2022年北师大版中考数学一轮复习：二次函数综合 专项练习题（word版，含答案）

2022年北师大版中考数学一轮复习：二次函数综合专项练习题1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与直线y＝﹣3有且只有一个公共点．（1）直接写出抛物线的顶点D的坐标，并求出c与a的关系式；（2）若点P（x，y）为抛物线上一点，当t≤x≤t+1时，y均满足﹣3≤y≤at2﹣3，求t的取值范围；（3）过抛物线上动点M（x，y）（其中x≥3）作x轴的垂线l，设l与直线y＝﹣ax+2a﹣3交于点N，若M、N两点间的距离恒大于等于1，求a的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．3．如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（2，0）和点B．（1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．第36页共36页,4．已知：函数y＝（m为常数）的图象记为G．（1）若点（﹣2，﹣5）在图象G上，求m的值．（2）若点（m，1）在图象G上，求函数y随x增大而减小时，x的取值范围．（3）当m＝1，﹣2≤x≤2时，求函数y的取值范围．（4）已知正方形ABCD的中心为原点O，点A的坐标为（1，1）．当图象G与正方形ABCD的边有2个交点时，直接写出实数m的取值范围．5．在平面直角坐标系中，A，B分别是直线y＝x﹣3，抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的动点，其横坐标分别为m，n+2．（1）点B的纵坐标用含有n的式子可表示为　　．（2）连接AB，当AB∥x轴，A在B的右侧且AB＝4时，求m的值；（3）当4≤m≤7，﹣3≤n≤时，作直线AB交y轴于点C，请直接写出C点纵坐标y的取值范围．6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．（1）求c的值，并用含a的代数式表示b．（2）当a＝时，①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若线段GH的端点G、H的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．第36页共36页,7．已知抛物线y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a（a＞），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的最大值；（2）若当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；（3）若直线CD交x轴于点G，求的值．8．在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．（1）写出A点坐标；（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．9．定义：与坐标轴不重合的直线l交x，y轴于A、B两点（A、B不重合），若抛物线L过点A和点B，则称此抛物线L为直线l的“和谐线”，如图L1，L2均为直线l的“和谐线”．（1）已知直线的解析式为y＝﹣x+4，则下列抛物线是直线l的“和谐线”的有　　．①y＝x2﹣5x+4②y＝2x2﹣7x﹣4③第36页共36页,（2）已知直线y＝kx+b的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点M，N，求线段MN的长．（3）已知直线y＝﹣cx+c（c≠0）的“和谐线”为y＝ax2+bx+c（a≠0，且a＞b＞c），求该“和谐线”在x轴上所截线段长d的取值范围．10．已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2．（1）若a＝1，x1＝1，x2＝4，求二次函数顶点坐标；（2）若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），求m+n的值；（3）在（1）的条件下，将抛物线向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增加而减小的部分为P，若P和直线y＝x﹣n有交点，求n2﹣5n的最小值．11．二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．感知特例（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：…B（﹣1，3）O（0，0）C（1，﹣1）A（　　，　　）D（3，3）……B'（5，﹣3）O′（4，0）C'（3，1）A′（2，0）D'（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．第36页共36页,形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为　　；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是　　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．13．定义：对于给定函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数第36页共36页,为函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G．（1）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1．