上海市黄浦区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁UB）∩A= ．2．（3分）函数的定义域是 ．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z= ．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα= ．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= ．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为 ．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）= ．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是 （用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为 ．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如第19页共19页,，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是 ．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（ ）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A．4B．5C．6D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（ ）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形第19页共19页,C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；第19页共19页,（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{an}满足，则称数列{an}为“算术平方根递推数列”．已知数列{xn}满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．（1）试判断数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记yn=lg（2xn+1）（n∈N*），求证：数列{yn}是等比数列，并求出通项公式yn；（3）从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{zn}：．若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{zn}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式． 第19页共19页,上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁UB）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁UB={x|x≤}，则（∁UB）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}， 2．（3分）函数的定义域是 （1，+∞） ．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞） 3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z= 1+2i ．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i． 4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα= ﹣2 ．第19页共19页,【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2． 5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：． 6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= 1 ．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，第19页共19页,则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1． 7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为 ﹣1 ．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣1 8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）= ﹣7 ．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7． 9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是 α＜m＜n＜β （用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点第19页共19页,的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β． 10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为 ．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，第19页共19页,∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：． 11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是 （1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，] 12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，第19页共19页,，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1（如x=﹣1时），故x＞1是＜1的充分不必要条件，故选：A． 14．（3分）已知向量，则下列能使第19页共19页,成立的一组向量是（ ）A．B．C．D．【解答】解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选C． 15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A．4B．5C．6D．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜1000，S=1，k=1满足条件S＜1000，S=1+2=3，k=2满足条件S＜1000，S=1+2+23=11，k=3满足条件S＜1000，S=1+2+23+211，k=4第19页共19页,不满足条件S＜1000，退出循环，输出k的值为4．故选：A． 16．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（ ）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C． 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．第19页共19页,【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．解：（1）联结AC，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC∥EF．又∠CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角，∴∠CAC1就是异面直线EF，AC1所成的角．由AB=AA1=4，BC=3，得AC==5．∴tan∠CAC1==，即异面直线EF，AC1所成角为arctan．（2）由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等．∵，∴=． 18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；第19页共19页,（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈（0，）可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈（﹣1，1）．综上x∈（﹣1，0）∪（0，1）．点M横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）． 19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；第19页共19页,（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（7分），第2小题满分（7分）．解：（1）∵函数g（x）==1﹣，∴g（x）∈（﹣1，1）．令y=g（x）=1﹣，则=1﹣y，即，即x=，∴f（x）=，x∈（﹣1，1）．证明：（2）由（1）可知，h（x）==﹣，x∈（﹣1，0）∪（0，1）．∵h（﹣x）+h（x）=﹣﹣+﹣=0，所以，函数h（x）是奇函数．当x∈（0，1）时，单调递减，=﹣1+单调递减，于是单调递减．因此，函数h（x）单调递减．依据奇函数的性质，可知，函数h（x）在（﹣1，0）上单调递减．又∵h（﹣）=﹣2+lg3＜0，h（﹣）=﹣+lg199＞0，所以，函数h（x）在区间（﹣1，0）上有且仅有唯一零点t，且﹣1． 20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{an}满足第19页共19页,，则称数列{an}为“算术平方根递推数列”．已知数列{xn}满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．（1）试判断数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记yn=lg（2xn+1）（n∈N*），求证：数列{yn}是等比数列，并求出通项公式yn；（3）从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{zn}：．若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{zn}各项的和为，求正整数k、m的值．【解答】解：（1）数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列，证明如下：∵点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上，∴xn=2xn+12+2xn+1，∴2xn+1=（2xn+1+1）2，∵xn＞0，n∈N*，∴2xn+1+1=，∴数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列；（2）∵yn=lg（2xn+1），2xn+1+1=，∴yn+1=yn，∵y1=lg（2x1+1）=1，∴数列{yn}是首项为1，公比为等比数列，∴通项公式yn=（）n﹣1（3）由题意可得数列{zn}的首项为，公比为，第19页共19页,∴=，∴+=16，若m﹣1≥3，则+≤+＜+＜16，矛盾，∴m﹣1≤2，∵m﹣1=0或1时，+＞16，∴m﹣1=2，∴m=3，∴k=6． 21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；第19页共19页,（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，第19页共19页,同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1． 第19页共19页
