2021年江苏省淮安市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1.﹣5的绝对值为（ ）A．﹣5B．5C．﹣D．2第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（ ）A．0.21836×109B．2.1386×107C．21.836×107D．2.1836×1083计算（x5）2的结果是（ ）A．x3B．x7C．x10D．x254如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．5下列事件是必然事件的是（ ）A．没有水分，种子发芽B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+aC．打开电视，正在播广告D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上6如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）,A．70°B．90°C．100°D．110°7如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）A．2B．4C．6D．88《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9分解因式：a2﹣ab＝ ．10现有一组数据4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是 ．,11方程＝1的解是 ．12若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ．13一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 ．14如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是 ．15如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．16如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是 ．,三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）计算：﹣（π﹣1）0﹣sin30°；（2）解不等式组：．18先化简，再求值：（+1）÷，其中a＝﹣4．19已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．20市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表．组别噪声声级x/dB频数A55≤x＜604B60≤x＜6510C65≤x＜70mD70≤x＜758E75≤x＜80n请解答下列问题：,（1）m＝ ，n＝ ；（2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是 °；（3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．21在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．22如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）23如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．,（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为 ；（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．24如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．25某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？26【知识再现】学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【简单应用】如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB,上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．27如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）b＝ ，c＝ ．（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．,2021年江苏省淮安市中考数学试卷参考答案及解释一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1.﹣5的绝对值为（ ）A．﹣5B．5C．﹣D．【考点】绝对值．【答案】B【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．【解答】解：﹣5的绝对值为5，故选：B．2第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（ ）A．0.21836×109B．2.1386×107C．21.836×107D．2.1836×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【答案】D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n,的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：218360000＝2.1836×108，故选：D．3计算（x5）2的结果是（ ）A．x3B．x7C．x10D．x25【考点】幂的乘方与积的乘方．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】直接运用幂的乘方运算法则进行计算即可．【解答】解：（x5）2＝x5×2＝x10．故选：C．4如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】尺规作图；空间观念．【答案】A【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：A．5下列事件是必然事件的是（ ）,A．没有水分，种子发芽B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+aC．打开电视，正在播广告D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上【考点】随机事件．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；B、如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a，是必然事件，本选项符合题意；C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；故选：B．6如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）A．70°B．90°C．100°D．110°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】根据邻补角得出∠3的度数，进而利用平行线的性质解答即可．,【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝110°，故选：D．7如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）A．2B．4C．6D．8【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，故选：C．8《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“,今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．【答案】B【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据题意可得：，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9分解因式：a2﹣ab＝ ．【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．10现有一组数据4、5、5、6、5、7，这组数据的众数是 ．【考点】众数．,【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】5．【分析】根据众数的意义求解即可．【解答】解：这组数据中出现次数最多的是5，共出现3次，因此众数是5，故答案为：5．11方程＝1的解是 ．【考点】解分式方程．【专题】分式；运算能力．【答案】x＝1．【分析】方程两边都乘以x+1得出2＝x+1，求出方程的解，再进检验即可．【解答】解：＝1，方程两边都乘以x+1，得2＝x+1，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x+1≠0，所以x＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，故答案为：x＝1．12若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ．【考点】圆锥的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】6．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为3，则底面周长＝6π，设圆锥的母线长为x，圆锥的侧面积＝×6πx＝18π．解得：x＝6，故答案为：6．13一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 ．,【考点】三角形三边关系．【专题】三角形；应用意识．【答案】4．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，又∵第三边的长是偶数，∴a为4．故答案为：4．14如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】（﹣3，﹣2）．【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A的坐标为（3，2），∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．15如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．,【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】35°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，∴∠D＝∠B＝35°．故答案为：35°．16如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是 ．【考点】动点问题的函数图象；解直角三角形．,【专题】三角形；推理能力．【答案】5．【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a+3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可．【解答】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B'C'＝a，，过点A'作A'H⊥B'C'，则A'H为△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等边三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝，∴A'H＝，∴，解得a＝﹣2（舍）或a＝2，当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC＝a+3＝2+3＝5，∴△ABC的边长是5，故答案为5．