①写出这个函数的“相依函数”　　；②当﹣1≤x≤1时，此相依函数的最大值为　　；（2）若直线y＝m与函数y＝﹣x2+2x﹣1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；（3）设函数（n＞0）的相依函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当时，求出n的取值范围．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，且△ABC为等腰直角三角形．（1）当A（﹣1，0），B（3，0）时，则抛物线的顶点坐标是　　；（2）当b＝﹣2a，a＜0时．①求该二次函数的解析式（用只含a的式子表示）．②在﹣1≤x≤3范围内任取三个自变量x1、x2、x3，所对应的三个函数值分别为y1，y2，y3，若以y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围．15．已知抛物线F1：y＝a（x﹣8）（x+4）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线顶点为C，CD⊥x轴于点D．（1）若a＝，求△ABC的周长；（2）若△ACD的内心在y轴正半轴上，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝a（x﹣8）（x+4）的函数值的取值范围为m≤y＜n，求m+n的值．16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）．（Ⅰ）当k＝2时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（Ⅲ）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围；（Ⅳ）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值．17．已知二次函数y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．第36页共36页,（1）求证：该函数图象与x轴必有交点；（2）若m﹣n＝3．①当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；②点A（p，q）为函数y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|图象上的动点，当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4的上方，求m的取值范围．18．已知二次函数y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．（1）若b＝0，令y＝y1+y2，证明y关于x的函数的图象与x轴没有交点；（2）若x＝x0时，y1＝m，y2＝n，若m＞n，求x0的取值范围；（3）把二次函数y1＝ax2+bx+c的图象关于原点作中心对称变换，所得图象的表达式为y3＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，求m的最大值．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣bx+3的对称轴为直线x＝2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，n），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1＝3时，结合函数图象，求出n的值；②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，满足﹣4≤y≤4，求n的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣1，m﹣2），C（2，2）．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．第36页共36页,参考答案1．解：（1）由题意得D在直线y＝﹣3上且D在二次数对称轴x＝﹣＝﹣＝1上，∴D（1，﹣3），将其代入y＝ax2﹣2ax+c得﹣3＝a﹣2a+c，化简得c＝a﹣3；（2）当a＞0时，二次函数图象开口向上，如图，抛物线的开口向上，当t+1≤1，即t≤0，此时：当x＝t+1时，满足﹣3≤y，当x＝t时，函数值最大，则at2﹣2at+a﹣3≤at2﹣3，解得：t≥，不合题意，舍去，当0＜t＜时，则1＜t+1＜，如图，第36页共36页,此时：当x＝t+1时，满足﹣3≤y，当x＝t时，函数值最大，则at2﹣2at+a﹣3≤at2﹣3，解得：t≥，不合题意舍去，当t≥时，则≤t+1，如图，此时：当x＝t时，满足﹣3≤y，当x＝t+1时，函数值最大，则yt+1＝a（t+1）2﹣2a（t+1）+a﹣3＝at2﹣3，∴a（t+1）2﹣2a（t+1）+a﹣3≤at2﹣3恒成立，∴t≥，当a＜0时，若t＝0，则x＝1，满足等号成立，所以t＝0满足条件；综上t≥或t＝0；（3）|MN|≥1即|ax2﹣2ax+a﹣3﹣（﹣ax+2a﹣3）|≥1，即|ax2﹣ax﹣a|≥1，①ax2﹣ax﹣a≥1（x≥3恒成立需求a＞0，其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝），只需要求x＝3时ax2﹣ax﹣a≥1即9a﹣3a﹣a≥1，第36页共36页,解得a≥；②ax2﹣ax﹣a≤﹣1（x≥3恒成立要求a＜0），只需要求x＝3时ax2﹣a≤﹣1，即9a﹣3a﹣a≤﹣1，解得a≤﹣．2．解：（1）由题意得：a＝1，b＝﹣2，c＝1+m，∴＝＝1，＝m，∴顶点坐标为：（1，m）．（2）∵当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，如图，∴当x＝﹣1时，y＝0，即：1+2+1+m＝0，解得：m＝﹣4，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A（﹣1，0），B（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3．