方阵问题知识要点学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵。方阵包括实心方阵和空心方阵，而实心方阵的每一层又可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的。1.方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同。每向里一层，每边上的人数就少，每层总数就少。（可应用等差数列相关知识进行解题）2.每层总数每边人（或物）数；每边人（或物）数每层总数。3.实心方阵：总人（或物）数=最外层每边人（或物）数最外层每边人（或物）数。4.空心方阵：总人（或物）数（最外层每边人（或物）数层数）层数总人（或物）数（最外层人（或物）数最内层人（或物）数）层数实心方阵1.在一个正方形场地四周插入彩旗，四个角都插一面，共插了面彩旗，问四周每边插彩旗多少面？【分析】（面）。2.正方形广场四周均匀挂彩灯，四个角上都挂一盏，每边挂了盏，广场的四周共需挂几盏彩灯？【分析】（盏）。3.用棋子摆成一个实心方阵，一共用了枚棋子，那么最外层一共有棋子枚。【分析】，因此最外层棋子数为（枚）。4.用棋子排成一个的实心方阵，共需用棋子枚。【分析】（枚）。5.某小学三年级的学生排成一个实心的正方形方阵，最外面一层有学生人。这个方阵共有学生人。【分析】最外层每边人数为（人），因此方阵总人数为（人）。6.一群小猴排成整齐的队伍做操，队伍是一个方阵。长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈鹿数了数，金丝猴的左边有只猴，右边也有只猴，前面有只猴，后面也有只猴。小朋友，你能算出有多少只猴在做操吗？【分析】一共有行，一共有列，一共有只猴子。,1.三年级学生组成一个正方形方队，共行，每行人，后来由于服装不够，只好去掉一行一列，问去掉了多少学生?【分析】（人）。2.一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加人。这个长方形队列原来最少有人。【分析】这个队列原来长+宽=（人），所以最少为（人）。3.一个由圆片摆成的实心方阵，最外一层有个圆片，把个这样的实心方阵拼成一个大的实心方阵，那么最外层应该有多少个圆片？【分析】每个小方阵最外层每边圆片个数为（个），那么大方阵最外层每边圆片个数为（个），由此可知其最外层圆片个数为（个）。4.幼儿园小朋友在老师指导下，把棋子排成正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了枚棋子，那么这个方阵共有多少枚棋子?【分析】该方阵最外层每边棋子数为（枚），方阵总棋子数为（枚）。5.一堆棋子排成一个实心方阵，后来又添进只棋子，使横竖各增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？【分析】新方阵最外层每边棋子数量为（只），那么原来方阵用了只棋子。6.四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行人，每列人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列，还剩多少同学？【分析】可以根据“实心方阵总人数每边人数每边人数”，得到行列的实心方阵学生有人。去掉一行一列后，还剩行列，即还剩同学人。7.二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人【分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列。若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求。参加健美操表演的人数可求。原来一行或一列有人。参加健美操表演有人。8.学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉人，问这个方阵共有多少人？ 【分析】学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了人，那我们就要思考每行去掉了几个同学。因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两次，那么现在求每行的人数时就要在里面多加一个。现在每行人，这个方正共人。9.小明养了一些花，他将这些花排成行列的方阵，后来小明又买了一些花，摆在一起形成新的方阵，这样正好比原来的多行列，求小明后来买了多少盆花？,【分析】可以根据“实心方阵总数每边数每边数”，小明原有盆花。