小学数学讲义秋季六年级A版第10讲变速问题

第10讲第十讲变速问题知识站牌六年级寒假六年级秋季行程模块综合选讲变速问题六年级暑期多次相遇与追及五年级春季比例法解行程五年级寒假时钟问题利用正反比例解行程问题，体会比例法在解决速度变化问题方面的技巧漫画释义第11级下优秀A版教师版1教学目标1.掌握正反比例在解变速问题上的技巧2.寻找题中的不变量，利用不变量进行解题课堂引入大家都知道龟兔赛跑的故事吧，小兔输了比赛的原因就是因为睡觉，导致自己很快的速度变为0，结果让乌龟超过了自己，我们日常生活中这种问题是很多的，为了避免重蹈兔子失败的覆辙，我们要认真来研究这类问题，找到兔子睡觉的最佳时间，且保证乌龟追不上它。这就是我们今天要学习的变速问题！知识点回顾1.两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？【分析】根据题意列综合算式得到：33008283155（分钟），所以两个人还需要5分钟相遇。2.客车和货车同时从甲、乙两地的中点向相反方向行驶，5小时后，客车到达甲地，货车离乙地还有60千米，已知货车和客车的速度比是5:7，求甲、乙两地相距多少千米.【分析】甲、乙两地相距60(75)72420千米3.昊昊、铮铮两人同时从A地出发前往B地，昊昊每分钟走80米，铮铮每分钟走60米。昊昊到达B地后，休息了半个小时，然后返回A地，昊昊离开B地15分钟后与正向B地行走的铮铮相遇。A、B两地相距_____________米。【分析】设铮铮从出发到与昊昊相遇共行了x分钟，则昊昊行了（x30）分钟。60x158080(x3015)480020xx240所以A、B两地相距24060158015600米。2第11级下优秀A版教师版第10讲4.设原来的速度为v，提速后的速度为v，以原速度行驶用的时间为t，提高后的速度行121驶用的时间为t.2①同样的路程，提速20％，则vv:____，tt:，若两次相差1小时，则原来用1212____小时，现在用____小时．②同样的路程，减速20％，则vv1:2____，tt1:2____，若两次相差1小时，则原来用____小时，现在用____小时．【分析】①vv:5:6tt:6:56,512，12，②vv:5:4tt:4:54,512，12，经典精讲变速问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点：算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．例题思路模块一：基本的变速问题例1：平均速度的变速问题例2：简单的变速问题例3、路程相同的变速问题模块二：路程为不变量的变速问题例4、例5第11级下优秀A版教师版3例1一天，红太狼和灰太狼同时从“野猪林”出发，到“天堂镇”。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑。灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑。如果它们溜达的速度相同，奔跑的速度也相同，则先到“天堂镇”是_________.【分析】灰太郎【想想练练】小明从家去学校领校服。去时他步行5分钟后，跑步8分钟到达学校；回来时，他先步行10分钟后，开始跑步，结果比去时多用了3分15秒钟回到家。他跑步速度与步行速度的比是。【分析】根据题意去学校步行5分钟，跑步8分；回家时步行10分钟，跑步6分15秒的路程相同，13因此步行1055分钟和跑步861分钟路程相同。所以跑步速度与步行速度比为4435:120:74例2①8点出发，原定13点到达，出发后车速提高了25％，现在____点到达．②从北京到G城的特别快车在2000年10月前需要12.6小时，后提速20%.问：提速后，北京到G城的特别快车要用小时.（学案对应：学案1）【分析】①因为vv1:24:5，则tt1:25:4，根据题意t15，所以t24，因此是12点到达②根据题意提速前后速度比为5:6，由于路程不变，所以提速前后所用时间比为6:5，所以提速后用时为12.66510.5（小时）【想想练练】乘火车从甲城到乙城，2008年初需要19.5小时，2008年火车第一次提速20%，2009年第二次提速25%，2010年第三次提速30%，经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需多少小时。【分析】设3次提速前的速度是100，则3次提速前后的速度比是：100:[100(120%)(125%)(130%)]20:39，所以经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需19.5392010（小时）例3放学后兄弟二人都要从学校去奶奶家，弟弟先行5分钟，哥哥出发后25分钟追上了弟弟.如果哥哥每分钟多行15米，那么出发后20分钟可以追上弟弟.则弟弟每分钟行多少米？