2021年湖南省邵阳市中考数学试卷

2021年湖南省邵阳市中考数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2021•邵阳）的相反数是　　A．B．0C．3D．2．（3分）（2021•邵阳）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　A．B．C．D．3．（3分）（2021•邵阳）2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为的形式，则的值是　　A．0.192B．1.92C．19.2D．1924．（3分）（2021•邵阳）如图，若数轴上两点，所对应的实数分别为，，则的值可能是　　第36页（共36页）\nA．2B．1C．D．5．（3分）（2021•邵阳）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到△，连接．则线段的长为　　A．1B．C．D．6．（3分）（2021•邵阳）其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷．经统计，制成如下数据表格．接种疫苗针数0123人数210022801320300小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，．②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，．③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．制作扇形统计图的步骤排序正确的是　　第36页（共36页）\nA．②①③B．①③②C．①②③D．③①②7．（3分）（2021•邵阳）下列数值不是不等式组的整数解的是　　A．B．C．0D．18．（3分）（2021•邵阳）某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是　　A．小明修车花了B．小明家距离学校C．小明修好车后花了到达学校D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是9．（3分）（2021•邵阳）如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为　　第36页（共36页）\nA．B．C．D．10．（3分）（2021•邵阳）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为　　A．0个B．1个C．2个D．1或2个二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2021•邵阳）16的算术平方根是　　．12．（3分）（2021•邵阳）因式分解：　　．13．（3分）（2021•邵阳）如图，点，，分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为　　．14．（3分）（2021•邵阳）已知点，为反比例函数图象上的两点，则与的大小关系是　　．（填“”“”或“”15．（3分）（2021•邵阳）如图，已知线段长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点，；第36页（共36页）\n②过，两点作直线，与线段相交于点．则的长为　　．16．（3分）（2021•邵阳）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是　　．17．（3分）（2021•邵阳）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是　　钱．18．（3分）（2021•邵阳）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为　　．第36页（共36页）\n三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．（8分）（2021•邵阳）计算：．20．（8分）（2021•邵阳）先化简，再从，0，1，2，中选择一个合适的的值代入求值．．21．（8分）（2021•邵阳）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且．连接，，，．（1）证明：．（2）若，，求四边形的周长．22．（8分）（2021•邵阳）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．第36页（共36页）\n请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．23．（8分）（2021•邵阳）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．周学习时间频数频率50.05200.200.3525150.15（1）求统计表中，的值．（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．第36页（共36页）\n（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于的人数．24．（8分）（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小．（2）若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留25．（8分）（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线第36页（共36页）\n．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．26．（10分）（2021•邵阳）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．（1）如图①，若，证明：．（2）如图②，若，，求的值．（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．第36页（共36页）\n第36页（共36页）\n2021年湖南省邵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2021•邵阳）的相反数是　　A．B．0C．3D．【分析】根据相反数的概念求解即可．【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此的相反数为3．故选：．【点评】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并正确应用是解题的关键．2．（3分）（2021•邵阳）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不合题意；．不是中心对称图形，故本选项不合题意；第36页（共36页）\n．是中心对称图形，故本选项符合题意；．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）（2021•邵阳）2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为的形式，则的值是　　A．0.192B．1.92C．19.2D．192【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．【解答】解：，故，故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．4．（3分）（2021•邵阳）如图，若数轴上两点，所对应的实数分别为，，则的值可能是　　第36页（共36页）\nA．2B．1C．D．【分析】根据在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，可得：，的结果即可求得．【解答】解：，所对应的实数分别为，，，的值可能是．故选：．