∴沿x轴向上翻折后的图象解析式为：y＝﹣x2+2x+3．当直线l经过点A（﹣1，0）时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得：1+k＝0，解得：k＝﹣1，当直线l经过点B（3，0）时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，把点B（3，0）代入y＝﹣x+k，得：﹣3+k＝0，解得：k＝3，当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，由，得：x2﹣3x+k﹣3＝0，∴Δ＝9﹣4（k﹣3）＝0，解得：k＝，∴k的取值范围：﹣1＜k＜3或k＞．第36页共36页,3．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4+2m，解得：m＝﹣2，将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣2+b，解得b＝2；故m＝﹣2，b＝2；（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+2，y＝x2﹣2x，联立上述两个函数表达式并解得或（不符题意，舍去），即点B的坐标为（﹣1，3），从图象看，不等式x2+mx＞﹣x+b的解集为x＜﹣1或x＞2；（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵M，N的距离为3，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤xM＜2；当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点A的右侧时，当xM＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上，﹣1≤xM＜2或xM＝3．4．解：（1）∵点（﹣2，﹣5）在图象G上，∴﹣（﹣2）2+2m×（﹣2）+2m﹣2＝﹣5，解得：m＝﹣，∴m的值为﹣．（2）①当m≥1时，则m2﹣m•m﹣m+1＝1，整理，得：m2+2m＝0，解得：m1＝0（舍），m2＝﹣2（舍），②当m＜1时，则﹣m2+2m•m+2m﹣2＝1，整理，得：m2+2m﹣3＝0，第36页共36页,解得：m1＝﹣3，m2＝1（舍），∴m＝﹣3，∴函数y＝，∵当x≥1时，y＝x2+3x+4＝（x+3）2﹣，抛物线开口向上，在对称轴x＝﹣3右侧y随x增大而增大，∴当x≥1时，函数y随x增大而增大；∵当x＜1时，y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，抛物线开口向下，在对称轴x＝﹣3右侧y随x增大而减小，∴当﹣3＜x＜1时，函数y随x增大而减小；综上，函数y随x增大而减小时，x的取值范围为﹣3＜x＜1．（3）当m＝1时，y＝，①当1≤x≤2时，y＝x2﹣x＝（x﹣1）2﹣，抛物线开口向上，当x＝1时，函数y取得最小值﹣，当1＜x≤2时，y随x增大而增大，x＝2时，函数y取得最大值0，∴当1≤x≤2时，﹣≤y≤0，②当﹣2≤x＜1时，y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，抛物线开口向下，在对称轴左侧，即﹣2≤x＜1时，y随x增大而增大，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣1）2+1＝﹣8，当x＝1时，y＝﹣（1﹣1）2+1＝1，∴当﹣2≤x＜1时，﹣8≤y＜1，综上所述，函数y的取值范围为﹣8≤y＜1．（4）如图1，当y＝﹣x2+2mx+2m﹣2（x＜1）的顶点落在BC边上时，顶点的纵坐标为﹣1，∵y＝﹣x2+2mx+2m﹣2＝﹣（x﹣m）2+m2+2m﹣2，∴m2+2m﹣2＝﹣1，解得：m1＝﹣1﹣（舍），m2＝﹣1+，如图2，当y＝﹣x2+2mx+2m﹣2刚好经过A（1，1）时，则：﹣1+4m﹣2＝1，第36页共36页,∴m＝1，如图3，当y＝﹣x2+2mx+2m﹣2刚好经过B（1，﹣1）时，则：﹣1+2m+2m﹣2＝﹣1，∴m＝，∴≤m≤1，如图4，当y＝x2﹣mx﹣m+1经过点B（1，﹣1）时，则﹣m﹣m+1＝﹣1，解得：m＝，此时，图象G与正方形ABCD的边有3个交点，∴m＞时，图象G与正方形ABCD的边有2个交点；综上所述，≤m≤1或m＝﹣1+或m＞．5．解：（1）∵B点在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，且B点横坐标为（n+2），∴yB＝（n+2）2﹣2（n+2）﹣3＝n2+2n﹣3，故答案为：n2+2n﹣3；（2）∵AB∥x轴，∴yA＝yB，第36页共36页,即m﹣3＝n2+2n﹣3，①∵A在B的右侧且AB＝4，∴m﹣（n+2）＝4，②联立①②得或，∴m的值为3或8；（3）∵4≤m≤7，﹣3≤n≤，∴﹣1≤n+2≤，∴如右图，A点的移动范围在MN之间，B点的移动范围在PQ之间，∴当A与N点重合，B与P点重合时，即直线AB与l重合时，此时存在C点的上边界，当A与M点重合，B位于AB与抛物线的切点时，即直线AB与l'重合时，此时存在C点的下边界，①当直线AB与l重合时，此时，A（7，4），B（﹣1，0），设直线l解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，∴C点纵坐标y的最大值为，②当直线AB与l'重合时，A（4，1），∴设直线l'的解析式为y＝ax+1﹣4a，∵B点为切点，∴将y＝ax+1﹣4a代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3，得x2﹣2x﹣ax+4a﹣4＝0，因为切点只有一个，所以此方程Δ＝0，即（﹣2﹣a）2﹣4×（4a﹣4）＝0，解得a＝2或10，第36页共36页,当a＝10时，x＝6，不符合题意舍去，当a＝2时，x＝2，即B（2，﹣3），∴l'的解析式为y＝2x﹣7，∴C点纵坐标y的最小值为﹣7，综上，C点纵坐标的取值范围为：﹣7≤y．