高三数学查漏补缺试题

高三数学查漏补缺试题一、三角1．已知函数f(x)=sinxcosx－2cos2x+1.(Ⅰ)求f()；(Ⅱ)求函数f(x)图象的对称轴方程.解：(Ⅰ)因为f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－),所以f()＝2sin＝.……………………(7分)(Ⅱ)令2x－=k＋(k∈Z),得x=,所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=(k∈Z).……………(14分)2．已知函数(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求使成立的x的取值集合解:(1).(2)由(1)知,3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设，.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的值.（Ⅰ）解：因为，由正弦定理，得.………………3分由余弦定理及，，………………5分得，所以，解得.………………7分（Ⅱ）解：由，得.所以.………………8分即，………………11分所以，所以.………………13分4．已知函数.(1)求的定义域；(2)设是第二象限的角，且tan=，求的值.二、数列1.在等比数列中，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是等差数列，且，，求数列的公差，并计算的值.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由已知，，…………………2分两式相除，得.…………………4分所以，…………………6分所以数列的通项公式.…………………7分（Ⅱ）设等差数列的公差为，则，，…………………9分解得，，…………………11分………………12分.…………………13分2．数列对任意，满足，.（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）若，求的通项公式及前项和．解：（Ⅰ）由已知得　　数列是等差数列，且公差　又，得，所以　---------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以--------------------14分三、概率统计1．育新中学的高二、一班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.解：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为………………2分设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为…………4分（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有共种，其中有一名女同学的有种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为………………………8分（Ⅲ），，第二同学的实验更稳定………………………12分2．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C××＝，P(X＝20)＝C××＝，P(X＝100)＝C××＝，P(X＝－200)＝C××＝.所以X的分布列为：X1020100－200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.这表明，获得分数X的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．四、立体几何1．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点．(Ⅰ)求证：∥平面；(Ⅱ)平面平面；(Ⅲ)当三棱锥的体积等于时，求的长．证明：（Ⅰ）因为在△中，，分别是，的中点，所以∥．又平面，平面，所以∥平面．……………………5分(Ⅱ)因为底面是菱形，所以．因为平面，平面，所以．又，所以平面．又平面，所以平面平面．……………………10分（Ⅲ）因为底面是菱形，且，，所以．又，三棱锥的高为，所以，解得．……………………14分2.已知在△ABC中，∠B=90o，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥（如图）.（Ⅰ）求证：DE⊥平面；（Ⅱ）设平面平面，求证：AB∥l；[来源:学科网ZXXK]（Ⅲ）若，，，F为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？证明：（Ⅰ）∵∠B=90o，D，E分别为BC，AC的中点∴DE∥AB……………1分∴，……………3分又∵……………4分∴DE⊥平面……………5分（Ⅱ）∵DE∥AB，面，面，∴AB∥面，……………7分又∵AB面，面面……………9分∴AB∥……………10分（Ⅲ）∵，，，∴⊥平面BDE．∵∴……………11分又因为BD=3，AB=2，，[来源:学科网]∴……………13分解得．……………14分3．如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，，是线段上一点，.（Ⅰ）当时，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.解：（Ⅰ）取中点，连接，又，所以.因为，所以,四边形是平行四边形，所以因为平面，平面所以平面.（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，因为，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.则，是平面的一个法向量.设平面的法向量，则，即令，则，所以,所以，由题知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）因为，所以与不垂直,所以不存在点满足平面.4．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B（如图（2））在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E—DF—C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF.∴AB∥平面DEF.……………………………………………………………………3分（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角……………………4分∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角……………………6分在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=………………………………8分（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………………………9分证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD………………………………………………………………10分∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…………………………………………………………12分法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，…………………………4分平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即……………………6分所以二面角E—DF—C的余弦值为………………………………8分（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设………………10分[来源:Zxxk.Com]所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE…………………………………12分另解：设又把所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE…………………………12分五、导数1.