2021年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。1．（4分）（2021•凉山州） A．2021B．C．D．2．（4分）（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是 A．B．C．D．3．（4分）（2021•凉山州）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功．请将5亿这个数用科学记数法表示为 A．B．C．D．4．（4分）（2021•凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是 A．B．C．D．5．（4分）（2021•凉山州）的平方根是 第40页（共40页）\nA．9B．C．3D．6．（4分）（2021•凉山州）在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 A．B．C．D．7．（4分）（2021•凉山州）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：成绩60708090100人数3913169则这个班学生成绩的众数、中位数分别是 A．90，80B．16，85C．16，24.5D．90，858．（4分）（2021•凉山州）下列命题中，假命题是 A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合C．若，则点是线段的中点D．三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心9．（4分）（2021•凉山州）函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是 第40页（共40页）\nA．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定10．（4分）（2021•凉山州）如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为 A．B．2C．D．11．（4分）（2021•凉山州）点是内一点，过点的最长弦的长为，最短弦的长为，则的长为 A．B．C．D．12．（4分）（2021•凉山州）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是 第40页（共40页）\nA．B．函数的最大值为C．当时，D．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）（2021•凉山州）函数中，自变量的取值范围是 14．（4分）（2021•凉山州）已知是方程的解，则的值为 ．15．（4分）（2021•凉山州）菱形中，对角线，．则菱形的高等于 ．16．（4分）（2021•凉山州）如图，将绕点顺时针旋转得到△，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．17．（4分）（2021•凉山州）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；照这样拼图，则第个图形需要 根火柴棍．第40页（共40页）\n三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）（2021•凉山州）解不等式：．19．（5分）（2021•凉山州）已知，，求的值．20．（7分）（2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀奖”．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为 人， ；（2）请将条形统计图补充完整；第40页（共40页）\n（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．21．（7分）（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点、、在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；（2）求大树的高度（结果保留根号）．22．（8分）（2021•凉山州）如图，在四边形中，，过点作于，若．（1）求证：；（2）连接交于点，若，，求的长．四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）（2021•凉山州）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．第40页（共40页）\n24．（5分）（2021•凉山州）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 ．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔．，年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉，年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得．又，．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：第40页（共40页）\n（1）填空：① ，② ，③ ；（2）求证：，，，；（3）拓展运用：计算．26．（10分）（2021•凉山州）如图，中，，边在轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与相交于点，，．（1）求的值；（2）求直线的解析式．27．（10分）（2021•凉山州）如图，在中，，平分交于点，点在上，，是的外接圆，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求．28．（12分）（2021•凉山州）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，．第40页（共40页）\n（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点，使四边形的面积最大，求出点的坐标；（3）在（2）的结论下，点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．第40页（共40页）\n2021年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。1．（4分）（2021•凉山州） A．2021B．C．D．【分析】根据绝对值解答即可．【解答】解：的绝对值是2021，故选：．【点评】此题主要考查了绝对值，利用绝对值解答是解题关键．2．（4分）（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是 A．B．C．D．【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断．【解答】解：选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；选项，没有原点，故该选项错误；选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；故选：．【点评】本题考查了数轴的画法，画数轴的时候要注意原点，正方向，单位长度要画全．第40页（共40页）\n3．（4分）（2021•凉山州）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功．请将5亿这个数用科学记数法表示为 A．B．C．D．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：5亿．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．4．（4分）（2021•凉山州）下面四个交通标志图是轴对称图形的是 A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：．不是轴对称图形，故本选项不合题意；．不是轴对称图形，故本选项不合题意；．是轴对称图形，故本选项符合题意；第40页（共40页）\n．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5．（4分）（2021•凉山州）的平方根是 A．9B．C．3D．【分析】求出，求出9的平方根即可．【解答】解：，的平方根是，故选：．【点评】本题考查了对算术平方根，平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．