第39页（共39页）\n单层部分长度148136124112（1）根据表中数据规律，求出与的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为，求的取值范围．24．（8分）（2021•衡阳）如图，是的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．25．（10分）（2021•衡阳）如图，的顶点坐标分别为，，，动点、同时从点出发，分别沿轴正方向和轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点到达点时点、同时停止运动．过点作分别交、于点、，连接、．设运动时间为（秒．第39页（共39页）\n（1）求点的坐标（用含的式子表示）；（2）求四边形面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接，当时，求点到的距离．26．（12分）（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时．①求的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），是抛物线上一点，连接，以点为直角顶点，构造等腰，是否存在点，使点恰好为“雁点”？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第39页（共39页）\n第39页（共39页）\n2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）（2021•衡阳）8的相反数是　　A．B．8C．D．【分析】根据相反数的概念求解即可．【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是．故选：．【点评】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并注意区分相反数和倒数是解题的关键．2．（3分）（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为　　A．B．C．D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．【解答】解：，故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．第39页（共39页）\n3．（3分）（2021•衡阳）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是　　A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．【解答】解：．是轴对称图形，故本选项符合题意；．不是轴对称图形，故本选项不合题意；．不是轴对称图形，故本选项不合题意；．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（3分）（2021•衡阳）下列运算结果为的是　　A．B．C．D．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：．,故此选项不合题意；第39页（共39页）\n．,故此选项不合题意；．,故此选项符合题意；．,故此选项不合题意；故选：．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）（2021•衡阳）下列计算正确的是　　A．B．C．D．【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．【解答】解：16的算术平方根为4，即，故不符合题意；根据公式可得，故符合题意；、无法运用加法运算化简，故，故不符合题意；，故不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．6．（3分）（2021•衡阳）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是　　A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是85第39页（共39页）\n【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；、数据的中位数为，此选项正确，不符合题意；、数据的平均数为，所以方差为，此选项错误，符合题意；、由选项知此选项正确；故选：．【点评】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．7．（3分）（2021•衡阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是　　A．B．C．D．【分析】画出该组合体的三视图即可．第39页（共39页）\n【解答】解：这个组合体的三视图如下：故选：．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提．8．（3分）（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为，，　　A．7.5米B．8米C．9米D．10米【分析】由锐角三角函数可以求得的长即可．【解答】解：在中，，米，，（米，故选：．【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．9．（3分）（2021•衡阳）下列命题是真命题的是　　第39页（共39页）\nA．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为C．有一个角是的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据多边形的外角和都是360度对作出判断；根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对作出判断；根据等边三角形的判定对作出判断；根据矩形的判定对作出判断．【解答】解：．每个多边形的外角和都是，故错误，假命题；．正六边形的内角和是，每个内角是，故正确，真命题；．有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．故选：．【点评】本题考查命题和定理，会区分真假命题是解题关键．10．（3分）（2021•衡阳）不等式组的解集在数轴上可表示为　　A．B．C．第39页（共39页）\nD．【分析】解出两个不等式，再表示出不等式组的解集，在数轴上正确表示出来即可选出正确答案．【解答】解：解不等式得，,解不等式得，，不等式组的解集为：,在数轴上表示为：故选：．