2021年广西玉林市中考数学试卷

2021年广西玉林市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上.1．（3分）（2021•玉林）计算：﹣1+2的结果是（　　）A．1B．﹣1C．3D．﹣32．（3分）（2021•玉林）我市今年中考报名人数接近101000人，将数据101000用科学记数法表示是（　　）A．10.1×104B．1.01×105C．1.01×106D．0.101×1063．（3分）（2021•玉林）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（　　）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．三棱柱4．（3分）（2021•玉林）下列计算正确的是（　　）A．a5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3bC．（ab）﹣3＝ab﹣3D．a6÷a2＝a45．（3分）（2021•玉林）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：甲6，7，8，8，9，9乙5，6，x，9，9，10如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x是（　　）A．6环B．7环C．8环D．9环第28页（共28页）\n6．（3分）（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（　　）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能7．（3分）（2021•玉林）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（　　）A．两人说的都对B．小铭说的对，小熹说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在8．（3分）（2021•玉林）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）A．至少有1个白球B．至少有2个白球C．至少有1个黑球D．至少有2个黑球9．（3分）（2021•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）A．x1+x2＜0B．x1x2＜0C．x1x2＞﹣1D．x1x2＜110．（3分）（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等第28页（共28页）\nb．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（　　）A．仅①B．仅③C．①②D．②③11．（3分）（2021•玉林）观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（　　）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×2412．（3分）（2021•玉林）图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中P点的坐标是（　　）A．（13，4.5）B．（13，4.8）C．（13，5）D．（13，5.5）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答题卡中的横线上。第28页（共28页）\n13．（3分）（2021•玉林）4的相反数是　　．14．（3分）（2021•玉林）8的立方根是　　．15．（3分）（2021•玉林）方程xx-1=12x-2的解是　　．16．（3分）（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿　　方向航行．17．（3分）（2021•玉林）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是　　．18．（3分）（2021•玉林）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设AB＝3．有以下结论：①MN⊥AD②MN＝23第28页（共28页）\n③△DAG的重心、内心及外心均是点M④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合则所有正确结论的序号是　　．三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。解答应写出证明过程或演算步理（含相应的文字说明），将解答写在答题卡上。19．（6分）（2021•玉林）计算：16+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．20．（6分）（2021•玉林）先化简再求值：（a﹣2+1a）÷(a-1)2|a|，其中a使反比例函数y=ax的图象分别位于第二、四象限．21．（8分）（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD=13AC，求S△DFCS△AED的值．22．（8分）（2021•玉林）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：第28页（共28页）\n请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．23．（8分）（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．24．（8分）（2021•玉林）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度．（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？第28页（共28页）\n（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和2a%，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a的最小值．25．（10分）（2021•玉林）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝43，求AF的长．26．（12分）（2021•玉林）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线y=-32x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y=78上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．第28页（共28页）\n第28页（共28页）\n2021年广西玉林市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上.1．（3分）（2021•玉林）计算：﹣1+2的结果是（　　）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【解答】解：﹣1+2＝1．故选：A．2．（3分）（2021•玉林）我市今年中考报名人数接近101000人，将数据101000用科学记数法表示是（　　）A．10.1×104B．1.01×105C．1.01×106D．0.101×106【解答】解：101000＝1.01×105，故选：B．3．