2021年山东省济宁市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．若盈余2万元记作万元，则万元表示（ ）A．盈余2万元B．亏损2万元C．亏损万元D．不盈余也不亏损2．一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法，其中正确的是（ ）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．是中心对称图形，但不是轴对称图形3．下列各式中，正确的是（ ）A．B．C．D．4．如图，，，若，那么的度数是（ ）A．B．C．D．5．计算的结果是（ ）试卷第7页，共7页
A．B．C．D．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．7．如图，正五边形中，的度数为（ ）A．B．C．D．8．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）A．2019B．2020C．2021D．20229．如图，已知．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．（3）作射线交于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线，交，分别于点E，F．依据以上作图，若，，，则的长是（）试卷第7页，共7页
A．B．1C．D．410．按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）A．B．C．D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．数字5100000用科学记数法表示是____．12．如图，四边形中，，请补充一个条件____，使．13．已知一组数据0，1，，3，6的平均数是，则关于的函数解析式是____．14．如图，中，，，，点O为的中点，以O为圆心，以为半径作半圆，交于点D，则图中阴影部分的面积是____．试卷第7页，共7页
15．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：①；②；③；④方程必有一个根大于且小于0．其中正确的是____（只填序号）．三、解答题16．计算：．17．某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：试卷第7页，共7页
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是；（4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？18．如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数，图象上的点，求，的值．19．如图，点C在以为直径的上，点D是的中点，连接并延长交于点E，作，交的延长线于点P．试卷第7页，共7页
（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．20．某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？21．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体（图1）．因为在平面中，，与相交于点A，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角．解决问题如图1，已知正方体，求既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小．试卷第7页，共7页
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是；②在所选正确展开图中，若点M到，的距离分别是2和5，点N到，的距离分别是4和3，P是上一动点，求的最小值．22．如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．（1）求抛物线解析式；（2）求证：；（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．试卷第7页，共7页
参考答案：1．B【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．【详解】解：∵盈余2万元记作+2万元，∴-2万元表示亏损2万元，故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数与负数的意义是解题的关键．2．A【分析】根据三视图的定义，得到左视图是矩形，进而即可得到答案．【详解】解：圆柱体的左视图是矩形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选A.【点睛】本题主要考查三视图以及轴对称和中心对称图形，熟练掌握三视图的定义以及轴对称和中心对称图形的定义，是解题的关键．3．D【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项错误，不符合题意；D、，此选项正确，符合题意；故选：D．答案第20页，共20页
【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．4．C【分析】先根据求出的度数，再由即可求出的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及角度的计算，熟记平行线的性质定理是解题的关键．5．A【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关答案第20页，共20页
键．6．D【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在数轴上表示，再加以对照，即可得出正确选项．【详解】解：不等式①的解集为不等式②的解集为x<-5．在数轴上表示为：∴原不等式组无解．故选：D【点睛】本题考查了不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集的知识点，熟知不等式组的解法步骤是解题的关键．7．C【分析】首先由正五边形的性质得到≌，，，然后由正五边形内角度数，求出和的度数，进而求出的度数．【详解】解：∵五边形为正五边形，∴，，∴，∴，，答案第20页，共20页
∴．故选：【点睛】本题考查了正多边形的性质：各边相等，各角相等，掌握正多边形的性质是解决本题的关键．8．B【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵m、n是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．9．C【分析】连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果【详解】如图，连接垂直平分,平分答案第20页，共20页
同理可知四边形是平行四边形又平行四边形是菱形又，解得：故选C【点睛】本题考查了由已知作图分析角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性答案第20页，共20页
质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．10．D【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，第个数据为：当时的分子为，分母为这个数为故选：．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．11．5.1×106．【分析】将5100000写成a×10n(1＜|a|＜10,n为整数)的形式即可．【详解】解：5100000=5.1×106．故填5.1×106．【点睛】本题主要考查运用科学记数法, 将原数写成a×10n(1＜|a|＜10,n为整数),确定a和n的值成为解答本题的关键．12．(答案不唯一)【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【详解】解：添加的条件为，理由是：在和中，答案第20页，共20页
，∴(AAS)，故答案为：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有HL．13．【分析】根据平均数的公式直接列式即可得到函数解析式．【详解】解：根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握平均数的公式是解决本题的关键．14．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题．【详解】解：连接OD，过点D作于E，答案第20页，共20页
在中，∴，，∴，∴，∵，∴，∴阴影部分的面积是：，故答案为：．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算、勾股定理、特殊角锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．①②④．【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．【详解】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，故①正确；答案第20页，共20页
