二次函数的综合1．如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点的坐标为．（1）求直线的表达式及抛物线的表达式．（2）求点的坐标．（3）点在直线上，点在抛物线上，若，直接写出的取值范围．（4）若抛物线上有一点（在第一象限内），使得，直接写出点的坐标．【解析】解：（1）设直线的解析式为，把，代入得，解得所以直线的解析式为；把代入得，所以抛物线解析式为；（2）解方程组得或，,所以（3）观察图象，当抛物线在直线的下方时，满足，即（4）设，，，解得或（舍去），．2．已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，图象的对称轴为直线.连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．（1）求的长度；（2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标；（3）当为何值时，与相似．【解析】（1）∵对称轴，∴，,∴当时，，解得，，即，，∴.（2）经过点和的直线关系式为，∴点的坐标为.在抛物线上的点的坐标为，∴，∴，当时，的最大值是，∴点的坐标为，即，（3）连，情况一：如图，当时，，当时，，解得，，∴点的横坐标为－2，即点的横坐标为－2，∴,情况二：∵点和，∴，即.如图，当时，，，即为等腰直角三角形，过点作，即点为等腰的中线，∴，，∴，即，解得，（舍去）综述所述，当或－2时，与相似．,3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．【解析】解：(1)把点A(－1，0)和点B(0，4)代入二次函数中得：解得：所以二次函数的解析式为：；（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），=，,∴顶点坐标为（1，）；(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣∵S△BOP＝•BO•∣x∣∴＝×4•∣x∣解得：∣x∣＝所以x＝±把x＝代入中得：即：y＝，把x＝－代入中得：即：y＝－∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．4．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．（1）直接写出A、B、C、D坐标；（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（3）若直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值范围．,【解析】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D为OC的中点，∴D（0，﹣）；（2）存在，理由如下：设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线BD的解析式为y＝mx﹣，将点B（3，0）代入y＝mx﹣，解得m＝，∴直线BD的解析式为y＝x﹣，,设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，当EH＝HG＝GP时，﹣x+＝﹣x2+3x，解得x1＝，x2＝3（舍去），∴点P的坐标为（，﹣）；（3）当直线y＝x+t经过点B时，将点B（3，0）代入y＝x+t，得，t＝﹣1，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，即x2﹣x﹣3﹣t＝0，△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣，∴由图2可以看出，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣＜t＜﹣1时．,5．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点M的坐标；（3）当点运动到什么位置时，的面积最大？【解析】解：（1）把，代入抛物线得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；（2）由题意可得：抛物线的对称轴为直线，点，要使的值最小，对称轴直线x=-1与线段AB的交点即为所求点M，,设直线AB的解析式为：，把点A和点B的坐标代入，解得：，∴直线AB：y=x+3，∴M（-1，2）；（3）连接OP，如图所示：设P(t，-t2-2t+3)，其中t＜0，-t2-2t+3＞0，由（1）（2）可得：OA=3，OB=3，△PAO的高为点P到y轴的距离，△PBO的高为点P到x轴的距离，∴=0.5×3×（-t）+0.5×3×（-t2-2t+3）-0.5×3×3=-0.5(t+0.5)2+3.375；∵，即抛物线的开口向下，∴当t=-0.5时，S最大，此时，点P(-0.5，3.75)．6．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．,（1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）结合图象，请直接写出时，x的取值范围：_____．【解析】解：（1）将点和点代入，得：，解得：，二次函数的解析式为．二次函数的对称轴为直线，，一次函数的图象经过点、，，解得，一次函数的解析式为．,（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：，解之得或，点D的坐标为，，（3）由图象可知，当或时，有．7．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE＝2S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长．【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx+3可得：，解得；∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，,∴D（﹣1，4），C（0，3）；∴AC＝，DC＝；∴tan∠DAC＝．（2）如图1所示，过E作EF//x轴交AC于点F，设点E（m，﹣m2﹣2m+3），直线AC的表达式为y＝kx+n，将A（﹣3，0），C（0，3）分别代入y＝kx+n可得：，解得，∴直线AC表达式为y＝x+3，∴F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），∴EF＝m+m2+2m＝m2+3m，∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF，∵S△ACD＝AC•CD＝3，∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF＝2S△ACD＝6，∴（m2+3m）＝6，解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），∴E（1，0）．,（3）如图2所示当点P与点A重合时，∵∠ADQ=∠DCA=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC，∴∠DAC=∠QDC，又∵∠DCA=∠DCQ=90°，∴△ADC∽△DQC，∴，∴，,当点P与点C重合时，∴∠Q'DC=∠ACD=90°，∴DQ'∥CQ，∵∠DAC=∠Q'P'D，∠Q'DP'=∠ACD=90°，∴△ADC∽△P'Q'D，∴，∴，∴DQ'=CQ，∴四边形DQ'QC是平行四边形，∴QQ'=CD=．8．已知，点，抛物线经过点，且与直线交于点，与轴交于点（异于原点）．（1）填空：用含的代数式表示______；（2）若是直角三角形，求的值；（3）点是抛物线的顶点，连接与交于点，当点是三等分点时，求的值．【解析】（1）∵抛物线经过点B（1，1），∴1＝−＋b，∴b＝1＋，故答案为：；（2）∵，∴抛物线的解析式为：,令，则，解得，．∵点异于原点，∴点的坐标为．∴，∵，Q（a+1，0）∴，OQ2=，，∵是直角三角形，∴，即∴．