2013年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.−6的相反数是（）11A.−B.C.−6D.666【答案】D2.如图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的主视图是（）A.B.C.D.【答案】A3.十八大以来，我国经济继续保持稳定增长，2013年第一季度国内生产总值约为118900亿元，将数字118900用科学记数法表示为（）A.0.1189×105B.1.189×105C.11.89×104D.1.189×104【答案】B4.如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1=130∘，则∠2的度数是()A.130∘B.60∘C.50∘D.40∘【答案】C5.下列各式计算正确的是（）A.(a2)2=a4B.a+a=a2C.3a2+a2=2a2D.a4⋅a2=a8【答案】试卷第1页，总13页,A3x−1>56.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）2x≤6A.B.C.D.【答案】C7.为了解七年级学生参与家务劳动的时间，李老师随机调查了七年级8名学生一周内参与家务劳动的时间（单位：小时）分别是1，2，3，3，3，4，5，6，则这组数据的众数是（）A.2.5B.3C.3.375D.5【答案】B2x68.计算+，其结果是()x+3x+3A.2B.3C.x+2D.2x+6【答案】A9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,0)，B(−2,3)，C(−3,1)，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90∘，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（）A.(2,1)B.(2,3)C.(4,1)D.(0,2)【答案】A试卷第2页，总13页,10.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C11.已知x2−2x−8＝0，则3x2−6x−18的值为（）A.54B.6C.−10D.−18【答案】B12.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）()A.12mB.13mC.16mD.17m【答案】D13.如图，平行四边形OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为(3,0)，点D为k边AB的中点，反比例函数y=(x>0)的图象经过C，D两点，若∠COA＝α，则k的x值等于（）A.8sin2αB.8cos2αC.4tanαD.2tanα【答案】C试卷第3页，总13页,14.已知直线l1//l2//l3//l4，相邻两条平行线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于()2343A.B.C.D.3432【答案】C15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,−2)，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且−1<x1<0，1<x2<2，下列结论正确的是（）a.a<0b.a−b+c<0b2c.−>1D.4ac−b<−8a2a【答案】D二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）计算：3(2x+1)−6x=________．【答案】3分解因式：a2−4=________．【答案】(a+2)(a−2)试卷第4页，总13页,小明和小华做投掷飞镖游戏各5次，两人成绩（单位：环）如图所示，根据图中的信息可以确定成绩更稳定的是________．（填“小明”或“小华”）【答案】小明如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD=35∘，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C=________度．【答案】20若直线y＝kx与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则k的取值范围是________．【答案】1≤k≤22如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1−S2的值为________．试卷第5页，总13页,【答案】1三、解答题（共7小题，57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（1）计算：(2013−1)0+tan45∘32（2）解方程：=．xx−1【答案】解：（1）原式=1+1=2；（2）去分母得：3x−3=2x，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．解决下列问题.(1)如图1，在△ABC和△DCE中，AB//DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D；(2)如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120∘，求AC的长．【答案】(1)证明：∵AB//DC，∴∠B=∠DCE，AB=DC，在△ABC和△DCE中∠B=∠DCE，CB=CE，∴△ABC≅△DCE(SAS)，∴∠A=∠D；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵∠AOD=120∘，试卷第6页，总13页,∴∠AOB=60∘，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=4，∴AC=2AO=8．某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？【答案】解：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，由题意，得x+y=50，8x+6y=360，x=30.解得：y=20.答：大宿舍有30间，小宿舍有20间.在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．