(学案对应：学案2)【分析】根据题意，哥哥提速前后，两人所走的路程相同，因此哥哥、弟弟的速度比和时间比成反比，所以哥哥提速前，哥哥与弟弟的速度比是(255):256:524:20，哥哥提速后，哥哥与弟弟的速度比是(205):205:425:20，弟弟每分钟行15(2524)20300（米）4第11级下优秀A版教师版第10讲例4一辆汽车从甲地开往乙地，如果将车速提高20%，可比原计划提前一小时到达；如果以原速行驶200千米，再将车速提高25%，则可提前12分钟到达，由此可知，甲乙两地相距多少千米.(学案对应：学案3)【分析】由题意设原来速度和车速提高了20%后速度比为5:6，则所用时间比为6:5，设原计划用时6份，提速后用时5份，差的一份正好是60分钟，,则原计划用时为360分钟,如果以原速行驶200千米，再将车速提高25%，此时速度比为4:5，所用时间比为5:4，所以按原速度后面这段路程需要的时间为12(54)560分钟．所以甲乙两地相距200(36060)360240（千米）1【想想练练】从上海开车去南京，原计划中午11：30到达．但出发后车速提高了，11点钟就到71了．第二天返回，同一时间从南京出发．按原速行驶了120千米后，再将车速提高，到达上海时6恰好11：10．上海、南京两市的路程是千米．1【分析】由题意设原来速度和车速提高了后速度比为7:8，则所用时间比为8:7，设原计划用时78份，提速后用时7份，差的一份正好是30分钟，,则原计划用时为240分钟,返回时间缩1短20分钟，是由于车速提高，原来计划速度与返回提速后速度比为6:7，则返回提速后6这段路程内所用时间比为7:6，设这段路程原计划用时7份，提速后用时为6份，差的一份正好是20分钟，所以返回提速后用时120分钟，原计划用时140分钟，则原速行驶120千米用时240140100(分钟)，上海、南京两市的路程是120100240288(千米)“1英里4分钟”的故事自古希腊设立“1英里比赛”的赛跑项目以来，人们一直试图在４分钟内跑完，甚至曾让狮子追赶奔跑者，但仍没突破。于是所有运动专家都断言：1英里4分钟是人类极限。然而，1954年5月6日，牛津大学医学院25岁的学生罗杰·班尼斯特，用3分59.4秒的时间突破了这一极限！帮助班尼斯特成功的教练，是伊利诺斯大学身体适应实验室主任库里顿博士。这位教练的方法是：把一英里分成4段，根据班尼斯特的体能算出通过每段的最短时间是58秒，然后在每段都设一个教练指引运动员：“太快了，放慢！”“提速，加油！”很多教练都借鉴了库里顿博士的方法，第二年就有37位选手突破了1英里4分钟！第11级下优秀A版教师版5例5（A版（1）~（2））⑴甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？⑵甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后甲比原来速度增加4米／秒，乙比原来速度减少4米／秒，结果都用25秒同时回到原地．求甲原来的速度．⑶（2009年第二届学而思杯五年级数学试题）A、B两地相距6000米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发相向而行，结果在距B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的2.5倍，那么两人可提前9分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？⑷A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距多少千米？⑸甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5时在途中相遇；如果他们每人每小时都比预定速度快1千米，则可在下午4时相遇；如果他们每人每小时都比预订速度慢1.5千米，则要在下午7时相遇，A、B两地的距离是千米．(学案对应：学案4)【分析】⑴甲、乙两人的速度和第一次为60÷6=10（千米／时），第二次为12（千米/时），故第二次出发后5时相遇。设甲第一次的速度为x千米／时，由两次相遇的地点相距1千米，有6x－5（x＋1）＝±1，解得x＝6或x＝4，即甲、乙二人的速度分别为6千米／时和4千米／时。⑵因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用25秒，则相遇前两人合跑一圈也用25秒．(法1)甲以原速V跑了25秒的路程与以V4的速度跑了25秒的路程之和等于400米，甲甲25V甲25V甲4400，解得V甲6米/秒．(法2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到V4V，即二者速度差为4；而二者速甲乙400度和为V甲V乙16，这是个典型的和差问题．可得V甲为：16426米/秒．