6．解：（1）把（0，6）代入y＝ax2+bx+c，得c＝6．把（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx+6，得4a﹣2b+6＝﹣2，∴b＝2a+4．（2）①当时，此函数表达式为，图象开口向上．由顶点坐标公式可知顶点坐标为，∵﹣4≤x≤2，∴当时，y的最小值为．观察图象结合增减性，当x＝2时，y有最大值，把x＝2代入，y的最大值为20．②∵，令y＝0，则x＝﹣6或，∵点C在左侧，第36页共36页,∴C（﹣6，0）设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（0，6），C（﹣6，0）代入，得k＝1，m＝6，∴y＝x+6设则F（x，x+6）∴，∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，∴∠COA＝90°，∵DF∥AO，∴∠DFM＝∠CAO＝45°，，设△FDM的周长为l，则当FD最大时，周长最大，又∵，又∵且﹣6＜x＜0，∴x＝﹣3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．把x＝﹣3代入，得，∴．（3）①当a＞0时，若抛物线与线段GH只有一个公共点（如图），第36页共36页,y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a+4）x+6，当x＝1时，y＝3a+10，则抛物线上的点（1，3a+10）在H点的上方，∴25a﹣10a﹣20+6＜10．解得．0＜．②当a＜0时，∵抛物线与线段只有一个公共点，又图象经过点A（0，6），和B（﹣2，﹣2）则抛物线的顶点必在线段GH上，（如图）∴．即4a×6﹣（2a+4）2＝40a，解得或，∵a＜0，对称轴在y轴左侧，2a+4＜0，∴a＜﹣2，故只能是第36页共36页,综上，a的取值范围是或，7．解：（1）抛物线开口向下，∴在顶点时有最大值，由顶点坐标公式得y最大＝＝3a，即抛物线最大值为3a；（2）y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a＝﹣（x﹣2a）2+3a，∴抛物线的对称轴是：x＝2a，∵a＞，∴2a＞，分两种情况：①当＜2a≤2时，即＜a≤1，∴当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值是3a，即3a＝3，∴a＝1；②当2a＞2时，即a＞1，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，x＝2时有最大值3，∴y＝﹣（2﹣2a）2+3a＝3，解得：a1＝，a2＝1（舍），综上，a的值是1或；（3）如图，∵y＝﹣（x﹣2a）2+3a，∴D（2a，3a），C（0，﹣4a2+3a），当y＝0时，﹣（x﹣2a）2+3a＝0，第36页共36页,解得：x1＝2a﹣a，x2＝2a+a，∴A（2a﹣a，0），B（2a+a，0），设DC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴设DC的解析式为：y＝2ax﹣4a2+3a，当y＝0时，2ax﹣4a2+3a＝0，∴x＝2a﹣，∴OG＝2a﹣，∴＝＝＝＝＝．8．解：（1）∵y1＝﹣（x+4）（x﹣n），令y1＝0，﹣（x+4）（x﹣n）＝0，∴x1＝﹣4，x2＝n，∴A（﹣4，0）；（2）y1＝﹣（x+4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，∴k1＝n2+2n+4，∵y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9，∴k2＝﹣n2+2n+9，（3）k1﹣k2＝n2﹣5，①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2；②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；第36页共36页,③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，即当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2；（4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b，则，由①﹣②得，k＝﹣1，∴b＝﹣5n2+2n+9，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①如图：当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n与y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：x2+（4n﹣1）x＝0，则x1＝0，x2＝1﹣4n②，当x1＝0时，把x1＝0代入y1得：y＝4n，把x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得：4n＝﹣5n2+2n+9，∴5n2+2n﹣9＝0，∴n＝，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，当x2＝1﹣4n时，把x2＝1﹣4n代入①得：（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式Δ＜0，所以该方程没有实数根；第36页共36页,②如图：当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，此时Δ＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