2021年浙江省金华市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是（ ）A．﹣B．﹣C．2D．﹣32．（3分）+＝（ ）A．3B．C．D．3．（3分）太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为（ ）A．1.5×108B．15×107C．1.5×107D．0.15×1094．（3分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）A．x+2＞0B．x﹣2＜0C．2x≥4D．2﹣x＜05．（3分）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补6．（3分）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）第40页（共40页）
A．B．C．D．7．（3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（ ）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜09．（3分）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）第40页（共40页）
A．B．3πC．5πD．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次根式中，字母x的取值范围是 ．12．（4分）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 ．13．（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是 ．14．（4分）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为 cm．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 ．16．（4分）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．第40页（共40页）
（1）ED的长为 ．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 ．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．（6分）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．18．（6分）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．19．（6分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长．（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．20．（8分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．（2）求小聪成绩的方差．（3）现求得小明成绩的方差为S小明2＝3（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．第40页（共40页）
21．（8分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．22．（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．第40页（共40页）
23．（10分）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．第40页（共40页）
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2021年浙江省金华市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数﹣，﹣，2，﹣3中，为负整数的是（ ）A．﹣B．﹣C．2D．﹣3【解答】解：A选项是负分数，不符合题意；B选项是无理数，不符合题意；C选项是正整数，不符合题意；D选项是负整数，符合题意；故选：D．2．（3分）+＝（ ）A．3B．C．D．【解答】解：+＝＝，故选：D．3．（3分）太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为（ ）A．1.5×108B．15×107C．1.5×107D．0.15×109【解答】解：150000000＝1.5×108，故选：A．4．（3分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）A．x+2＞0B．x﹣2＜0C．2x≥4D．2﹣x＜0【解答】解：A、x＞﹣2，故A错误；B、x＜2，故B正确；C、x≥2，故C错误；D、x＞2，故D错误．第40页（共40页）
故选：B．5．（3分）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补【解答】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故选：C．6．（3分）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：选项A、B、C均可能是该直棱柱展开图，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，第40页（共40页）
故选：D．7．（3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D,∵AB＝AC＝2米,AD⊥BC,∴BD＝DC,∴cosα＝＝,∴DC＝2cosα(米），∴BC＝2DC＝2•2cosα＝4cosα(米）。故选：A．8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（ ）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【解答】解：∵k＝﹣12＜0，∴双曲线在第二，四象限，∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，∴y2＜0＜y1；故选：B．9．（3分）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）第40页（共40页）
A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【解答】解：设商品原标价为a元，A.先打九五折，再打九五折的售价为：0.95×0.95a＝0.9025a；B.先提价50%，再打六折的售价为：(1+50%)×0.6a＝0.9a；C.先提价30%，再降价30%的售价为：（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a；D.先提价25%，再降价25%的售价为：（1+25%）（1﹣25%）a＝0.9375a，∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，∴B选项的调价方案调价后售价最低，故选：B．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）A．B．3πC．5πD．【解答】解：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2，①第40页（共40页）
取AB的中点为O，∵△ABC是直角三角形，∴OA＝OB＝OC，∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，∴O为圆心，连接OG，OE，则OG，OE为半径，由勾股定理得：，②由①②得a＝b，∴，∴，∴，∴，故选：C．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次根式中，字母x的取值范围是 x≥3 ．【解答】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：x≥3．12．（4分）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 2 ．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．13．（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是 ．【解答】解：∵共有150张奖券，一等奖5个，第40页（共40页）
∴1张奖券中一等奖的概率＝＝．故答案为：．14．（4分）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为 2 cm．【解答】解：如图，连接BD,过点E作EF⊥AC于点F,∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB,BD⊥AC,∵∠BAD＝60°，∴三角形ABD是等边三角形，∵菱形ABCD的边长为6cm,∴AD＝AB＝BD＝6cm,∴AG＝GC＝3(cm),∴AC＝6(cm),∵AA′＝2(cm),∴A′C＝4(cm),∵AD∥A′E,∴＝,∴＝,∴A′E＝4(cm),∵∠EA′F＝∠DAC＝DAB＝30°,第40页（共40页）
