2021年黑龙江省鹤岗市中考数学试卷一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列运算中，计算正确的是（ ）A．m2+m3＝2m5B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．÷＝2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．4．一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A．众数B．中位数C．平均数D．方差5．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）A．14B．11C．10D．96．已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（ ）A．m≥﹣4B．m≥﹣4且m≠﹣3C．m＞﹣4
D．m＞﹣4且m≠﹣37．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）A．5种B．6种C．7种D．8种8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（ ）A．B．C．D．9．如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（ ）A．5.5B．5C．4D．310．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二．将数据14.14万用科学记数法表示为 ．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形ABCD是矩形．14．一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是 ．15．关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 ．16．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
17．若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 cm．18．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 ．19．在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为 cm2．20．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝ ．三、解答题（满分60分）21．先化简，再求值：，其中a＝2cos60°+1．22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O
（0，0）．（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．24．为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、
E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中共抽取 名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？25．已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中m的值是 ；轿车的速度是 km/h；（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？
26．在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．27．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？28．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．（1）求点B的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题（每题3分，满分30分）1．下列运算中，计算正确的是（ ）A．m2+m3＝2m5B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．÷＝【分析】A选项利用合并同类项法则判断得出答案；B选项利用积的乘方运算法则计算得出答案；C选项利用完全平方公式计算得出答案；D选项利用二次根式除法运算法则计算得出答案．解：A．m2与m3，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故此选项不合题意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不合题意；D.÷＝，故此选项符合题意；故选：D．2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
3．如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据主视图为正面所看到的图形，进而得出答案．解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：C．4．一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A．众数B．中位数C．平均数D．方差【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．解：原数据2，4，4，4，6的平均数为×（2+4+4+4+6）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×3+（6﹣4）2]＝1.6；新数据的2，4，4，6的平均数为×（2+4+6+4）＝4，中位数为4，众数为4，方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×2+（6﹣4）2]＝2；故选：D．5．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）A．14B．11C．10D．9【分析】
患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝144，解方程即可求解．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，即（1+x）2＝144，解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），故选：B．6．已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（ ）A．m≥﹣4B．m≥﹣4且m≠﹣3C．m＞﹣4D．m＞﹣4且m≠﹣3【分析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出m的取值范围．解：根据题意解分式方程，得x═，∵2x﹣1≠0，∴x≠，即≠，解得m≠﹣3，∵x≥0，∴≥0，解得m≥﹣4，综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3，故选：B．7．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）A．5种B．6种C．7种D．8种【分析】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出x，y的值，进而可得出共有5种购买方案．解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，依题意得：15x+10y＝180，
∴x＝12﹣y．又∵x，y均为正整数，∴或或或或，∴共有5种购买方案．故选：A．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．解：过点D作DF⊥BC于F，由已知，BC＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝5，∵BE＝2DE，∴设DE＝x，则BE＝2x，∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，解得x1＝2，x2＝0（舍去），∴DE＝2，FD＝4，
设OB＝a，则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），∵点D、C在双曲线上，∴k＝2×（a+4）＝5a，∴a＝，∴k＝5×＝，故选：A．9．如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD、OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为（ ）A．5.5B．5C．4D．3【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE＝CE，即点E为BC的中点，由于点O为AC的中点，所以OE为△ABC的中位线，可得OE∥AB，且OE＝AB；利用OE∥AB可得，进而得出；利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得；利用AO＝OC，可得，利用△ABC≌△FCB，可得，答案可得．解：∵四边形ABFC是平行四边形，