0，∴21n2+2n﹣27＝0，∴n＝，由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，当n＝时，1﹣4n≠0，∴x1≠x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，③如图：当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点，∵x1＝0，x2＝1﹣4n，第36页共36页,∴n＝，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，△＝（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝21n2+2n﹣27，当n＝时，Δ＜0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，∴n≠，综上所述：n1＝，n2＝，n3＝，n4＝．9．解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴交点坐标（4，0），与y轴交点坐标（0，4），把两点坐标代入①②③函数关系式，得到①③函数都经过这两点，∴抛物线①③是直线l的“和谐线”，故答案为①③；（2）令x＝0，得y＝﹣1；令y＝0，得＝0，解得，x＝2，∴抛物线与x，y轴的交点分别为（2，0）及（0，﹣1），把两点坐标代入y＝kx+b，得，∴直线为：，联立直线与双曲线的解析式，解方程组得或，∴两交点坐标为（﹣2，﹣2）及（4，1），∴MN＝＝；（3）令y＝0，得ax2+bx+c＝0，设方程两根为x1，x2，∴d＝|x1﹣x2|＝，第36页共36页,∵x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴，∵直线y＝﹣cx+c（c≠0）过点（1，0），代入y＝ax2+bx+c中，得a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，代入d中得＝＝＝||＝|2+|，∵a+b+c＝0，a＞b＞c，∴a＞b＞﹣a﹣b，a＞0，则，∴＜2+＜3，∴．10．解：（1）由题意得，抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣4）＝x2﹣5x+4＝（x﹣）2﹣，故抛物线的顶点坐标为（，﹣）；（2）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝2，则x＝3在对称轴的右侧，而x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），故x2在3和4之间，即m、n分别为3、4，故m+n＝3+4＝7；（3）将抛物线向左平移n（n＞0）个单位，此时函数的对称轴为直线x＝﹣n，∵当P和直线y＝x﹣n有交点时，则当x≤﹣n时，直线在P的上方，当x＝﹣n时，P的y值为﹣，当x＝﹣n时，y＝x﹣n＝﹣2n，第36页共36页,即﹣2n≥﹣，解得n≤，故0＜n≤，设y＝n2﹣5n，∵1＞0，故y有最小值，而0＜n≤，当n＝时，n2﹣5n的最小值为﹣．11．解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，∴点A为BB′的中点，设点A（m，n），∴m＝＝2，n＝＝0，故答案为：（2，0）；②所画图象如图1所示，（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，第36页共36页,故答案为：﹣3≤x≤﹣1；②∵抛物线y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣8m2，∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，令a′x2+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，整理得（a′+1）x2+（b′﹣6m）x+（c′+8m2）＝0，∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，∴分下面两种情形：i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，都会存在对应的m使得b′﹣6m＝0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；ii）当a′≠﹣1时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣4（a′+1）（c′+8m2）＝0，即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1）•8m2﹣4c′（a′+1）＝0，整理得[36﹣32（a′+1）]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+1）＝0，∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m取值无关，∴，解得a′＝，b′＝0，c′＝0，则y＝x2，故答案为：y＝ax2；③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣3m）2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，0），∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：i）直线y＝m经过M（m，﹣m2），∴m＝﹣m2，解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），ii）直线y＝m经过N（3m，m2），∴m＝m2，解得：m＝1或m＝0（舍去），iii）直线y＝m经过A（2m，0），∴m＝0，第36页共36页,但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，m＝±1．