∴EF＝A′E＝2(cm)．故答案为：2．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 (﹣﹣,+) ．【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,∴AH＝AD＝a,∴OH＝4a,∵点A的横坐标为1，∴4a＝1,∴a＝,在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a＝,∴PQ＝PF＝,∵FK⊥PQ,∴PK＝KQ,∴FK＝PK＝QK＝,第40页（共40页）
∵KJ＝，PT＝1+(﹣)＝+,∴FJ＝+,KT＝PT﹣PK＝+﹣＝+,∴F(﹣﹣,+)．故答案为：(﹣﹣,+)．16．（4分）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为 13 ．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 11.5 ．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，∴＝，∴DE＝13；故答案为：13．（2）如图2，过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，第40页（共40页）
∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，设P′F＝4m，则E′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1,∴E′D′＝6.5,∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）第40页（共40页）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．【解答】解：原式＝﹣1+﹣4×+2＝﹣1+2﹣2+2＝1．18．（6分）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．19．（6分）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长．（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【解答】解：(1)∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；第40页（共40页）
（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD,OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝,∴tanα＝＝．20．（8分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．（2）求小聪成绩的方差．（3）现求得小明成绩的方差为S小明2＝3（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．【解答】解：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，小聪成绩的平均数：（7+8+7+10+7+9）＝8，小明成绩的平均数：（7+6+6+9+10+10）＝8，答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8，8；（2）小聪成绩的方差为：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝；（3）小聪同学的成绩较好，理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定．故小聪同学的成绩较好．21．（8分）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D第40页（共40页）
为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．又∵≈1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱．22．（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．第40页（共40页）
②求AP的长．（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，∴∠OBO′＝90°,由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(m+2m)2,∴m＝或﹣（舍弃），∴OH＝,BH＝,在Rt△PBH中，PH＝＝,第40页（共40页）
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．(2)如图2中，连接AD,OD．∵＝,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,∴∠DPB＝∠PBD,∴DP＝DB＝AD,∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,∴△AOD≌△BOD,∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,∴∠DOB＝36°,∴∠AOB＝72°，∴的长＝＝。第40页（共40页）
23．（10分）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．【解答】解：（1）∵AC＝4,CD＝3,∴AD＝AC﹣CD＝1,∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1,∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°,∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4,∴A(4,1),第40页（共40页）
∴k＝4．(2)①由题意，A(x,x﹣z),∴x(x﹣z)＝4,∴z＝x﹣．②图象如图所示．性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．性质2：x＜0时，y随x的增大而增大．③设直线的解析式为y＝kx+b,把（3,2）代入得到，2＝3k+b,∴b＝2﹣3k,∴直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,由,消去y得到，（k﹣1）x2+(2﹣3k)x+4＝0,当△＝0时，(2﹣3k)2﹣4(k﹣1)×4＝0,解得k＝或2，当k＝时，方程为x2﹣x+4,解得x＝6．当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0,解得x＝2．综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或6．第40页（共40页）
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB,CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BCO＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO,∴∠BAD＝∠DOB,∴∠ADB＝∠COD,∵∠ADB＝∠CDO,∴∠COD＝∠CDO,∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：第40页（共40页）
∵M在直线l：y＝x上，设M（m,m),∴MN＝|m|＝﹣m,ON＝|m|＝﹣m,Rt△MON中，tan∠OMN＝＝,而OA∥MN,∴∠AOM＝∠OMN,∴tan∠AOM＝,即＝，设AM＝3n,则OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴(3n)2+(8n)2＝()2,解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB,∠CBO＝45°,∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似,理由如下：过A作AM⊥OB于M,如图：第40页（共40页）