已知曲线.（Ⅰ）求函数在处的切线；（Ⅱ）当时，求曲线与直线的交点个数；（Ⅲ）若，求证：函数在上单调递增.解：（Ⅰ），因为，所以，所以函数在处的切线为.（Ⅱ）当时，曲线与直线的交点个数与方程的解的个数相同，显然是该方程的一个解.令，则由得因为时，时所以在上单调递减，在上单调递增所以最小值为，因为，所以，因为，，所以的零点一个是0，一个大于，所以两曲线有两个交点.（Ⅲ）因为，所以当时，，所以所以所以函数在上单调递增.2．设函数，.（Ⅰ）当(为自然对数的底数)时，求的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围．解：（Ⅰ）的定义域为，当a＝e时，f(x)＝lnx＋，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋＝2，∴f(x)的极小值为2.----------------------------------------5分（Ⅱ）由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得a＝－x3＋x(x>0)，设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知①当a>时，函数g(x)无零点；②当a＝时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<a<时，函数g(x)有两个零点；④当a≤0时，函数g(x)有且只有一个零点（x>0）．综上所述，当a>时，函数g(x)无零点；当a＝或a≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<a<时，函数g(x)有两个零点．-----------------------------------10分（ⅲ）对任意的，恒成立，等价于恒成立．(*)设h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x(x>0)，∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得a≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，∴a≥（对，h′(x)=0仅在时成立），-------------------------14分∴a的取值范围是.3．已知函数。直线经过点且与曲线相切。（1）求切线的方程。（2）若关于的不等式恒成立，求实数的最大值。（3）设，若函数有唯一的零点，求证。4．知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.解:(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为,(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点处的切线互相垂直时,有,当x<0时,因为,所以,所以,,因此,(当且仅当,即且时等号成立)所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.(Ⅲ)当或时,,故.当时,的图象在点处的切线方程为即.当时,的图象在点处的切线方程为即.两切线重合的充要条件是,由①及知,,由①、②得,令,则,且设,则所以为减函数,则,所以,而当且t趋向于0时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图象在点处的切线重合时,的取值范围是.六、解析几何1．已知椭圆的焦距为4,且过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由解:(1)因为椭圆过点且椭圆C的方程是(2)由题意,各点的坐标如上图所示,则的直线方程:化简得又,所以带入求得最后所以直线与椭圆只有一个公共点.2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，∴﹣b=﹣2，解得b=2．又，a2=b2+c2，∴a=4，，可得椭圆C的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：=k（x﹣2），联立，化为+4﹣16=0，∴x1+2=，同理可得：x2+2==，∴x1+x2=，x1﹣x2=，kAB===．∴直线AB的斜率为定值．3.已知椭圆，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点、，线段的中点为．(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；(Ⅱ)若过点，延长线段与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形?若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．解：(Ⅰ)设直线将于是直线OM的斜率-9所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线过点,所以不过原点且与C有两个交点的充要条件是.由(Ⅰ)得OM的方程为.设点P的横坐标为,与联立解得即将点的坐标代入的方程得,因此………8分四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.于是解得因为,所以当的斜率为或时,四边形OAPB为平行四边形.4．已知椭圆C：+（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右顶点B作两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆C于M，N两点，探究直线MN是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由．解：（I）∵，∴a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴=b，∴b=1．∴a2=2．∴椭圆C的方程为：．（II）由题意可知：直线l1，l2的斜率都存在，设直线l1：y=k（x﹣1），直线l2：，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为（x﹣1）[（2+k2）x﹣（k2﹣2）]=0，解得x1=，y1=，把k换成﹣，可得x2=，，∴kMN==，直线MN的方程为：，化为，∴直线MN过定点．当k=±1时，M，N，此时直线MN也过定点．综上可得：直线MN必过定点．5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当最小时，求点T的坐标．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM＝－，又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.②由①可得，|TF|＝，|PQ|＝＝＝[来源:Zxxk.Com]＝.[来源:Z|xx|k.Com]所以＝＝≥＝.当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．</a<时，函数g(x)有两个零点．-----------------------------------10分（ⅲ）对任意的，恒成立，等价于恒成立．(*)设h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x(x></a<时，函数g(x)有两个零点；④当a≤0时，函数g(x)有且只有一个零点（x>