12．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），∴，∴b＝﹣2a﹣1（a＞0）．（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+，a＞0，在1≤x≤3时，y的最大值为1，∴x＝1时，y＝1或x＝3时，y＝1，∴1＝a﹣（2a+1）+或1＝9a﹣3（2a+1）+，解得a＝﹣（舍弃）或a＝．∴a＝．（3）∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，∴A′（2，），B′（4，﹣），∴直线A′B′的解析式为y＝﹣x+，∵抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x++4a在2≤x≤4的范围内仅有一个交点，∴即方程ax2﹣（2a+1）x++4a＝﹣x+在2≤x≤4的范围内仅有一个根，整理得ax2﹣2ax+4a﹣3＝0在2≤x≤4的范围内只有一个解，即抛物线y＝ax2﹣2ax+4a﹣3在2≤x≤4的范围内与x只有一个交点，第36页共36页,观察图象可知，x＝2时，y≤0，x＝4时，y≥0，∴，解得，≤a≤，∴≤a≤．13．解：（1）①∵函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数为函数y＝ax2+bx+c的“相依函数”，∴y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”是；故答案为：；②当﹣1≤x＜0时，y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故当x＝﹣1时，y有最大值为2，当0≤x≤1时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，故x＝1时，y有最大值为0，综上所述，当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”最大值是2，故答案为：2；（2）函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”的图象如图：由y＝﹣x2﹣2x+1可得顶点B（﹣1，2），与y轴交点C（0，1）（函数y＝﹣x2+2x﹣1的“相依函数”图象不包含C），由y＝﹣x2+2x﹣1可得顶点D（1，0），与y轴交点A（0，﹣1），当直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，由图象知：m＜﹣1或m＝0或1＜m＜2；（3）由题意知，函数y＝x2+nx+1（n＞0）的“相依函数”为第36页共36页,，且n2+1＞n2﹣1，（1）当n≥4时，y＝﹣（x+n）2+n2﹣1图象的对称轴在直线x＝﹣4左侧，y＝﹣（x﹣n）2+n2+1图象的对称轴在x＝4右侧，当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，当x＝﹣4时，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，∵n≥4，∴2n﹣1≤4n﹣9，又≤y0≤9，∴≤4n﹣9≤9，∴≤n≤，∴4≤n≤，（2）当2＜n＜4时，当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，∵2＜n＜4，∴2n﹣1＞n2﹣1，此时由≤y0≤9，可得≤2n﹣1≤9，有≤n≤5，∴2＜n＜4，（3）当0＜n≤2时，而n2+1＞n2﹣1，∴≤n2+1≤9，∴1≤n≤4，∴1≤n≤2，综上所述，n的取值范围是1≤n≤．14．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0），∴抛物线对称轴为直线x＝1，AB＝4，第36页共36页,设对称轴交AC于点H，∵△ABC为等腰直角三角形，∴CH＝2，∴当抛物线开口向上时，点C坐标为（1，﹣2），设y＝a（x﹣1）2﹣2，把B（3，0）代入，可得a＝，∴当抛物线开口向下时，点C坐标为（1，2），设y＝a（x﹣1）2+2，把B（3，0）代入并解得a＝﹣，∴a的值为或﹣，故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）或（1，2），故答案为：（1，﹣2）或（1，2）；（2）①当b＝﹣2a时，y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，∴点C（1，c﹣a），∴点B（1+c﹣a，0），∴a（c﹣a）2+c﹣a＝0，∴（c﹣a）（ac﹣a2+1）＝0，∵c﹣a≠0，∴ac﹣a2+1＝0，∴c＝a﹣，∴y＝a（x﹣1）2﹣，②∵﹣1≤x≤3，a＜0，∴当x＝﹣1或3时，y有最小值为4a﹣，当x＝1时，y有最大值﹣，若以y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，则2（4a﹣）＞﹣，整理的8a2﹣1＜0，∴﹣＜a＜0．第36页共36页,15．（1）当a＝时，有y＝，取y＝0，得＝0，解得x1＝﹣4，x2＝8，∴A（﹣4，0），B（8，0），又∵y＝＝，∴C（2，6），∴AB＝12，AC＝6，BC＝6，∴；（2）∵△ACD为直角三角形，∴内心在三角形的内部，∴a＜0，图象开口向下，设内心为点E（0，t），由于E到x轴的距离等于E到CD的距离，∴t＝2，∴E（0，2），又∵△ACD为直角三角形，∴AD2+CD2＝AC2，即62+（﹣36a）2＝（﹣36a+2）2，解得：a＝﹣，∴；（3）根据n的值分三种情况讨论，∵m≤x≤n，且mn＜0，第36页共36页,∴m＜0＜n，①若n＜2，则有：，解得n＝，不合题意，故舍去，②若2＜n＜4﹣m，则有：，解得，且，∴m+n＝9﹣4，③若4﹣m＜n，则有：，解得，且，∴m+n＝9﹣4，且，∴m+n＝，综上，m+n的值为9﹣4或．