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x,则BM＝8﹣x,AB＝,∵CO⊥BO，AM⊥BO,AB⊥BC,∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO,∴△AMB∽△BOC,∴＝,即＝,∴OC＝,Rt△BOC中，BC＝＝,∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝,则＝,解得x＝4,∴此时OB＝4；②若＝,则＝,解得x1＝4+,x2＝4﹣,∴OB＝4+或OB＝4﹣；综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣；第40页（共40页）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同鄂州市2021年初中毕业生学业考试数学试题学校：_______________考生姓名：_______________准考证号：注意事项：1．本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷上无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。6．考生不准使用计算器。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1．实数6的相反数等于A．B．6C．D．2．下列运算正确的是A．B．C．D．3．“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是A．B．C．D．5．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为第40页（共40页）
A．B．C．D．6．已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于A．B．C．D．7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是A．B．C．D．8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是图1图2A．1米B．米C．2米D．米第40页（共40页）
9．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5．上述结论中正确结论的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是A．3B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）11．计算：_____________．12．“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2．这组数据的中位数是_____________．13．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．第40页（共40页）
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________．15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________．16．如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为_____________．三、解答题（本大题共8小题，17～21题每题8分，22～23题每题10分，24题12分，共计72分）17．（本题满分8分）先化简，再求值：，其中．18．（本题满分8分）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分均为不小于60的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（）．合格（）、良好（）、优秀（第40页（共40页）
），制作了如下统计图（部分信息未给出）：所抽取成绩的条形统计图所抽取成绩的扇形统计图根据图中提供的信息解决下列问题：（1）（3分）胡老师共抽取了____________名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为____________﹐请补全条形统计图．（2）（5分）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．19．（本题满分8分）如图，在中，点、分别在边、上，且．（1）（4分）探究四边形的形状，并说明理由；（2）（4分）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．20．（本题满分8分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行km到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行12km到达地．（1）（4分）求地与信号发射塔之问的距离；（2）（4分）求地与信号发射塔之问的距离．（计算结果保留根号）21．（本题满分8分）第40页（共40页）
为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本（元）与种植面积（亩）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．（1）（3分）求与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）（5分）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本＋每亩种植补贴）22．（本题满分10分）如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．（1）（4分）求证：；（2）（6分）连接，若，，求线段的长．23．（本题满分10分）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现由；；；；；猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．猜想证明∵∴①当且仅当，即时，，∴；第40页（共40页）
②当，即时，，∴．综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．猜想运用（3分）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？变式探究（3分）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？拓展应用（4分）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？24．（本题满分12分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．（1）（3分）请直接写出点、点、点的坐标；（2）（3分）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．①（3分）若点在内部（不包括边），求的取值范围；②（3分）在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点第40页（共40页）
的坐标；若不存在，请说明理由．备用图1备用图2鄂州市2021年初中毕业生学业考试数学试卷参考答案及评分标准评卷说明：1．本卷满分1：20分。2．解答题按步骤给分。3．解答题仅提供一种解题方法，考生解题方法与参考答案不同的，只要合理、正确均给满分。一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案AABCBDCBCD二、填空题（每小题3分，共18分）11．312．213．14．15．816．三、解答题（17～21题每题8分，22～23题每题10分，24题12分，共计72分）17．解：原式当时，原式18．解：（1）40，，（补全条形图略）（2）．19．解：第40页（共40页）
（1）四边形为平行四边形．理由如下：∵四边形为平行四边形∴∵∴∵四边形为平行四边形∴∴∴∵∴四边形为平行四边形（2）设，∵∴，∵四边形为平行四边形∴，，∵∴∴∵∴20．解：（1）依题意知：，，过点作于点，第40页（共40页）
∵，∴∵，∴∵∴∴（2）∵，∴过点作于∵，∴∵∴，∵∴∴21．解：（1）设与之间的函数关系式，依题意得：解得：∴与之间的函数关系式为．（2）设老张明年种植该作物的总利润为元，依题意得：第40页（共40页）
∵∴当时，随的增大而增大由题意知：当时，最大，最大值为268800元即种植面积为210亩时总利润最大，最大利润268800元22．（1）证明：∵∴又∵经过半径的外端点∴切于点∴（2）解：连接，∵为的直径∴∴又∵∴∴∵∴∴又∵∴即∵∴，第40页（共40页）
又∵，∴∴设，则∴∴（舍去），即线段的长为．23．解：猜想运用：∵∴∴∴当时，此时只取即时，函数的最小值为2．变式探究：∵∴，∴∴当时，此时∴，（舍去）即时，函数的最小值为5．第40页（共40页）
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：即∵，∴即整理得：即∴当时此时，即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．24．解：（1），，（2）过点作于∵∴∴∵点∴，第40页（共40页）
∴∵点∴∴即的长为1．（3）①∴其顶点的坐标为∴点是直线上一点∵，∴当时，又∵点在直线上∴当点在内部（不含边）时，的取值范围是．②存在点使最大．其坐标为．意，不得复制发布日期：2021/6/238:56:42；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第40页（共40页）