6．（4分）（2021•凉山州）在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 A．B．C．D．【分析】根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标．【解答】解：平移后得到点的坐标为，向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，的对应点的坐标为，即．故选：．第40页（共40页）\n【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．7．（4分）（2021•凉山州）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：成绩60708090100人数3913169则这个班学生成绩的众数、中位数分别是 A．90，80B．16，85C．16，24.5D．90，85【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：90出现的次数最多，众数为90．这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列，第25和第26个数分别是80、90，所以中位数为．故选：．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．8．（4分）（2021•凉山州）下列命题中，假命题是 A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合C．若，则点是线段的中点第40页（共40页）\nD．三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对进行判断；根据等腰三角形的性质对进行判断；根据线段的中点定义对进行判断；根据三角形外心的定义对进行判断．【解答】解：、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以选项不符合题意；、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以选项不符合题意；、若、、在同一直线上，且，则点是线段的中点，所以选项符合题意；、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心，所以选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9．（4分）（2021•凉山州）函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是 A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到△第40页（共40页）\n，于是可判断△，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据图象可得，，所以，，因为△，所以△，所以方程有两个不相等的实数根．故选：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．10．（4分）（2021•凉山州）如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为 A．B．2C．D．第40页（共40页）\n【分析】在中，由,得到，即可求解．【解答】解：设，则，在中，,即，解得，故选：．【点评】本题考查的是翻折变换（折叠问题），明确是本题解题的关键．11．（4分）（2021•凉山州）点是内一点，过点的最长弦的长为，最短弦的长为，则的长为 A．B．C．D．【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点且垂直于过点的直径的弦；根据垂径定理即可求得的长，再进一步根据勾股定理，可以求得的长．【解答】解：如图所示，于点．根据题意，得，．，．第40页（共40页）\n根据勾股定理，得．故选：．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．12．（4分）（2021•凉山州）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是 A．B．函数的最大值为C．当时，D．【分析】利用抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，则可对进行判断；利用二次函数的最值问题可对进行判断；利用抛物线与轴的交点与图像可对进行判断；利用，可对进行判断．【解答】解：抛物线开口向下，，抛物线的对称轴为直线，，抛物线与轴的交点坐标在轴上方，第40页（共40页）\n，，所以不符合题意；当时，函数的最大值为：，故不符合题意；由图可知，抛物线与轴的另一交点为，所以时，，故不符合题意；当时，，所以，，即，故符合题意，故选：．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）（2021•凉山州）函数中，自变量的取值范围是 且 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．【解答】解：根据题意得：，解得且．故答案为且．第40页（共40页）\n【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．14．（4分）（2021•凉山州）已知是方程的解，则的值为 ．【分析】把方程组的解代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入到方程中得：，，故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于的一元一次方程是解题的关键．15．（4分）（2021•凉山州）菱形中，对角线，．则菱形的高等于 ．【分析】由题意得，菱形的面积，设菱形的高为，则菱形的面积，即可求解．【解答】解：由题意得，菱形的面积，则，，则，设菱形的高为，第40页（共40页）\n则菱形的面积，解得，故答案为．【点评】本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的关键．16．（4分）（2021•凉山州）如图，将绕点顺时针旋转得到△，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出扫过的图形的面积求出其值即可．【解答】解：绕点旋转得到△，△，，．扫过的图形的面积，扫过的图形的面积，扫过的图形的面积．第40页（共40页）\n故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．17．（4分）（2021•凉山州）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；照这样拼图，则第个图形需要 根火柴棍．【分析】根据数值的变化找出变化规律，即可得出结论．【解答】解：设第个图形需要为正整数）根火柴棒，观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：，第二个图形需要火柴棍：；第三个图形需要火柴棍：，，第个图形需要火柴棍：．故答案为：．【点评】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．三、解答题（共5小题，共32分）18．（5分）（2021•凉山州）解不等式：．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得．第40页（共40页）\n【解答】解：去分母，得：，去括号，得：，移项、合并，得：，系数化为1得，．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的性质是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19．（5分）（2021•凉山州）已知，，求的值．【分析】将变形后得到,再将多项式因式分解后整体代入可得结论．【解答】解：，．,．原式．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，将要求的代数式因式分解，并整体代入是解题的关键．20．（7分）（2021•凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀奖”．