小明现有盆花。小明后来买了盆花。1.有一堆棋子排成实心方阵多余只，如果纵、横各增加一排，则缺只，问一共有棋子多少？【分析】根据题意可知原实心方阵新增一排一列需要只棋子，那么增加后的每排有只，那么原来的实心方阵共有只棋子，那么一共有棋子只。2.某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形方阵，结果多出人；如果每行每列再增加一排，却少了人，问共抽出学生多少人？【分析】根据题意可知再增加一排一列需要学生（人），那么增加一排一列之后最外层每排人数为（人），抽出的学生人数为（人）。3.有枚围棋子，摆成一个的正方形。甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了枚棋子。【分析】此正方形一共有（层），最内层棋子数为（枚）。甲取了四次，分别为第、、、层（由内向外数），乙取了三次，分别为第、、层，根据方阵的特点，前三次甲每次都比乙多取枚，可见，甲比乙一共多取了（枚）棋子。4.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成行列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?【分析】()最外层杨柳树的棵数分别为:(棵)()当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多棵: 杨树:棵) 柳树:(棵) ()当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多树 柳树：(棵) 杨树(棵)空心方阵1.妈妈用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子个，妈妈摆这个方阵共用了多少个围棋子？【分析】法一：最外层棋子数为（个）；中间层棋子数为（个）；最内层棋子数为（个）。那么方阵共有棋子总数为（个）。法二：（个）。2.一个五层空心方阵最外层每边有人，则最内层有多少人？,【分析】最内层每边人数为：（人）。那么最内层总人数为（人）。1.一个七层空心方阵最外一层共有人，则最内层共有多少人？【分析】（人）。2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?【分析】最内层每边有：个，最内层一周共有：个摆这三层共用了：个棋子3.将个棋子摆成一个层空心方阵，最内层每边有多少枚棋子？【分析】棋子一共有层，容易知道外层比中层多枚，内层比中层少枚；因此中层的棋子数就是这层棋子数的平均数为枚。中层每边棋子数为枚。向里一层，每边棋子数又减少，内层每边棋子数为枚。4.将个棋子摆成一个层空心方阵，最内层每边有多少枚棋子？【分析】棋子一共有层，容易知道外层比内层多枚；所以，内层有枚。内层每边棋子数为枚。5.在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有人，最内层有人，参加团体操表演的共多少人？【分析】（方法一）里面一层比外面一层少人，则从最外面一层到最里面一层的人数依次为、、、。参加团体操表演的共人。（方法二）根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数。一个空心方阵，可以看做从一个最外层有人的实心方阵中，减去了一个小方阵。外层每边人数为人，内层每边人数为人。参加团体操表演的共人。6.在一次团体操表演中，有一个空心方阵有层，最外层有人，参加团体操表演的共多少人？【分析】（方法一）里面一层比外面一层少人，则从最外面一层到最里面一层的人数依次为、、、、、、、。参加团体操表演的共人。（方法二）根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数。一个空心方阵，可以看做从一个最外层有人的实心方阵中，减去了一个小方阵。外层每边人数为人，内层每边人数为人，参加团体操表演的共人。7.现有一个一层空心方阵的花坛，共有盆花，现要在这层花的外面和里面各加上两层，请问一共要加上多少盆花？【分析】（方法一）外面一层有盆，再外面一层有盆。,里面一层有盆，再里面一层有盆。一共要加上盆。（方法二）对于一个一层空心方阵向外和向内增加一层，向外一层比原有的一层多的数与向里一层少的数相等。所以，一共要加上盆。1.李小姐想将原本行列的实心方阵花坛改成一个层的空心方阵，求此空心方阵的最外层每边有多少盆花？【分析】花盆总数总数为盆。空心方阵最外层每边有盆。2.某实心方阵最外层有人，若改成层的中空方阵，它的最外层有多少人？【分析】原实心方阵总人数为（人），改成中空方阵后最外层的总人数为：（人）。3.