【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，确定两个实数的范围是解决本题的关键．5．（3分）（2021•邵阳）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到△，连接．则线段的长为　　A．1B．C．D．【分析】由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长．【解答】解：由旋转性质可知，，，则为等腰直角三角形，．第36页（共36页）\n故选：．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．6．（3分）（2021•邵阳）其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷．经统计，制成如下数据表格．接种疫苗针数0123人数210022801320300小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，．②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，．③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．制作扇形统计图的步骤排序正确的是　　A．②①③B．①③②C．①②③D．③①②【分析】根据制作扇形图的步骤即可求解．【解答】解：由题意可知，小杰同学制作扇形统计图的步骤为：先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，；第36页（共36页）\n再计算各部分扇形的圆心角分别为，，，；然后在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．故选：．【点评】本题考查了扇形统计图，扇形图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．制作扇形图的步骤如下：①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数部分占总体的百分比．②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．7．（3分）（2021•邵阳）下列数值不是不等式组的整数解的是　　A．B．C．0D．1【分析】先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后再确定其整数解．【解答】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，不等式组的解集为：，第36页（共36页）\n不等式组的整数解为，0，1，故选：．【点评】本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的步骤准确计算是解题关键．8．（3分）（2021•邵阳）某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是　　A．小明修车花了B．小明家距离学校C．小明修好车后花了到达学校D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．【解答】解：．由横坐标看出，小明修车时间为(分钟)，故本选项符合题意；．由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为2100米，故本选项不合题意；．由横坐标看出，小明修好车后花了到达学校，故本选项不合题意；．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（米分钟），故本选项不合题意；故选：．【点评】第36页（共36页）\n本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键．9．（3分）（2021•邵阳）如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为　　A．B．C．D．【分析】由圆周角定理可得，继而．【解答】解：与所对弧为，由圆周角定理可知：，又，．故选：．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．10．（3分）（2021•邵阳）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为　　A．0个B．1个C．2个D．1或2个【分析】由直线解析式求得,然后确定△的符号即可．第36页（共36页）\n【解答】解：直线不经过第一象限，,当时，方程是一次方程，有一个根，当时，关于的方程,△,关于的方程有两个不相等的实数根，故选：．【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2021•邵阳）16的算术平方根是　4　．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：，．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．12．（3分）（2021•邵阳）因式分解：　　．【分析】首先提取公因式,再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：第36页（共36页）\n．故答案为：．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．13．（3分）（2021•邵阳）如图，点，，分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为　5　．【分析】根据、、分别是、、的中点，可以判断、、为三角形中位线，利用中位线定理求出、、与、、的长度关系即可解答．【解答】解：、、分别是、、的中点，、、为中位线，，，；，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的关键．14．（3分）（2021•邵阳）已知点，为反比例函数图象上的两点，则与的大小关系是　　．（填“”“”或“”【分析】第36页（共36页）\n先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论．【解答】解：反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．，，点、都在第一象限，又，，故答案为：．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．15．（3分）（2021•邵阳）如图，已知线段长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点，；②过，两点作直线，与线段相交于点．则的长为　2　．【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，即可得出答案．【解答】解：由基本作图方法可得：垂直平分，第36页（共36页）\n，．故答案为：2．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．16．（3分）（2021•邵阳）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是　　．【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，它有6种路径，获得食物的有2种路径，它遇到食物的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．熟练掌握概率第36页（共36页）\n所求情况数与总情况数之比是解题的关键．17．（3分）（2021•邵阳）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是　53　钱．【分析】设有人，物品的价值为钱，由题意：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设有人，物品的价值为钱，依题意，得：，解得：，即该问题中物品的价值是53钱，故答案为：53．