【点评】本题考查一元一次不等式组的解法以及数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．11．（3分）（2021•衡阳）下列说法正确的是　　A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【分析】根据概率的定义和计算公式即可．【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，选项错误，彩票的中奖机会是说的是可能性，和买的数量无关，第39页（共39页）\n选项错误，根据概率的计算公式，选项中摸出红球的概率为，选项错误，200名学生中有85名学生喜欢跳绳，跳绳的占比为，（人，选项正确，故选：．【点评】本题主要考查概率的定义和计算公式，要理解概率表示的是可能性的大小，和数量无关，计算公式也要牢记．12．（3分）（2021•衡阳）如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是　　A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】先判断四边形是平行四边形，再根据判断四边形是菱形，点与点重合时设，表示出，利用勾股定理解出，进而求出即可判断②，当过点时，求出四边形面积的最小值，当与第39页（共39页）\n重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．【解答】解：，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故①正确；如图1，当点与重合时，设，则，在中，，即，解得，，，，，，第39页（共39页）\n，，故②不正确；由题知，当过点时，最短，如图2，四边形的面积最小，此时，当点与点重合时，最长，如图1，四边形的面积最大，此时，正确，故选：．【点评】本题主要考查翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）第39页（共39页）\n13．（3分）（2021•衡阳）若二次根式有意义，则的取值范围是　　．【分析】二次根式的被开方数．【解答】解：根据题意，得，解得，；故答案为：．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．（3分）（2021•衡阳）计算：　1　．【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．15．（3分）（2021•衡阳）因式分解：　　．【分析】提取公因式，即可得出答案．【解答】解：，故答案为：．【点评】第39页（共39页）\n本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键．16．（3分）（2021•衡阳）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为　　．（结果保留【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．17．（3分）（2021•衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了，结果提前3天完成任务．则实际每天植树　500　棵．【分析】设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前3天完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．【解答】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，．故答案为：500．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．第39页（共39页）\n18．（3分）（2021•衡阳）如图1，菱形的对角线与相交于点，、两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为．设运动的时间为秒，、间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，当点在段上运动且、两点间的距离最短时，、两点的运动路程之和为　　厘米．【分析】结合图象当点运动到点，点运动到点时，即，同理求出，利用菱形性质即可求出，再由题意易知当点在段上运动，、两点的最短时、分别位于、的中点时，求出此时、两点的运动路程之和即可．【解答】解：由图分析易知：当点从运动时，点从运动时，不断增大，当点运动到点，点运动到点时，由图象知此时，，四边形为菱形，，，当点运动到点，运动到点，结合图象，易知此时，，第39页（共39页）\n，在中，，，如图，当点在段上运动，点运动到点处，点在段上运动，点运动到点处时，、两点的最短，此时，，，当点在段上运动且、两点间的距离最短时，、两点的运动路程之和为：故答案为：．【点评】本题考查动点问题的函数图象以及菱形的基本性质和特征，能结合动点的函数图象分析出菱形的两条对角线长，结合图象找到当点在段上运动且、两点间的距离最短时，、的位置关系是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）（2021•衡阳）计算：．第39页（共39页）\n【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式展开再合并同类项即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式是解题关键．20．（6分）（2021•衡阳）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：．【分析】根据题目已知条件利用即可求出．【解答】证明：，(两直线平行，同位角相等),又，(两直线平行，同位角相等),在和中，,．【点评】第39页（共39页）\n本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理并能熟练推理是解题的关键．21．（8分）（2021•衡阳）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是　64.8　度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【分析】（1）根据题意求出其他垃圾所占百分比即可求出其他垃圾所在的扇形的圆心角度数；（2）根据可回收垃圾所占百分比算出500吨生活垃圾中可回收垃圾中的质量，即可计算出该天可回收物所创造的经济总价值；（3）结合题意，画出树状图即可求出所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：，其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：，故答案为：64.8；第39页（共39页）\n（2）（吨，（万元），答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；（3）由题意可列树状图：．