用棋子摆成最外层每边粒的实心方阵，若改为层的空心方阵，它的最外层每边有多少粒棋子？【分析】棋子总数为（粒），改成空心方阵之后最外层每边有（粒）。4.用若干棋子摆成层数大于一层的实心方阵，再把这个实心方阵拆开，用这些棋子摆成一个只有一层的空心方阵，最少需要多少个棋子？【分析】假设原来的方阵为行列（），拆成一层的空心方阵时每边的棋子数为（为正整数），那么有，若要此式成立需满足为的倍数，满足题意的最小的数为，此时，，棋子总数为。5.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？【分析】法一：内层一共有（个）圆片，在外层之外再摆一层需要（个），可见需要增加（个）圆片。法二：根据方阵的特点可知，新增的那一层比内层应该多（个）圆片。6.同学们用盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【分析】对于两层方阵，外层比内层多盆，两层共盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是(盆)，从而得出需增加的盆数，(盆)．7.为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形．如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人．问一共有多少个学生参加排练呢？【分析】在内部增加一层，人数由多出10人变为反而少6人，所以这一层人数为人．⑴中间空心部分加一层，每边有(人)⑵四层方阵有(人)⑶一共有学生(人),1.一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？【分析】把多余的人放在方阵内部还少人，可见方阵内部增加一层，需要人，因此向外三层的每层人数都可以求出．从内向外每层人数依次是:第一层:(人)，第二层:(人)，第三层:(人)，总人数:(人)，因为，所以排成实心方阵每边有人．2.有一群学生排成三层空心方阵，多人，如空心部分增加两层，又少人，问有学生多少人？【分析】增加的两层人数为：（人），这两层人数之差是人，因此最里层有（人），现在的方阵共层，那么最外层有（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是人．3.有一个用方形瓷砖拼成的正方形，要在横、竖方向分别增加三排瓷砖，拼成一个大正方形，一共需要增加块瓷砖，问原来的正方形是由几块瓷砖拼成的？【分析】原来的正方形最外层的瓷砖块数为（块），那么原来的正方形中瓷砖的块数为（块）。混合方阵1.在第五届运动会上，红星小学组成了一个混合型方阵，方阵最外层每边人，共有层，中间层的位置由个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成？【分析】根据题意可知由内向外数前五层一共有个同学，后五层形成一个最外层每边人数为的五层空心方阵，该空心方阵人数为（人），那么学生总数为（人）。2.在一次运动会开幕式上，有一大一小个方阵合并变换成一个行列的方阵，求原来这个方阵各有多少人？【分析】行列的方阵由人组成。原来的小方阵和大方阵每行或每列人数都不会超过人。运用枚举法。大方阵人数应该在之间，可取或，对应的小方阵的人数为或。大方阵有人，小方阵有人。3.在一次运动会开幕式上，有一大一中一小个方阵合并变换成一个行列的方阵，求原来这个方阵各有多少人？【分析】行列的方阵由人组成。原来的小方阵和中方阵每行或每列人数都不会超过人。大方阵人数应该在之间，可取或或或。当大方阵人数为时，中方阵人数应该在之间，可取，则小方阵人数为人，不能组成方阵。当大方阵人数为时，中方阵人数应该在之间，可取或或，则对应的小方阵人数为或或，不能组成方阵。当大方阵人数为时，中方阵人数应该在之间，可取或或，则对应的小方阵人数为或或，不能组成方阵。,当大方阵人数为时，中方阵人数应该在之间，可取，则小方阵人数为，可以组成方阵。大方阵有人、中方阵有人、小方阵有人。1.小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在至人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【分析】方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从开始若干个连续自然数的和，我们只要在的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数．由于队伍可以排成方阵，在至人的范围内人数可能是人或人，又因为，所以总人数是人．2.仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。求原乙方阵每边的人数（指最外层一边人数）是多少？【分析】根据题意可知在乙方阵外再增加层的话乙方阵与丙方阵最外层人数相等，此时若将丙方阵的空心填满，那么增加层后的乙方阵与填满空心的丙方阵总人数也相等，，由此可得：乙方阵总人数新加层的人数丙方阵总人数甲方阵总人数甲方阵总人数乙方阵总人数甲方阵总人数，可见乙方阵新加层所需人数等于甲方阵总人数的两倍。那么乙方阵新增加层所需人数为（人），那么原乙方阵最外层每边人数为（人）。一课一练1.某校三年级的同学排成一个方阵，最外一层的人数为人，问最外一层每边上有多少人？这个方阵共有三年级的学生多少人？【分析】每边人数为（人）；三年级总人数为（人）。2.一个方阵花坛共有层，最内层每边有株花草，问花坛的花草总数是多少？【分析】法一：根据题意可知花坛最外层每边有（株）花草，那么花坛的花草总数为（株）。法二：根据题意可知花坛最外层每边有（株）花草，那么花坛的花草总数为（株）。3.三年级一班排队做操，刚好可以排成排列的方阵，问三年级一班一共有多少人？【分析】（人）。4.（2008年陈省身杯）小朋友们做广播体操，小明恰好站在队列的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数他都排在第5个，无论是从左往右或者是从右往左数他都排在第6个，则这个队列中一共有________位小朋友．【分析】根据题意知：每列有(人)，每行有（人），则这个队列共有：（人）．5.在一块正方形草地四周种树，四个角上都种上一棵，每边种棵，这块草地四周共种树多少棵?,【分析】（棵）。1.某年级同学排成方阵队形参加广播操比赛，因服装问题要横竖各减少一排，这样共去掉了人，则此年级原定有多少人参加广播操比赛？【分析】该年级原有排（列）数为，那么原有参赛人数为（人）。2.运动员入场式要求排成一个行列的正方形方阵，如果去掉行列，要减少多少运动员？【分析】法一：去掉两行两列之后的方阵为行列，那么减少的人数为（人）。法二：去掉两行时去掉了（人），再去掉两列时又去掉了（人），因此一共去掉了（人）。3.体育课上，老师把学生们排成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男生，男生共有人，其余是女生，问参加这个方队的学生共有多少人?【分析】此正方形方队中每一行（列）人数为（人），那么这个方队总人数为（人）。4.将棋子排成实心方阵，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得粒，问棋子总数有多少粒？【分析】每相邻两层外层比内层多粒棋子，最内一层有粒棋子。可见题中是甲先取，若最内层是甲取得，那么甲一共取了，可见最内层应该是乙取得的，甲一共取了（次），该方阵一共有（层），最外层的棋子数为（粒），那么棋子总数为（粒）。5.弟弟用围棋子摆成一个五层的空心方阵，最外一层每边有个棋子，问弟弟摆这个方阵,共用多少个棋子?【分析】（个）。6.一个六层空心方阵最内层每边有6人，则最外层有多少人？【分析】最外层每边人数为：（人）。那么最外层总人数为（人）。7.解放军进行排队表演，组成一个外层有人，内层有人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？【分析】层数为（层），总人数为（人）。8.个棋子摆成一个三层空心方阵，最内层每边有多少棋子？【分析】棋子一共三层，容易知道外层比中层多个，内层比中层少个，因此中层的棋子数就是三层的平均数为(个)，可以求出中层每边的棋子数，向里一层，每边棋子数又减少,．中层总数:(个)．中层每边个数:(个)，内层每边个数:(个)．1.三年级一共有学生人，若将这些学生排成一个层空心方阵，请问最外一层有多少学生？【分析】中间一层的人数：人。最外一层有：人2.某实心方阵最外层有人，若改成层的中空方阵，它的最外层有多少人？【分析】原实心方阵总人数为（人），改成中空方阵后最外层的总人数为：（人）。3.将的实心方阵改成三层空心方阵，那么空心方阵最外层每边人数是多少？【分析】方阵总人数为（人），那么空心方阵外层每边人数为（人）。4.将一个最外层每边枚棋子的层空心方阵转换成一个层空心方阵，求新的方阵最外层每边有多少枚棋子？【分析】因为，空心方阵总个数最外层每边个数－层数层数；所以，最外层每边个数空心方阵总个数层数层数。棋子总数有转换后空心方阵最外层每边有枚棋子。5.有柳树若干棵，若排成三层的空心方阵，尚余棵，在空心部分增加一层，则缺棵，柳树有多少棵？【分析】根据题意可知在中空部分增加一层需要柳树棵，那么中空方阵最外层柳树的棵数为（棵），由此可知柳树的棵数为（棵）。6.有一群学生排成三层空心方阵，多人，如空心部分增加一层，又少人，问有学生多少人？