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（3分）（2021•邵阳）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为　3　．第36页（共36页）\n【分析】易证，由矩形的性质得出，则，由此得到，最后由勾股定理得出结果．【解答】解：，，，，矩形的对边，，，，，由勾股定理得，，故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．（8分）（2021•邵阳）计算：．【分析】结合零指数幂，绝对值的化简和角的正切值可以求出结果．第36页（共36页）\n【解答】解：原式．【点评】本题虽是一个简单的计算题，在平时的考试中也属解答题中的简单题型，但主要是想通过这种题型，考查学生对于零指数幂、绝对值的化简和特殊角的三角函数值的掌握情况．解题的时候需要注意绝对值化简时符号的确定，这是学生失分最多的点．20．（8分）（2021•邵阳）先化简，再从，0，1，2，中选择一个合适的的值代入求值．．【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据分式成立的条件确定的取值，代入求值即可．【解答】解：原式，又，可以取0，此时原式；可以取2，此时原式；可以取，此时原式．【点评】本题考查分式的混合运算，分式成立的条件及二次根式的运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．21．（8分）（2021•邵阳）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且．连接，，，．（1）证明：．第36页（共36页）\n（2）若，，求四边形的周长．【分析】（1）由正方形对角线性质可得，再由可证；（2）由正方形性质及勾股定理可求得，．再证明四边形为菱形，因为，所以可得，在中用勾股定理求得，进而四边形的周长为，即可求得答案．【解答】解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：，在和中，，．（2），，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，，又，,第36页（共36页）\n即，故四边形为菱形．，．故四边形的周长为．【点评】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．22．（8分）（2021•邵阳）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．【分析】设钢笔购买了支，笔记本购买了本，篮球个数钢笔支数笔记本本数第36页（共36页）\n，篮球总价钢笔总价笔记本总价，利用这两个相等关系列出二元一次方程组，解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价．【解答】解：设钢笔购买了支，笔记本购买了本．由题意得：，解得：，（元，（元，答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．【点评】仔细观察发票中的数据，理解合计中的数量即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总数，合计中的金额即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总价和，这是找到相等关系，列出方程组解决问题的关键．23．（8分）（2021•邵阳）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．周学习时间频数频率50.05200.200.3525150.15（1）求统计表中，的值．第36页（共36页）\n（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于的人数．【分析】（1）由周学习时间在的频数及频率求出样本容量，再由频率频数样本容量求解即可得出答案；（2）根据中位数的定义可得答案；（3）用总人数乘以样本中、的频率和．【解答】解：（1）样本容量为，，；（2）一共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在范围内，甲同学的周学习时间在范围内；（3）估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于的人数为（人．【点评】本题考查的是频数（率第36页（共36页）\n分布表、中位数及样本估计总体的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（8分）（2021•邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小．（2）若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留【分析】设．根据弧的两种求法，构建方程，可得结论．（2）根据求解即可．【解答】解：（1）设．由题意得,,,．,．【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．第36页（共36页）\n25．（8分）（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点和的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称，即可求解；（2）①用待定系数法即可求解；②当以点，，为顶点的三角形与相似时，则或，即或，即可求解．第36页（共36页）\n【解答】解：（1）点和的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称，故抛物线的对称轴为直线；（2）①由题意得：，解得，故原抛物线的表达式为；由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为；②存在，理由：令，解得或2，令，则，故点、的坐标分别为、，点；，同理可得：，当以点，，为顶点的三角形与相似时，则或，设点的坐标为，则或，解得：（舍去）或1或（舍去）或，第36页（共36页）\n故或．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26．（10分）（2021•邵阳）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．（1）如图①，若，证明：．（2）如图②，若，，求的值．（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）易证．所以，又由折叠可知，所以．故；（2）设，、交于点，则为等腰直角三角形．再证明△，可得．设，则．则，，由解得．再过点作于点，则△为等腰直角三角形．所以，，．故即可求；第36页（共36页）\n（3）分①点在外的圆弧上；②点在上两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）证明：，，．，又由折叠可知，．故．（2）设，、交于点，则为等腰直角三角形，，，，由折叠可知，，又，，又，△．．①设，则．，，第36页（共36页）\n由①得：．解得：．过点作于点，则△为等腰直角三角形．，．又．．（3）存在点，使得．，．．①如答图2所示，由题意可知，点的运动轨迹为以为圆心、为半径的半圆．当为中点时，，又，为等边三角形．又由折叠可得四边形为菱形．，．第36页（共36页）\n又，则易知为的垂直平分线．故，满足题意．此时，．②当点落在上时，如答图3所示，此时，则，，．综上所述，的值为或．第36页（共36页）\n【点评】本题以几何变换为背景考查了图形折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、辅助圆、分类讨论的数学思想，作出合理的辅助线以及学会分类讨论是解题的关键．第36页（共36页）