,三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）计算：﹣（π﹣1）0﹣sin30°；（2）解不等式组：．【考点】实数的运算；零指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．【专题】实数；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．【答案】（1）；（2）1＜x≤2．【分析】（1）先计算算术平方根、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝3﹣1﹣＝；（2）解不等式4x﹣8≤0，得：x≤2，解不等式＞3﹣x，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤2．18先化简，再求值：（+1）÷，其中a＝﹣4．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【答案】a+1，﹣3．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（+1）÷＝＝,＝a+1，当a＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．19已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．【考点】平行四边形的性质；菱形的判定．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】见解析过程．【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得AB＝AE，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．20市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表．组别噪声声级x/dB频数,A55≤x＜604B60≤x＜6510C65≤x＜70mD70≤x＜758E75≤x＜80n请解答下列问题：（1）m＝ ，n＝ ；（2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是 °；（3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．【专题】统计的应用；数据分析观念．【答案】（1）12、6；（2）72；（3）260．【分析】（1）先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量乘以C这组对应的百分比求出m的值，继而根据5组的频数之和等于样本容量可得n的值；（2）用360°乘以D组频数所占比例即可；（3）用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB,的测量点的个数所占比例即可．【解答】解：（1）∵样本容量为10÷25%＝40，∴m＝40×30%＝12，∴n＝40﹣（4+10+12+8）＝6，故答案为：12、6；（2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×＝72°，故答案为：72；（3）估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为400×＝260（个）．21在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是，故答案为：；（2）画树状图为：,共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．22如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】约为68.5m．【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．【解答】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．则AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），,在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），∴CD＝CE+DE≈26.5+42＝68.5（m）．答：铁塔CD的高度约为68.5m．23如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（2）连接CC1，△ACC1的面积为 ；（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．【考点】作图﹣旋转变换．【专题】作图题；网格型；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；应用意识．【答案】（1）见解答；（2）；（3）见解答．【分析】（1）将A、B、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90°画出依次连接即可；（2）勾股定理求出AC，由面积公式即可得到答案；（3）利用相似构造△CFD∽△C1ED即可．【解答】解：（1）如图：图中△AB1C1即为要求所作三角形；（2）∵AC＝＝，由旋转旋转知AC＝AC1，,∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，故答案为：；（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：∵CF∥C1E，∴△CFD∽△C1ED，∴＝，∴CD＝CC1，∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．24如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．【考点】圆周角定理；直线与圆的位置关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）证明见解析部分．（2）．【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠,EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝5，∴BD＝＝＝4，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，,∴＝，∴AC＝，∴⊙O直径的长为．25某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）y与x的函数表达式为：y＝﹣10x2+1400x﹣45000；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．【解答】解：（1）根据题意，y＝（x﹣50）[300﹣10（x﹣60）]，∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x2+1400x﹣45000；（2）由（1）知：y＝﹣10x2+1400x﹣45000，∴y＝﹣10（x﹣70）2+4000，∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．26【知识再现】学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【简单应用】,如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】【简单应用】结论：AE＝AD，证明见解析部分．【拓展延伸】①结论：AE＝AD，证明见解析部分．②结论：AE﹣AD＝2AC•cos（180°﹣α）．证明见解析部分．【分析】【简单应用】证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．【拓展延伸】①结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．【解答】【简单应用】解：如图（1）中，结论：AE＝AD．,理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案为：AE＝AD．【拓展延伸】解：①结论：AE＝AD．理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝NM，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．②如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cos（180°﹣α）．,理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，∵AT＝AC•cos（180°﹣α）＝m•cos（180°﹣α），∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cos（180°﹣α）．27如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）b＝ ，c＝ ．（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．,【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；应用意识．【答案】（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5+；（4）．【分析】（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y＝x2+bx+c，列方程组求出b，c的值；（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；（3）先由QM•QH＜10，且QH≠0，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由MG＝HQ列方程求出t的值；（4）过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由△PRG∽△DPF，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，故答案为：，.（2）∵y＝x2x＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；,设直线BD的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，∴y＝x﹣5．（3）存在，如图1、图2．由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0），∴G（t﹣6，t2t+），H（t﹣3，t﹣8）；∵QM•QH＜10，且QH≠0，∴，解得＜t＜，且t≠8；∵MG∥HQ，∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴|t2t+|＝|t﹣8|；由t2t+＝t﹣8得，t2﹣18t+65＝0，解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；由t2t+＝﹣t+8得，t2﹣10t+1＝0，解得，t1＝5+2，t2＝5﹣2（不符合题意，舍去），综上所述，t＝5或t＝5+2．（4）由（2）得，抛物线y＝x2x的对称轴为直线x＝1，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，此时点Q与点A重合，∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF，∴△PRG∽△DPF，∴，∴RG＝＝＝6，,∴R（0，4）；如图4，为原图象的局部入大图，当点Q在y轴右侧且在直线x＝1左侧，此时点R的最低位置在点G下方，由△PRG∽△DPF，得，，∴GR＝；设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），∴GR＝＝r2+r＝（r﹣）2+，∴当r＝时，GR的最小值为，∴R（0，）；如图5，为原图象的缩小图，当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，当点M与点B重合时，点R的位置最高，由△PRG∽△DPF，得，，∴GR＝＝＝28，∴R（0，26），∴4++26+＝，∴点R运动路径的长为．,,