（3分）（2021•玉林）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（　　）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．三棱柱【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，故该几何体是长方体．故选：C．第28页（共28页）\n4．（3分）（2021•玉林）下列计算正确的是（　　）A．a5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3bC．（ab）﹣3＝ab﹣3D．a6÷a2＝a4【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故此选项不合题意；B、﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b，故此选项不合题意；C、（ab）﹣3＝a﹣3b﹣3，故此选项不合题意；D、a6÷a2＝a4，故此选项符合题意．故选：D．5．（3分）（2021•玉林）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：甲6，7，8，8，9，9乙5，6，x，9，9，10如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x是（　　）A．6环B．7环C．8环D．9环【解答】解：根据题意可得甲的中位数是8+82=8，因为两人的比赛成绩的中位数相同，所以乙的中位数是8，8＝（9+x）÷2，所以x＝7，故选：B．6．（3分）（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（　　）第28页（共28页）\nA．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．7．（3分）（2021•玉林）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（　　）A．两人说的都对B．小铭说的对，小熹说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【解答】第28页（共28页）\n解：被直径平分的弦也与直径垂直，这个结论错误，当弦是直径时，不一定满足条件，结论不成立，反例：当弦是直径，且与已知直径的夹角为60°时，结论不成立．故选：D．8．（3分）（2021•玉林）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）A．至少有1个白球B．至少有2个白球C．至少有1个黑球D．至少有2个黑球【解答】解：至少有1个球是白球是必然事件，故本选项符合题意；至少有2个球是白球是随机事件，故本选项不符合题意；至少有1个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；至少有2个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．9．（3分）（2021•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（　　）A．x1+x2＜0B．x1x2＜0C．x1x2＞﹣1D．x1x2＜1【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．故选：D．10．（3分）（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等第28页（共28页）\nd．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（　　）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．11．（3分）（2021•玉林）观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（　　）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×24【解答】解：由题意得：第1个图：Y1＝1，第28页（共28页）\n第2个图：Y2＝3＝1+2，第3个图：Y3＝7＝1+2+22，第4个图：Y4＝15＝1+2+22+23，•••第9个图：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×31．故选：B．12．（3分）（2021•玉林）图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中P点的坐标是（　　）A．（13，4.5）B．（13，4.8）C．（13，5）D．（13，5.5）【解答】解：由图象可知：AB＝8，BC＝18﹣8＝10，当x＝13时，即点运动了13＞8，∴此时点P在线段BC上，BP＝13﹣8＝5，则P点为BC的中点，又因为∠A＝90°，所以AP=12BC＝5．所以图（2）中P的坐标为（13，5）．故选：C．第28页（共28页）\n二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答题卡中的横线上。13．（3分）（2021•玉林）4的相反数是　﹣4　．【解答】解：4的相反数是﹣4，故答案为：﹣4．14．（3分）（2021•玉林）8的立方根是　2　．【解答】解：8的立方根为2，故答案为：2．15．（3分）（2021•玉林）方程xx-1=12x-2的解是　x=12　．【解答】解：去分母得：2x＝1，解得：x=12，检验：当x=12时，2（x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x=12．故答案为：x=12．16．（3分）（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿　北偏东50°　方向航行．【解答】解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，第28页（共28页）\n∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．17．（3分）（2021•玉林）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是　3　．【解答】解：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，ka）则B（﹣a，-ka），∴BE＝2a，∵，△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，第28页（共28页）\n∴BC＝4a，∴点D的横坐标为3a，∴点D的纵坐标为k3a，∴CD=k3a+ka=4k3a，∵S△BCD=12⋅BC⋅CD=8，∴12⋅4a⋅4k3a=8，∴k＝3，故答案为3．18．（3分）（2021•玉林）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设AB＝3．有以下结论：①MN⊥AD②MN＝23③△DAG的重心、内心及外心均是点M④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合则所有正确结论的序号是　①②③　．【解答】解：如图，连接BE．