16．解：（Ⅰ）当k＝2时，y＝x2﹣2（2﹣1）x+22﹣×2＝x2﹣2x﹣1，x顶点＝﹣＝﹣＝1，y顶点＝x2﹣2x﹣1＝12﹣2×1﹣1＝﹣2，∴此抛物线顶点坐标为（1，﹣2）；（Ⅱ）把（1，k2）代入抛物线解析式得k2＝1﹣2（k﹣1）+k2﹣k，解得：k＝；（Ⅲ）把点（2k，y1）代入抛物线有y1＝4k2﹣2（k﹣1）2k+k2﹣k，第36页共36页,同理把点（2，y2），代入抛物线得y2＝4﹣4（k﹣1）+k2﹣k，由y1＞y2知，4k2﹣2（k﹣1）2k+k2﹣k＞4﹣4（k﹣1）+k2﹣k，解得k＞1；（Ⅳ）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k＝（x﹣k+1）2+（﹣k﹣1）向右平移1个单位长度得到新解析式为y＝（x﹣k）2+（﹣﹣1），①k＜1时，1≤x≤2位于对称轴右侧，y随x增大而增大，当x＝1时，y最小＝（1﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k＝﹣，解k1＝1≥1，k2＝≥1，∴舍去，②当1≤k≤2时，y最小＝﹣k﹣1＝﹣，解得k＝1，③当k＞2时，1≤x≤2位于对称轴左侧，∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣+3＝﹣，解得k1＝3，k2＝（舍去），综上k＝1或3．17．解：（1）∵△＝（﹣n）2﹣4m（﹣m+n）＝（n﹣2m）2≥0，∴该函数图象与x轴必有交点；（2）①∵m﹣n＝3，∴n＝m﹣3．∴y1＝mx2﹣nx﹣m+n＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．当y1＝0时，mx2﹣（m﹣3）x﹣3＝0，解得x＝1或﹣．∴二次函数图象与x轴交点为（1，0）和（﹣，0），∵当﹣m≤x＜1时，二次函数的最大值小于0，∴﹣＜﹣m＜1．第36页共36页,又∵m＞0，∴0＜m＜；②∵y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|，m﹣n＝3，∴当x＜﹣或x＞1时，y2＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3，当﹣≤x≤1时，y2＝﹣mx2+（m﹣3）x+3．∵当﹣4＜p＜﹣1时，点A在直线y＝﹣x+4上方，∴当﹣1＜﹣，即m＞3时，有m×（﹣1）2﹣（m﹣3）×（﹣1）﹣3≥﹣（﹣1）+4，解得m≥．当﹣＜﹣4，即m＜时，有﹣m×（﹣1）2+（m﹣3）×（﹣1）+3≥﹣（﹣1）+4，且﹣m×（﹣4）2+（m﹣3）×（﹣4）+3≥﹣（﹣4）+4，∴m≤，又∵m＞0，∴0＜m≤．综上所述：0＜m≤或m≥．18．解：（1）当b＝0时，y＝y1+y2＝（a+c）x2+（a+c），令y＝0，则（a+c）x2+（a+c）＝0，∵a+c≠0，∴x2+1＝0，∵△＝﹣4＜0，∴方程x2+1＝0没有实数根，即抛物线y＝（a+c）x2+（a+c）与x轴没有交点；（2）∵a＞0，c＜0，a+c≠0，∴抛物线y1＝ax2+bx+c的开口向上，抛物线y2＝cx2+bx+a，开口向下，当x＝1时，y1＝a+b+c，y2＝c+b+a，∴y1＝y2，当x＝﹣1时，y1＝a﹣b+c，y2＝c﹣b+a，∴y1＝y2，当b≥0时，如图1，若m＞n，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，即x0＜﹣1或x0＞1，当b＜0时，如图2，若m＞n，即y1＞y2，则x＜﹣1或x＞1，第36页共36页,即x0＜﹣1或x0＞1，综上所述，若m＞n，则x0的取值范围为x0＜﹣1或x0＞1；（3）∵y3＝﹣a（x﹣1）2+4a，且y3与y1的图象关于原点中心对称，∴y1＝ax2+bx+c＝a（x+1）2﹣4a＝ax2+2ax﹣3a，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a+2a﹣3a≤0，∴a（m﹣2）≤0，∵a＞0，∴m﹣2≤0，∴m≤2，∴m的最大值为2．19．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+3的对称轴为直线x＝2，∴2＝﹣，∴b＝4；（2）①∵b＝4，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，∵直线AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∵x2﹣x1＝3，∴AB＝3．∵对称轴为直线x＝2，∴点A的横坐标为，点B的横坐标为，∴当时，．②如图，第36页共36页,∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），当y＝n＝4时，0≤x≤5时，﹣1≤y≤4；当y＝n＝2时，0≤x≤5时，﹣4≤y≤2；∴n的取值范围为2≤n≤4．20．解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，故点A的坐标为（m，m）；（2）∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），则OA＝m＝，解得m＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x；（3）将点B的坐标代入抛物线表达式得：m﹣2＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+m，此方程无解；将点C的坐标代入抛物线表达式得：2＝﹣22+2m×2﹣m2+m，解得m＝2或3，如图1，当m≤2时，抛物线和线段BC有公共点；如图2，当2＜m＜3时，抛物线和线段BC无公共点；第36页共36页,如图3，当m≥3时，抛物线和线段BC有公共点；故m≤2或m≥3时，抛物线和线段BC有公共点．第36页共36页