∴BE＝EC．∵OA＝OC，∴OE是△ABC的中位线．∴OE＝AB，OE∥AB．∴．∴．∴，∵AO＝OC，∴，∵四边形ABFC是平行四边形，∴FC＝AB，FB＝AC．在△ABC和△FCB中，，∴△ABC≌△FCB（SSS）．∴S△ABC＝S△FCB＝＝24．∴＝＝4．故选：C．10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则下列结论：①GF＝2；②OD＝OG；③tan∠CDE＝；④∠ODF＝∠OCF＝90°；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②④⑤【分析】由O是BD中点，点F是DE的中点，可得OF∥BE，OF＝BE，又CE＝4，得GF＝CE＝2，故①正确；由正方形ABCD，得△DBC是等腰直角三角形，△DOG是等腰直角三角形，可得OD＝OG，故②正确；Rt△DCE中，tan∠CDE＝，故③正确，根据∠CDF＝∠FDC≠45°，∠ACD＝∠BDC＝45°，得∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；求出△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，可得点D到CF的距离为，故⑤正确．解：∵正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴O是BD中点，∵点F是DE的中点，∴OF是△DBE的中位线，∴OF∥BE，OF＝BE，∵CE＝4，OF＝6，∴GF＝CE＝2，故①正确；BE＝2OF＝12，∵正方形ABCD中，∴△DBC是等腰直角三角形，而OF∥BE，∴△DOG是等腰直角三角形，∴OD＝OG，故②正确；∵BC＝BE﹣CE＝8，正方形ABCD，
∴DC＝8，∠DCE＝90°，Rt△DCE中，tan∠CDE＝＝＝，故③正确，∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，∴CF＝DF＝DE，∴∠CDF＝∠FDC≠45°，∵∠ACD＝∠BDC＝45°，∴∠ACD+∠DCF＝∠BDC+∠FDC≠90°，故④不正确；Rt△DCE中，DE＝＝4，∴CF＝DE＝2，∵△CDE的面积为CE•DC＝×4×8＝16，F是Rt△DCE斜边DE的中点，∴△DCF面积为8，设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，∴•x×2＝8，解得x＝，∴点D到CF的距离为，故⑤正确；∴正确的由①②③⑤，故选：C．二、填空题（每题3分，满分30分）11．截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二．将数据14.14万用科学记数法表示为 1.414×105 ．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：14.14万＝141400＝1.414×105，故答案为：1.414×105．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ∠ABC＝90°（答案不唯一） ，使平行四边形ABCD是矩形．【分析】由矩形的判定即可得出结论．解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．14．一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是 ．【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两球上的数字之和是偶数的概率即可．解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字之和为偶数的有5种，所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为，
故答案为：．15．关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 a≥6 ．【分析】分别解出这两个不等式的解集，然后根据不等式组无解，得到关于a的不等式，解不等式即可．解：，解不等式①得：x＞a，解不等式②得：x＜3，∵不等式组无解，∴a≥3，∴a≥6，故答案为：a≥6．16．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 5 cm．【分析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．故答案为：5．17．若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 4 cm．【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．解：设母线长为lcm，则＝2π×1解得：l＝4．故答案为：4．18．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 2 ．【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．
∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO，∴＝，∴＝，∴CD＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．19．在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为 （2+6）或（6﹣2） cm2．【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理可以求点AE，然后根据矩形的面积即可求得．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED＝3cm．在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2．∴22+AE2＝32，解得AE＝cm．∴AD＝AE+ED＝（+3）cm或AD＝ED﹣AE＝（3﹣）cm∴矩形ABCD的面积为为AD•AB＝（2+6）cm2或（6﹣2）cm2．故答案为（2+6）或（6﹣2）．20．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1
；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝ 22019 ．【分析】由题意得△ADA1为等边三角形且边长为1、△A1D1A2为等边三角形且边长为2、△A2D2A3为等边三角形且边长为4、△A3D3A4为等边三角形且边长为8，…，△A2021D2021A2022为等边三角形且边长为22021，所以S1＝×12，S2＝×22，S3＝×23，…，S2021＝×22021，计算出结果即可．解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，∴∠ADC＝120°，AD＝CD＝1，∴∠ADA1＝60°，∵DA1＝CD，∴AD＝DA1，∴△ADA1为等边三角形且边长为1，同理：△A1D1A2为等边三角形且边长为2，△A2D2A3为等边三角形且边长为4，△A3D3A4为等边三角形且边长为8，…，△A2021D2021A2022为等边三角形且边长为22021，∴S1＝×12，S2＝×22，S3＝×23，
…，S2021＝×22021＝22019，故答案为22019．三、解答题（满分60分）21．先化简，再求值：，其中a＝2cos60°+1．【分析】小括号内进行通分，对分母进行因式分解，除法转化为乘法，约分得到化简的答案，求出a的值，再代入求值即可．解：原式＝＝＝，当a＝2cos60°+1＝2×+1＝2时，原式＝＝．22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对称点A1，B1即可．（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．（3）利用弧长公式l＝，求解即可．解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（﹣1，﹣3）；（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；（3）点A旋转到点A2所经过的路径长＝＝π23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得关系式；（2）首先可得△OBC是等腰直角三角形，然后求出对称轴和EN备用，分情况讨论：①先得出PH＝HE，根据关系设出点P坐标，然后代入二次函数关系式即可求出点P坐标，②如图所示，可知点P的纵坐标为2，设出点P坐标代入关系式即可求出结果．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，∵EN∥y轴，∴△BEN∽△BCO，∴，∴，∴EN＝2，
①若△PQE～△OBC，如图所示，∴∠PEH＝45°，过点P作PH⊥ED垂足为H，∴∠PHE＝90°，∴∠HPE＝∠PEH＝45°，∴PH＝HE，∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），∴点P坐标为（﹣2，3），②若△PEQ∽△CBO，如图所示，设P（x，2），代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，解得，（舍），∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），