第40页（共40页）\n请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为 40 人， ；（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到的值；（2）利用“三等奖”人数为12补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）获奖总人数为（人，，即；故答案为40；30；（2）“三等奖”人数为（人，第40页（共40页）\n条形统计图补充为：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．21．（7分）（2021•凉山州）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点、、在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；（2）求大树的高度（结果保留根号）．第40页（共40页）\n【分析】（1）作于，解，即可求出；（2）过点作于点，设米，用表示出、，根据列出方程，解方程得到答案．【解答】解过点作于点,由题意知米,斜坡的坡比为,,设(米,(米,,,,(米,(米,第40页（共40页）\n答王刚同学从点到点的过程中上升的高度为2米；过点作于点,,四边形为矩形,米,米,,(米,米,,,,,(米．答大树的高度是米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．22．（8分）（2021•凉山州）如图，在四边形中，，过点作于，若．（1）求证：；（2）连接交于点，若，，求的长．第40页（共40页）\n【分析】（1）作，交的延长线于点，然后即可得得到四边形的形状，再根据题目中的条件，可以证明和全等，然后即可得到结论成立；（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到的长，然后根据的长，即可得到的长．【解答】（1）证明：作，交的延长线于点，如右图所示，，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形，，，，，，，，在和中，，第40页（共40页）\n，；（2），，，，，由（1）知，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，即，解得，，即的长是．第40页（共40页）\n【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明和全等和求出的长，利用数形结合的思想解答．四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）（2021•凉山州）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 且 ．【分析】先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以得，，解得．为正数，，解得．，，即．的取值范围是且．故答案为：且．【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．24．（5分）（2021•凉山州）如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 3 ．第40页（共40页）\n【分析】连接、，作于，如图，根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，由切线的性质得到，根据勾股定理得到，推出当点运动到点时，最小，于是得到结论．【解答】解：连接、，作于，如图，等边三角形的边长为4，，，，，为的切线，，在中，，点是边上一动点，当点运动到点时，最小，即的最小值为，的最小值为，第40页（共40页）\n故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等边三角形的性质．五、解答题（共4小题，共40分）25．（8分）（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔．，年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉，年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，，理由如下：设，，则，，，由对数的定义得．又，第40页（共40页）\n．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：① 5 ，② ，③ ；（2）求证：，，，；（3）拓展运用：计算．【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：和的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．【解答】解：（1），，；故答案为：5，3，0；（2）设，，则，，，由对数的定义得，又，，，，；（3）原式第40页（共40页）\n．【点评】本题考查了有理数的混合运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系．26．（10分）（2021•凉山州）如图，中，，边在轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与相交于点，，．（1）求的值；（2）求直线的解析式．【分析】（1）设,则,,，由反比例函数的图象经过斜边的中点，得,,根据得,可得,故；（2）由（1）知：,,设直线解析式为,用待定系数法即可得到答案．【解答】解：（1）设,则,,,,,第40页（共40页）\n为中点，,，而反比例函数的图象经过斜边的中点，,解得：,，，,即,将代入得：,解得,,,；（2）由（1）知：,,设直线解析式为,,解得,直线解析式为．【点评】本题考查反比例函数综合知识，涉及反比例函数的图象及解析式、一次函数解析式、三角形面积等知识，解题的关键是用含未知数的代数式表示相关点的坐标和线段长度．27．（10分）（2021•凉山州）如图，在中，，平分交于点第40页（共40页）\n，点在上，，是的外接圆，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为5，，求．【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出，即，从而得出是的切线；（2）根据和勾股定理可求出，，根据角平分线的性质可得出三角形的边上的高，再根据相似三角形和勾股定理求出即可．【解答】解：（1）连接，，，又，，，，即，是的切线；（2）过点作，垂足为，，，第40页（共40页）\n，，即，，由勾股定理得，，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解得，．第40页（共40页）\n【点评】本题考查切线的判定，相似三角形，勾股定理，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质以及勾股定理是解决问题的前提．28．（12分）（2021•凉山州）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点，使四边形的面积最大，求出点的坐标；（3）在（2）的结论下，点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理求出、，得出点、的坐标，进而得出点的坐标，运用待定系数法即可求出答案；（2）如图1，过点作轴交于点，利用待定系数法求出设直线解析式，设，则，根据，得出第40页（共40页）\n，运用二次函数求最值方法即可得出答案；（3）如图2，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，根据与纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点在轴下方时，根据与纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．【解答】解：（1），，，，即，解得：，，，，，，设抛物线解析式为，将代入，得：，解得：，，该抛物线的解析式为；（2）如图1，过点作轴交于点，设直线解析式为，将，代入，第40页（共40页）\n得：，解得：，直线解析式为，设，则，，，，，，当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为，；（3）存在．如图2，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，与纵坐标相等，，解得：，（舍去），，，②当点在轴下方时，与纵坐标互为相反数，第40页（共40页）\n，解得：，，，，，，综上所述，点的坐标为，，，，，．【点评】本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键．第40页（共40页）