∵-=1，∴b=-2a，∴2a+b=0，故②正确；∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，∴y=a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．16．【分析】先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂以及平方根的知识化简，然后再计算即可．【详解】解：==．【点睛】本题主要考查了绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂、平方根等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．17．（1）；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4）【分析】（1）由乘以“优秀”的人数所占的比例即可；（2）求出这次调查的人数为：(人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可；答案第20页，共20页
（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式计算即可．【详解】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：，故答案为：；（2）这次调查的人数为：(人)，则及格的人数为：(人)，补全条形统计图如下：；（3）估计该校“良好”的人数为：(人)，故答案为：510人；（4）画树状图如图：，共有6种等可能的结果，答案第20页，共20页
抽到两名都是男生的结果有2种，∴抽到两名都是男生的概率为．【点睛】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题是注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．18．（1）；（2），【分析】（1）作轴，可知，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可，（2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可．【详解】（1）如图，作轴，则，，点，点答案第20页，共20页
，∴OD=OC+CD=6，代入中，．（2）在上，设直线OA解析式为，直线向上平移个单位后的解析式为：图象经过（1，12）解得：，．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．19．（1）见解析；（2）．【分析】（1）由AB为直径，可得∠ACB=90°，又D为BC中点，O为AB中点，可得OD∥AC，从答案第20页，共20页
而∠ODB=90°．由OB=OE得∠OEB=∠OBE，又∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，又∠EBP=∠EBC，得∠P=∠OBD．又∠BOD+∠OBD=90°，从而可得∠BOD+∠P=90°，即∠OBP=90°．则可证PB为⊙O切线；（2）由（1）可得OD=1，从而PO=7，可证明△BDP～△OBP，从而得比例，解得BP=，最后由勾股定理可求半径OB．【详解】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又D为BC中点，O为AB中点，故OD=AC，OD∥AC，∴∠ODB=∠ACB=90°．∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE，又∵∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，∴∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，又∠EBP=∠EBC，∴∠P=∠OBD．∵∠BOD+∠OBD=90°，∴∠BOD+∠P=90°，∴∠OBP=90°．又OB为半径，故PB是⊙O的切线．（2）解：∵AC=2，由（1）得OD=AC=1，又PD=6，∴PO=PD+OD=6+1=7．∵∠P=∠P，∠BDP=∠OBP=90°，∴△BDP～△OBP．答案第20页，共20页
∴，即BP2=OP•DP=7×6=42，∴BP=．∴OB=．故⊙O的半径为．【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用所学知识是解题的关键．20．（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，∴x-5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，答案第20页，共20页
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．21．（1）；（2）①丙；②10【分析】（1）连接，则为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得的最小值．【详解】解：（1）连接，∵，与相交与点，即既不相交也不平行的两条直线与所成角为，根据正方体性质可得：，∴为等边三角形，∴，即既不相交也不平行的两条直线与所成角为；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；答案第20页，共20页
②如图：作M关于直线AB的对称点，连接，与交于点P，连接MP，则，过点N作BC垂线，并延长与交于点E，∵点M到的距离是5，点N到的距离是3，∴，∵点M到的距离是2，点N到的距离是4，∴，∴，故最小值为10．【点睛】本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识点，读懂题意，明确最小时的情况是解题的关键．22．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点P的横坐标为或±．【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后再利用待定系数法求解即可；答案第20页，共20页
（2）先求出直线AD的解析式为y=-x+3，进而得到点E的坐标为（1，2），运用三角函数定义可得即∠OAB=∠OEG=90°即可证得结论；（3）先求出直线CD解析式为y=3x+3，再根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式即可确定点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用，求出AM，进而求得点M的坐标，求得直线AM的解析式，进而完成解答．【详解】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B∴A（3,0），B（0，），∵抛物线经过A（3，0），D（0，3），∴，解得∴该抛物线的解析式为；（2）∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，设直线AD的解析式为y=kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入得：，解得∴直线AD的解析式为y=-x+3，∴E（1，2），G（1，0），∵∠EGO=90°，∴∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，∴∴答案第20页，共20页
∴∠OAB=∠OEG，∵∠OEG+∠EOG=90°，∴∠OAB+∠EOG=90°，∴∠AFO=90°，∴OE⊥AB；（3）存在.∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴C（-1，0），∴AC=3-（-1）=4，∵OA=OD=3，∠AOD=90°，∴，设直线CD解析式为y=mx+n，则：，解得∴直线CD解析式为y=3x+3，①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，∴OM//CD，∴直线OM的解析式为y=3x，∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，∴3x=-x2+2x+3，解得：；答案第20页，共20页
②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，∴∴，过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°，∵∠OAD=45°，∴∴OG=OA-AG=3-2=1，∴M（1，2），设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2，∴直线OM解析式为y=2x，∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．综上，点P的横坐标为或±．答案第20页，共20页
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质、待定系数法求函数解析式、三角函数定义、相似三角形的判定和性质等知识点，考查知识点较多、综合性较强、难度较大，灵活运用待定系数法、相似三角形的判定和性质以及数形结合思想成为解答本题的关键．答案第20页，共20页