【分析】增加的一层人数为人，一共有学生：人7.每边长米的正方形水池边铺正方形水泥块，这种水泥块每边为厘米。如果紧靠水池边铺三层水泥块（水泥块紧靠在一起），成为三层空心方阵，共要水泥块多少块？【分析】米厘米厘米。紧靠水池边的第一层需要水泥块（块），第三层需要水泥块（块），那么一共需要水泥块数量为（块）。8.联欢会表演活动，某表演活动学生组成一空心方阵，先知道最外面一层与最里面一层共有人，求这个方阵共有几人？【分析】因为是空心方阵，所以最里面一层至少有人。当最里面一层有人时，最外面一层人；最里面一层每边有人，最外里面一层每边有人；,这个方阵共有人。当最里面一层有人时，最外面一层人；最里面一层每边有人，最外里面一层每边有人；这个方阵共有人。当最里面一层有人时，最外面一层人；最里面一层每边有人，最外里面一层每边有人；这个方阵共有人。当最里面一层有人时，最外面一层人；最里面一层每边有人，最外里面一层每边有人；这个方阵共有人。当最里面一层有人时，最外面一层人；这个方阵共有人。1.在一次运动会开幕式上，有一大一小个方阵合并变换成一个行列的方阵，求原来这个方阵各有多少人？【分析】行列的方阵由人组成。原来的小方阵和大方阵每行或每列人数都不会超过人。运用枚举法。大方阵人数应该在之间，可取或或或，对应的小方阵的人数为或或或。大方阵有人，小方阵有人。2.解放军战士若干分成两队，可排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵每边人数是人，如果两队合并，可以排成另一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边人数比乙方阵最外层每边人数多人，甲方阵的战士正好能填满丙方阵的空心，问解放军战士一共有多少人？【分析】根据题意可知在乙方阵外再增加层的话乙方阵与丙方阵最外层人数相等，此时若将丙方阵的空心填满，那么增加两层后的乙方阵与填满空心的丙方阵总人数也相等，由此可得：乙方阵总人数新加两层的人数丙方阵总人数甲方阵总人数甲方阵总人数乙方阵总人数甲方阵总人数，可见乙方阵新加两层所需人数等于甲方阵总人数的两倍。那么乙方阵新加两层所需人数为（人），那么乙方阵最外层每边人数为（人），由此可知解放军的总人数为（人）。补充题库3.一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有棵花，问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园共栽有多少棵花？,【分析】大三角形的每条边上栽花的棵数为（棵），大三角形一周共栽花（棵）打了阴影的小三角形一周栽花（棵）。而阴影三角形的三个顶点与大三角形的边上的点重合，那么整个花园共栽花（棵）。1.一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加人。这个长方形队列原来最少有人。【分析】这个队列原来长+宽=（人），所以最少为（人）。2.甲、乙两队在正方形场地上种树，要把树按方阵的形式种满。第一次每队种树棵，第二次每队又种棵，这样一直种下去，最后一次甲队仍种棵，而乙队种的不足棵。收工后，两个队长都说“我们两个队今天共种了二百多棵树。”你能说出他们各自种树的准确数量吗？【分析】根据题意可知总数大于二百而小于三百；且其十位上的数字一定是奇数。而方阵中树的总数一定是某个数的平方，那么平方等于二百多的数从小到大有：，，。这其中符合要求的就只有。而，那么甲队种树（棵），乙队种树（棵）。3.（第四届希望杯四年级1试）希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。小明的编号是28，他排在第3行第4列，则运动员共有人。【分析】28号在第3行第4列，那么前两行共有28-4＝24人，每行有24÷2＝12人，共有12×12＝144人。4.一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（右图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有个棋子．【分析】将四层空心方阵变成五层空心方阵有三种方法，一种是在最外层增加一圈（两行两列），第二种是在最内层增加一圈（两行两列），第三种是在最内层增加一行一列，在最外层的另外两个方向也增加一行一列．五层空心方阵的最外层至少有枚棋子，所以第一种情况不符合题意，如果是第二种情况，那么最外层应该有枚棋子，最开始应该有枚棋子．如果是第三种情况，那么设五层方阵最内圈边长为，那么最外圈边长为，一共增加的棋子数为枚，所以，解得．五层方阵的最外层边长为，原有棋子枚．所以最开始至少有枚棋子．,