(1)搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸到红球的概率；(2)如果第一次随机摸出一个小球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解）【答案】解：(1)∵在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，22∴摸到红球的概率为：=；2+13(2)画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况，21∴两次都摸到红球的概率为：=．63试卷第7页，总13页,如图，点A的坐标是(−2,0)，点B的坐标是(6,0)，点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．（1）求直线BD的函数表达式；（2）求线段OF的长；（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．【答案】解：（1）∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60∘，OC=BC=OB，∵点B的坐标为(6,0)，∴OB=6，在Rt△OBD中，∠OBC=60∘，OB=6，∴∠ODB=30∘，∴BD=12，∴OD=122−62=63，∴点D的坐标为(0,63)，6k+b=0设直线BD的解析式为y=kx+b，则可得，b=63k=−3解得：，b=63∴直线BD的函数解析式为y=−3x+63．（2）∵∠OCB=60∘，∠CEF=90∘，∴∠CFE=30∘，∴∠AFO=30∘（对顶角相等），又∵∠OBC=60∘，∠AEB=90∘，∴∠BAE=30∘，∴∠BAE=∠AFO，∴OF=OA=2．试卷第8页，总13页,（3）连接BF，OE，如图所示：∵A(−2,0)，B(6,0)，∴AB=8，在Rt△ABE中，∠ABE=60∘，AB=8，1∴BE=AB=4，2∴CE=BC−BE=2，∴OF=CE=2，CE=OF在△COE和△OBF中，∠OCE=∠BOF=60∘，CO=OB∴△COE≅△OBF(SAS)，∴OE=BF．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝67.5∘，△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（重合），点M关于AB所在直线的对称点为N，△CMN的面积为S．（1）求∠CAD的度数；（2）设CM＝x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？（3）S的值最大时，过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN（如图2），P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件NP的长．【答案】∵AB＝AC，∠ABC＝67.5∘，∴∠ACB＝∠ABC＝67.5∘，试卷第9页，总13页,∴∠CAB＝180∘−67.5∘−67.5∘＝45∘，∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，∴∠DAB＝∠CAB＝45∘，∴∠CAD＝45∘+45∘＝90∘．由（1）知：AN⊥AM，∵点M、N关于AB所在直线对称，∴AM＝AN，∵CM＝x，∴AN＝AM＝4−x，11∴S=×CM×AN=x(4−x)，2212∴S=−x+2x，22∴当x=−1=2时，S有最大值．2×(−)2∵CE⊥AC，∴∠ECA＝90∘，∵∠CAB＝45∘，∴∠CEA＝∠EAC＝45∘，∴CE＝AC＝4，在Rt△ECA中，AC＝EC＝4，由勾股定理得：EA=42+42=42，∵AM＝AN，∠CAB＝∠DAB，∴AO⊥MN，MO＝NO，在Rt△MAN中，AM＝AN＝4−2＝2，由勾股定理得：MN=22+22=22，∴MO＝NO=2，由勾股定理得：AO=22−(2)2=2，∴EO＝42−2=32，在Rt△EON中，EO＝32，MO=2，由勾股定理得：EM=(32)2+(2)2=25，分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，即NP＝NE＝25；②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，试卷第10页，总13页,此时NP＝MN＝22；③以MN为一边时，过M作MZ⊥NE于Z，则PZ＝NZ，∵AE⊥MN，∴∠EON＝∠MZN＝90∘，∵∠ENO＝∠MNZ，∴△ENO∽△MNZ，ENNO∴=，MNZN252∴=，22ZN2∴ZN=5，54∴NP＝2ZN=5，54即所有满足条件NP的长是25或22或5．522如图1，抛物线y=−x+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接3AB，BC，点A的坐标为(2,0)，tan∠BAO＝2，以线段BC为直径作⊙M交AB于点D，过点B作直线l//AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点C的坐标和线段EF的长；（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．试卷第11页，总13页,【答案】∵点A(2,0)，tan∠BAO＝2，∴AO＝2，BO＝4，∴点B的坐标为(0,4)．22∵抛物线y=−x+bx+c过点A，B，38−+2b+c=0∴3，c=42b=−解得3，c=4222∴此抛物线的解析式为y=−x−x+4．331∵抛物线对称轴为直线x=−，2∴点A关于对称轴的对称点C的坐标为(−3,0)，点B的对称点E的坐标为(−1,4)，∵BC是⊙M的直径，3∴点M的坐标为(−,2)，2如图1，过点M作MG⊥FB，则GB＝GF，3∵M(−,2)，23∴BG=，2∴BF＝2BG＝3，∵点E的坐标为(−1,4)，∴BE＝1，∴EF＝BF−BE＝3−1＝2．四边形CDPQ的周长有最小值．2+OB2=#/DEL/#5，理由如下：∵BC=OC32+42#/DEL/#AC＝CO+OA＝3+2＝5，∴AC＝BC，∵BC为⊙M直径，∴∠BDC＝90∘，即CD⊥AB，∴D为AB中点，∴点D的坐标为(1,2)．如图2，作点D关于直线l的对称点D1(1,6)，点C向右平移2个单位得到C1(−1,0)，连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移2个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．设直线C1D1的函数表达式为y＝mx+n(m≠0)，−m+n=0m=3∴，，m+n=6n=3∴直线C1D1的表达式为y＝3x+3，∵yp＝4，1∴xp=，3试卷第12页，总13页,1∴点P的坐标为(,4)；3C＝25+210+2．四边形CDPQ最小试卷第13页，总13页</x1<0，1<x2<2，下列结论正确的是（）a.a<0b.a−b+c<0b2c.−>