第28页（共28页）\n在△AFN和△DEN中，∠AFN=∠DEN=90°∠ANF=∠DNEAF=DE，∴△AFN≌△DEN（AAS），∴AN＝AN，同法可证AN＝AM，AM＝DM，∴AM＝MD＝DN＝NA，∴四边形AMDN是菱形，故①正确，∵∠EDF＝∠BDC＝30°，∠EDC＝120°，∴∠MDN＝60°，∵DM＝DN，∴△DMN是等边三角形，∴MN＝DM=CDcos30°=332=23，故②正确，∵∠DAB＝∠ADC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∵DB⊥AG，AC⊥DG，∴点M是△ADG的重心、内心及外心，故③正确，第28页（共28页）\n∵∠DOE＝60°，∴四边形FACD绕点O逆时针旋转60°与四边形ABDE重合，故④错误，故答案为：①②③．三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。解答应写出证明过程或演算步理（含相应的文字说明），将解答写在答题卡上。19．（6分）（2021•玉林）计算：16+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣6×12＝4+1﹣1﹣3＝1．20．（6分）（2021•玉林）先化简再求值：（a﹣2+1a）÷(a-1)2|a|，其中a使反比例函数y=ax的图象分别位于第二、四象限．【解答】解：反比例函数y=ax的图象分别位于第二、四象限，∴a＜0，∴|a|＝﹣a，（a﹣2+1a）÷(a-1)2|a|=(a-1)2a•-a(a-1)2＝﹣1．21．（8分）（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD=13AC，求S△DFCS△AED的值．第28页（共28页）\n【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）∵CD=13AC，∴CDDA=12由（1）知△DFC和△AED的相似比为：CDDA=12，故：S△DFCS△AED=（CDDA）2＝（12）2=14．22．（8分）（2021•玉林）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：第28页（共28页）\n请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：2÷5%＝40（人），则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16（人），达到“合格”的学生所占的百分比为：10÷40×100%＝25%，达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，将两个统计图补充完整如下：（2）650×（5%+25%）＝195（人），答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195人；（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，∴抽到甲、乙两人的概率为212=16．第28页（共28页）\n23．（8分）（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，第28页（共28页）\n即DF是⊙O的切线；（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，∴CF=12(a-r)，∴BF＝a-12(a-r)，又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴a-12（a﹣r）＝2（a﹣2r），解得：a＝3r，即r=13a，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r=13a．24．（8分）（2021•玉林）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度．（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和2a%，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a的最小值．【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电m度，B焚烧炉发电n度，第28页（共28页）\n根据题意得：m-n=50100(m+n)=55000，解得m=300n=250，答：焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电300度，B发焚烧炉发电250度；（2）改进工艺后每焚烧一吨垃圾A焚烧炉发电300（1+a%）度，则B焚烧炉发电250（1+2a%）度，依题意有100×300（1+a%）+100×250（1+2a%）≥55000[1+（5+a）%]，整理得5a≥55，解得a≥11，∴a的最小值为11．25．（10分）（2021•玉林）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝43，求AF的长．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，第28页（共28页）\n∠ABD=∠CDBOB=OD∠BOE=∠DOF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝43，∴AD2+（43）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴∠ABD＝30°，∵四边形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，第28页（共28页）\n∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根据勾股定理得，FG=42-22=23，在Rt△AGF中，AG＝6，根据勾股定理得，AF=AG2+FG2=62+(23)2=43．26．（12分）（2021•玉林）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线y=-32x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y=78上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．【解答】解：（1）取y＝0，则有ax2﹣3ax﹣4a＝0，第28页（共28页）\n即x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），对称轴为直线x=-1+42=32，（2）设M的横坐标为x1，N的横坐标为x2，根据题意得：y=ax2-3ax-4ay=-32x，即ax2-(3a-32)x-4a=0，x1+x2=-3a-32a，又∵M，N关于原点对称，∴-3a-32a=0，∴a=12，∴y=12x2-32x-2，（3）∵y=12x2-32x-2=12(x-32)2-258，由题意得向上平移后的抛物线解析式为y=12(x-32)2+78，∴抛物线向上平移了四个单位，设P（x，12x2-32x-2），则Q（x，12x2-32x+2），由题意得O'（0，78），∵O′P＝O′Q，第28页（共28页）\n∴12x2-32x-2+12x2-32x+2=2×78，解得x1=-12，x2=72，若x=-12，则y=12x2-32x-2=12×(-12)2-32×(-12)-2=-98，∴P（-12，-98），Q（-12，238），若x=72，则y=12x2-32x-2=12×(72)2-32×(72)-2=238，∴P（72，238），Q（72，558），综上，P（-12，-98），Q（-12，238）或P（72，238），Q（72，558）．第28页（共28页）