综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）．24．为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中共抽取 100 名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？【分析】（1）根据A所占的百分比，根据频数、频率、总数之间的关系即可求出本次调查中共抽取的学生数；（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出B、C等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据（2）中的结果计算出B等级所对应的扇形圆心角的度数；（4）求出A、B等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．解：（1）26÷26%＝100（名），故答案为：100；（2）D等级所占的百分比为：10÷100×100%＝10%，则B等级所占的百分比为：1﹣26%﹣20%﹣10%﹣4%＝40%，故B、C等级的学生分别为：100×40%＝40（名），100×20%＝20（名），补全条形图如下，（3）B等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×40%＝144°；（4）1200×＝792（名），答：估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．25．已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中m的值是 5 ；轿车的速度是 120 km/h；（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？
【分析】（1）由图象可知轿车从B地前往A地用时为2小时，据此可得m的值以及轿车的速度；（2）分段函数，线段MN与线段GH的函数关系式利用待定系数法求解即可；（3）根据两车的速度列方程解答即可．解：（1）由图象得，m＝1+（3﹣1）×2＝5；轿车的速度为：240÷2＝120（km/h）；故答案为：5；120；（2）①设yMN＝k1x+b1（k1≠0）（0≤x＜2.5），∵图象经过点M（0，240）和点N（2.5，75），∴，解得，∴yMN＝﹣66x+240（0≤x＜2.5），yNG＝75（2.5≤x＜3.5）；③设yGH＝k2x+b2（k2≠0）（3.5≤x≤5），∵图象经过点G（3.5，75）和点N（5，0），∴，
解得，∴yGH＝﹣50x+250，∴；（3）货车从A前往B地的速度为：（240﹣75）÷2.5＝66（km/h），根据题意，得66（1+x）+120＝240+12或66（1+x）+120＝240﹣12，解得x＝1或x＝，答：轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或小时与货车相距12km．26．在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【分析】（1）证明CD＝BD，EF＝BD，可得结论．（2）如图②中，结论：EF＝CD．取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．证明△AFT≌△ETF（SAS），推出EF＝AT，可得结论．
如图③中，结论：EF＝CD．取AD的中点O，连接OF，OE．证明△EOF∽△DAC，可得＝＝，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵EA＝ED，∠EAD＝45°，∴∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠AED＝90°，∵BF＝FD，∴EF＝DB，∵∠CAB＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝45°，∵∠ABC＝∠AED＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AC＝AB，∴AD垂直平分线段BC，∴DC＝DB，∴EF＝CD．（2）解：如图②中，结论：EF＝CD．
理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．∵∠CAD＝90°，CT＝DT，∴AT＝CT＝DT，∵EA＝ED，∴ET垂直平分线段AD，∴AO＝OD，∵∠AED＝90°，∴OE＝OA＝OD，∵CT＝TD，BF＝DF，∴BC∥FT，∴∠ABC＝∠OFT＝45°，∵∠TOF＝90°，∴∠OTF＝∠OFT＝45°，∴OT＝OF，∴AF＝ET，∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，∴△AFT≌△ETF（SAS），∴EF＝AT，∴EF＝CD．如图③中，结论：EF＝CD．
理由：取AD的中点O，连接OF，OE．∵EA＝ED，∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵AO＝OD，∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，∴tan∠AEO＝＝，∴＝，∵∠ABC＝∠AED＝30°，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵AO＝OD，BF＝FD，∴OF＝AB，∴＝，∴＝，∵OF∥AB，∴∠DOF＝∠DAB，∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，∴∠EOF＝∠DAC，∴△EOF∽△DAC，∴＝＝，
∴EF＝CD．27．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【分析】（1）找到关键描述语，件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，进而找到所求的量的等量关系，列出方程组求解．（2）根据乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列出不等式组求解．总资金＝甲农机具的总费用+乙农机具的总费用．解：设购进1件甲种农机具x万元，乙种农机具万元．根据题意得：，解得（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，根据题意得：，解得：4.8≤m≤7．∵m为整数．∴m可取5、6、7．∴有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．设总资金为w万元．w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．∵k＝1＞0，∴w随着m的减少儿减少，∴m＝5时，w最小＝1×5+5＝10（万元）．∴方案一需要资金最少，最少资金是10万．（3）节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具10件．方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．28．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．（1）求点B的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程可得OA的值，再求出AE，BE，可得结论．（2）分两种情形：如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，如图3中，当259＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，分别求解即可．（3）如图4中，根据平行四边形的定义，画出图形，求出点F，点M的坐标，可得结论．解：（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，∵OA是方程的根，∴OA＝5，∴AB＝OA＝5，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，AB＝5，∴BE＝4，AE＝5，∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，∴B（8，4）．（2）如图1中，当点F落在OB上时，AN＝t，DM＝t．AD＝t，
∵FM∥OA，∴＝，∴＝，∴t＝．如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，S＝•（AC+FM）•DM＝•（t+t﹣t）•t＝t2．如图3中，当＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，S＝S梯形ACFM﹣S△FGH＝t2﹣××[﹣（5﹣t）]2＝﹣t2+t﹣．
综上所述，S＝．（3）如图4中，满足条件的点P如图所示：∵点F落在OB上时，t＝，∵DM＝FM＝，AD＝，AC＝，∴PF＝PM﹣FM＝5﹣＝，OC＝5﹣＝，∴F（，），M（，）．∴P（，），P″（﹣，﹣），P′（，）．
