四川省凉山州2020年中考数学试题（解析版）

四川省凉山州2020年中考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（﹣1）2020等于（　　）A.﹣2020B.2020C.﹣1D.1【答案】D【解析】【分析】根据负数的偶次方是正数可以解答．【详解】（﹣1）2020=1，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型．2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意．第26页共26页\n故选：B．【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．3.点关于x轴对称的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.【详解】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）故选B【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.4.已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A.-1B.3C.-1和3D.1和3【答案】C【解析】【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义解答即可．【详解】解：由题意，得：，解得：，所以这组数据的众数是：﹣1和3．故选：C．【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键．5.一元二次方程x2=2x的解为（）A.x=0B.x=2C.x=0或x=2D.x=0且x=2【答案】C【解析】【详解】第26页共26页\n或故选C.6.下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．【详解】A.，故错误；B.，故错误；C.，正确；D.∵，∴无意义；故选C．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值．7.已知一次函数y=（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（）A.m>-B.m<3C.-<m<3D.-<m≤3【答案】D【解析】【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，，解得：－＜m＜3.当函数图象经过第一，三象限时，第26页共26页\n，解得m＝3.∴－＜m≤3.故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k，b的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二，三，四象限.注意当b＝0的特殊情况.8.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（）A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm【答案】C【解析】【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=AB=6cm当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm；当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故选C．【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．9.下列命题是真命题的是（）A.顶点在圆上的角叫圆周角B.三点确定一个圆C.圆的切线垂直于半径D.三角形的内心到三角形三边的距离相等第26页共26页\n【答案】D【解析】【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．10.如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；【详解】如图，取格点E，连接BE，第26页共26页\n由题意得：，，，∴．故答案选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．11.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，∴△OBM与△ODN是直角三角形，，∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，∴,，第26页共26页\n∴，，∴，，∴．故答案选B．【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．12.二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，∴b＜0，，故②正确；∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴，故①正确；∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，第26页共26页\n∵，∴，整理即得：，故③正确；∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．综上，正确结论的个数有4个．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数中，自变量x的取值范围是__________．【答案】x≥﹣1.【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可.【详解】由于二次根式需要有意义,则x+1≥0,x≥﹣1.故答案为x≥﹣1.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,关键在于牢记基础知识.14.因式分解：=_______________.【答案】a(a+b)(a-b).【解析】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.解析：原式=a(a+b)(a-b).故答案为a(a+b)(a-b).15.如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于__________．第26页共26页\n【答案】16【解析】【分析】根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1，的周长等于5，可求得具体的结果．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，∴O为BD和AC的中点，又∵，∴，，E为AD的中点，又∵OA=1，的周长等于5，∴AE+OE=4，∴，∴的周长=．故答案为16．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键．16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面，则半圆的半径OA的长为__________．第26页共26页\n【答案】【解析】【分析】如图，连接证明再证明从而可以列方程求解半径．【详解】解：如图，连接点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，为等边三角形，解得：（负根舍去），故答案为：【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．17.如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线相交于点D，且第26页共26页\n，则k的值为__________．【答案】【解析】【分析】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝AB，DN＝BC，代入矩形的面积即可求出答案．【详解】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），则DM＝y，DN＝x，∵OB：OD＝5：3，四边形是OABC矩形，∴∠BAO＝90°，∵DM⊥OA，∴DM∥BA，∴△ODM∽△OBA，∴，∴DM＝AB，同理DN＝BC，∵四边形OABC的面积为3，∴AB×BC＝3，第26页共26页\n∴DM×DN＝xy＝AB×BC＝×3＝，即k＝xy＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM＝AB和DN＝BC是解此题的关键．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．18.解方程：【答案】【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【详解】解：【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．