（3）如图，∵＝−（x−）2＋，∴点M（，），,设直线OM的解析式为y=kx，把M（，）代入得k==∴直线OM的解析式为y＝x，当y＝1时，x＝，∴点N（，1），∵与直线AB交于点P，∴1＝−x2＋（1＋）x，∴x1＝1，x2＝a，∴点P（a，1），∵点N是BP三等分点，∴BN＝2PN，∴1−＝2（−a），解得：a＝1或．9．如图，在坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线的图象过C点，交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P使得△BPC的周长最小，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；,（3）直线BC解析式为，若平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?【解析】（1）解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD＝90°．∵∠AOB＝90°∵∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠OAB+∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．在△AOB与△CDA中，∵，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2．∴OD＝OA+AD＝3．,∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线yx2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=∴抛物线的解析式为：；（2）把x=0代入，得y=-2，∴点E坐标为(0，-2)，∵B(0，2)，∴点B，E关于x轴对称，连接EC交x轴于点P，则BP+PC最小即△BPC的周长最小．设直线CE解析式为，把点E（0，-2），C（3，1）代入解析式，得，解得，∴直线EC的解析式为y=x-2，，令y=0，解得x=2，∴P点坐标为(2，0)；,（3）如图2，设直线AC解析式为，把点A（1,0），C（3，1）代入解析式，得，解得，∴直线EC的解析式为，．如图设直线l与BC、AC分别交于点E、F，在△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．由题意得：S△CEF=S△ABC，即EF•h=S△ABC．∴，整理得：（3﹣x）=3．解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去）．∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．,10．把函数的图象绕点旋转180°，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，是图象的对称轴与轴交点坐标为．（1）若，时，的相关函数为______；（2）的值为______（用含的代数式表示）；（3）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式．【解析】（1）∵，，∴函数为：的顶点坐标为（1，-4），∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴的相关函数为，即，故答案为：；（2）：，顶点坐标为（，），顶点（，）围绕点P（，0）旋转180°的对称点为（，），∴的相关函数为：，∴函数的对称轴为：，，故答案为：；,（3）时，：，，对称轴为直线，①当时，∴时，有最小值，时，有最大值，则，整理得：，无解；②当时，时，有最大值，时，有最小值，（舍去）；③当时，时，有最大值，时，有最小值，，解得：(舍去)或，故：，故的解析式为．,11．已知函数，（为常数）．（1）当时，①求此函数图象与轴交点坐标．②当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为________．（2）若已知函数经过点（1，5），求的值，并直接写出当时函数的取值范围．（3）要使已知函数的取值范围内同时含有和这四个值，直接写出的取值范围．【解析】（1）当时，①∵，∴把x＝0代入得．∴此函数图象与y轴交点坐标为（0,3）．②当x≤时，配方得∵a＝－1＜0，对称轴为直线x＝－1，∴当x≤－1，y随x的增大而增大，符合题意，当x＞时，，配方得，∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，符合题意，,综上所述：当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为x≤或x≥1；（2）当k≥1时，把（1,5）代入，得，解得无实根．当k＜1时，把（1,5）代入，得，解得（不合题意，舍去），．∴．∴当x＝－2时，将x＝－2代入得：y＝－4，当－2＜x≤0时，配方得∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，∴当－2＜x≤0时，8≤y＜20，综上所述：当－2≤x≤0时，y的取值范围为或8≤y＜20．（3）由题意可知，当k≤0时，函数图像如图所示，,则的最大值2k≥－2即可，解得k≥－1，∴－1≤k≤0，当0＜k＜2时，的最大值2k＜4则当x＞k时，的最小值＜4即可，将x＝k，y＝4代入得解得（舍去），∴0＜k＜，当k≥2时，的最大值2k≥4，,如图，此时在左边的图像上的最大值不小于4，符合题意，∴k≥2，综上所述：≤k＜或k≥2．12．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝．（1）求抛物线的对称轴方程；（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．【解析】（1）∵OC＝c，DE＝OC＝c，点D在抛物线对称轴上，∴点D纵坐标为c，,∵点M是抛物线顶点，∴点M的纵坐标为，则DM＝c﹣（c﹣b2）＝，；解得b＝（舍去），或b＝﹣，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝=5；（2）由（1）可知抛物线的表达式为y＝x2﹣x+c，令y＝x2﹣x+c＝0，设A、B两点横坐标为xA、xB，则xA+xB＝10，xAxB＝4c，则AB＝＝＝，在Rt中，AE＝AB，DE＝c，AD＝DC＝5，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，，25＝c2+25﹣4c，化简得：，解得c＝4，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；（3）如图，连接PQ、PC、QC，作的外接圆K，连接KP、KC，过点K作y轴的垂线，交y轴于点F，交抛物线的对称轴于点N，,设点K的坐标为（m，n），点P（5，t），∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，∵∠FKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，∴∠FKC＝∠NPK，∴Rt≌Rt（AAS），∴CF＝NK，PN＝MK，∴4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，∴n＝m﹣1，t＝2m﹣1，故点K的坐标为（m，m﹣1），点P的坐标为（5，2m﹣1）．由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为（5，﹣），点B的坐标为（8，0），由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为y＝x﹣6，设点Q的坐标为（r，r﹣6），由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣r+6）2，整理得：r2﹣（m+）r+20m＝0，关于r的一元二次方程，∵直线BM上只存在一个点Q，r的解只有一个，,∴△＝（m+）2﹣4××20m＝0，解得m＝5或，点P坐标（5，t），t＝2m﹣1，当m＝5时，t＝9；当m＝时，t＝；故点P的坐标为（5，9）或（5，）．