【点评】本题考查统计与概率相关知识，熟练掌握统计的相关知识以及会利用列表法或树状图求概率是解题的关键．22．（8分）（2021•衡阳）如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．（1）试判定四边形的形状，并说明理由；（2）已知，，求的长．【分析】（1）利用旋转即可得到第39页（共39页）\n，再根据全等三角形的性质即可求证四边形的形状；（2）设,则,，利用勾股定理即可求出,进而可求出的长．【解答】解：（1）四边形是正方形，理由如下：绕点逆时针方向旋转得到，，，，，,又，，，在四边形中，，，，四边形是矩形，又，矩形是正方形；（2）设．则由（1）以及题意可知：,,,在中，，即,解得：,,第39页（共39页）\n,又，．【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握正方形基本性质以及旋转性质是解题的关键．23．（8分）（2021•衡阳）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到表中数据．双层部分长度281420单层部分长度148136124112（1）根据表中数据规律，求出与的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为，求的取值范围．【分析】（1）设出与的函数关系式为，代入表中数据求系数即可；（2）根据函数关系式和背带长度为列出二元一次方程组解方程组即可；第39页（共39页）\n（3）根据和都为非负数求出的最大值和最小值即可确定取值范围．【解答】解：（1）设与的函数关系式为，由题知，解得，与的函数关系式为；（2）根据题意知，解得，双层部分的长度为；（3）由题知，当时，，当时，，．【点评】本题主要考查一次函数的应用，利用一次函数的性质解决实际问题是解题的关键．24．（8分）（2021•衡阳）如图，是的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．第39页（共39页）\n【分析】连结，利用已知条件证明即可求证是的切线；连结，根据，为的中点即可求出度数以及求证三角形为等边三角形，进而求出度数，再利用的值即可求出的长．【解答】解：（1）证明：连结，如图所示：是直径，，，又，，，，，且为半径，是的切线；（2）连结，如图所示：第39页（共39页）\n，，又为的中点，,为等边三角形，,又，,在中，,，,．【点评】本题考查圆的有关概念及基本性质，涉及切线的判定与性质，圆周角定理等知识，能弄清题意，正确作出辅助线，熟练掌握其相关性质并能灵活运用是解题的关键．25．（10分）（2021•衡阳）如图，的顶点坐标分别为，，，动点、同时从点出发，分别沿轴正方向和轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点到达点时点、同时停止运动．过点作分别交、于点、，连接、．设运动时间为（秒．（1）求点的坐标（用含的式子表示）；第39页（共39页）\n（2）求四边形面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接，当时，求点到的距离．【分析】（1）过点作轴的垂线，分别交和轴于点和点，利用三角形相似写出点的坐标；（2）四边形的面积可以用分割法求解，①和的面积之和；②四边形和的面积之差，其它方法亦可；（3）先判断四边形的形状，就可知道平分四边形的直线经过的定点坐标（用含的式子表示），然后消去，得到直线的解析式；（4）利用三角形相似解题，由和（由题意可知），得证，再利用相似的性质求出对应的值，再由等面积法求高，求出点到的距离．【解答】解：（1）过点作轴的垂线，交于点，交于点，由题意得：，,，，，，，，，，第39页（共39页）\n，，，，，，点的坐标是．（2），四边形是矩形，，，，，，，第39页（共39页）\n点到达点时，、同时停止，，时，四边形的最大面积为6．（3），，，，四边形是平行四边形，平分四边形面积的直线经过四边形的中心，即的中点，设中点为，，，，．，化简得：，直线的解析式为：．（4），，又，，第39页（共39页）\n，，解得：．，,，，，，．设点到得距离为，，，解得：．点到得距离为．第39页（共39页）\n【点评】本题是函数的综合题，在解题过程中可以利用函数的知识进行解题，也可以用几何知识解题．在这里求点的坐标所使用的是几何法，也可以求出直线的解析式之后令，求出对应的即可写出点的坐标；第（2）问与第（3）有联系，第（2）问可以用分割法求解，也可以先判断出四边形的形状再求面积；第三问考查了学生对平行四边形的中心对称性的灵活应用和求动点路径的掌握；最后一问则考查了学生对于等面积法求高的熟练度．26．（12分）（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”，该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．当时．①求的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），是抛物线上一点，连接，以点为直角顶点，构造等腰，是否存在点，使点恰好为“雁点”？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第39页（共39页）\n【分析】（1）由题意得：，解得，即可求解；（2）①由△，即，即可求解；②求出点的坐标为，、点的坐标为，，即可求解；（3）证明，则，，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得，当时，，故“雁点”坐标为或；（2）①“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为，物线上有且只有一个“雁点”，则，则△，即，第39页（共39页）\n，故；②，则为，解得或，即点的坐标为，，由，，解得，即点的坐标为，，故点作轴于点，则，，故的度数为；（3）存在，理由：由题意知，点在直线上，故设点的坐标为，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，第39页（共39页）\n设点的坐标为，则，，，，，，，，，，，，即，，解得（舍去）或或，故点的坐标为，或，．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第39页（共39页）