19.化简求值：，其中【答案】，5【解析】【分析】利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将代入求值即可．第26页共26页\n【详解】原式===将代入得3×2-1=5．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键．20.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【详解】设正方形的边长为xmm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴,即，解得x＝48mm，∴这个正方形零件的边长是48mm．【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.第26页共26页\n21.某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品两个不同班级的概率．【答案】（1）24；150°（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；（2）根据C班的作品数量即可补全统计图；（3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解．【详解】（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，故C班的扇形的圆心角的度数为150°故答案为24；150°；（2）∵C班的作品数量为10套，故补全条形统计图如下：第26页共26页\n（3）依题意可得到树状图：∴P（抽取的作品在两个不同班级）=．【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22.如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆切线；（2）若，，求半圆的直径．【答案】（1）见详解；（2）12【解析】【分析】（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=，第26页共26页\n在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径．【详解】（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AH，∵DH⊥AH，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，∴OE=DH=，在Rt△AOE中，∵sin∠BAC=，sin∠BAC=，∴AO==×=6，第26页共26页\n∴AB=2OA=12，∴半圆的直径长为12．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键．23.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是________________.【答案】-≤a＜-【解析】【分析】解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围．【详解】解不等式①得，x＞8；解不等式②得，x＜2-4a；∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a.∵不等式组有4个整数解，∴12＜2-4a≤13，∴-≤a＜-24.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为．【答案】【解析】【分析】第26页共26页\n如图，连接利用三角形三边之间的关系得到最短时的位置，如图利用勾股定理计算，从而可得答案．【详解】解：如图，连接则＞，定值，当落在上时，最短，　　　　　　　　　　图如图，连接，由勾股定理得：即的最小值为：故答案为：　　　　　　　　　图【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．25.如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．第26页共26页\n（1）如图1，连接AQ、CP求证：（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．【解析】【分析】（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP的度数，再根据对顶角相等可得的度数；（3）先证出，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．【详解】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，∴BQ=AP，在△ABQ与△CAB中，∴．第26页共26页\n（2）角度不变，60°，理由如下：∵∴∠CPA=∠AQB，在△AMP中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC的度数不变，度数为60°．（3）角度不变，120°，理由如下：当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，有AP=BQ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，∴∴∠Q=∠P，∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC的度数不变，度数为120°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键．26.如图，已知直线（1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围第26页共26页\n（2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点、，当时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式的解集【答案】（1）；（2）；或；【解析】【分析】（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；（2）根据韦达定理，可得方程两根关系，结合，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．【详解】解：（1）∵与的图像在第一象限内至少有一个交点，∴令，则，∴，∴；∴k的取值范围为：；（2）由（1）得，∴，，∴∵，∴，∴；∴，解得：，，∴不等式的解集是：或；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题．27.如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c第26页共26页\n（1）求证：（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值【答案】(1)详见解析;(2)AB=,.【解析】【分析】(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.(2)利用(1)中的结论代入求出AB,在作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出.【详解】(1)如图所示,连接BO并延长交圆于A1,连接A1C,可得,,根据三角函数可得,则.同理可得,.∴.(2)根据(1)结论可得,第26页共26页\n,,.将值代入得:,解得,即AB=.过点B作BD⊥AC,由题意可得,,∴AD=AB·sin=,AD=BC·sin=.∴AC=AD+CD=.∴即,得.【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线.28.如图，二次函数的图象过、、三点第26页共26页\n（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）．【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）把、、代入得第26页共26页\n解得∴二次函数的解析式为；（2）如图，∵，∴其中点E的坐标为设直线OB的解析式为y=kx把代入得解得k=∴直线OB的解析式为y=x，∵直线CD垂直平分OB，∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,把E代入得解得m=∴直线CD的解析式为y=-x+；（3）联立得到第26页共26页\n解得x1=-,x2=1，设P的横坐标为t，则P（t,），∵过点P作轴，交直线CD于Q，∴Q（t，-t+）∴PQ=（-t+）-（）=-故当t=-时PQ有最大值此时P的坐标为（-，）．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．第26页共26页