25⑶第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙33的速度比为(60002400):24003:2，所以第一情况中相遇时甲走了全程的．325乙的速度提高到原来的2.5倍后，两人速度比为3:(22.5)3:5，根据时间一定，路程比6第11级下优秀A版教师版第10讲33等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的．358两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走9分钟，所以甲的33速度为6000()9150(米/分)．58⑷因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时．甲每小时多走2千米，2.5小时就多走2×2.5=5千米，这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的，所以甲的速度是5÷0.5=10千米/时．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5=3.5小时．乙每小时少走2千米，3.5小时就少走2×3.5=7千米，这7千米就是甲原来3.5－3=0.5小时走的，所以乙的速度就是7÷0.5=14千米/时．所以A、B两地的距离为（10＋14）×3=72千米．⑸设甲、乙两人的预定速度的和为每小时V千米．在预定速度下的相遇时间为t，由于三次所走的总路程相同，根据矩形图法，所以三个不同线型的长方形面积相同，列方程组3t2(V3)t10得2(t1)1V，解得V18，所以A、B两地的距离为1810180千米．t+2tt-1V-3VV+2阿基里斯悖论公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：让乌龟在阿基里斯前面1000米处起跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为0.1t,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为0.01t，乌龟仍然前于他1米……这样下去，芝诺认为阿基里斯可以不断逼近乌龟却永远不能超越它。但是，生活经验告诉我们阿基里斯一定能超过乌龟，那么你能说出芝诺上面的解释在哪里出现了问题吗？第11级下优秀A版教师版7杯赛提高甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离开A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？ACB【分析】方法一：出发时，两车的速度之比为5:4，所以相遇以后两辆车的速度之比为5120%:4120%5:6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:425:20，相遇后两辆车的路程之比为5:620:24，（因为相遇前甲走AC5份，乙走BC4份，相遇后即甲走BC5份，所以BC[4,5]20），乙还差25241份到A地，因此A、B两地相距10(2524)(2520)450千米．方法二：出发时，两车的速度之比为5:4，所以相遇以后两辆车的速度之比为5120%:4120%5:6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4，所以相遇4后两辆车还需要行驶的路程之比为4:5，所以甲还需要行驶全部路程的，当甲行驶这段948481路程的同时，乙行驶了全程的56，距离A地还有1，所以A、B两915915451地相距10450千米．45思考题1.某学校运动会上，800米跑是既讲耐力又讲技术的一项比赛项目，A、B、C三位学生都有夺冠的希望，但由于他们使用的技术不同，得出了不同的效果，这项运动可分为三个阶段：第一阶段是起跑和慢加速阶段；第二阶段是全速前进阶段；第三阶段是全速冲刺阶段．假设全速前进阶段A、B、C三位同学的速度都是6米／秒，⑴若A、B、C三位同学花在慢加速阶段的时间都是12秒，而在这时间内他们分别跑了60米、54米和48米，问半分钟后他们的位置如何？⑵由于A在慢加速阶段加速太快引致30~48秒间呼吸不均匀造成速度下降到5米／秒，问1分钟时他们的位置关系如何？⑶三人都在最后80米处发起最后的冲刺，若此时A的速度为8米／秒，B的速度为6.4米／秒，最后夺冠的是C，问C最后冲刺阶段的速度至少是多少？【分析】⑴A：60+186=168米，B：54+186=162米，C：48+186=156米⑵A：60+186+185126330米，B：54486342米，C：48486336米⑶A到终点用时为60(720330)6808135秒，B到终点用时为60(720342)6806.4135.5秒,因此C只有超过A才能获得冠军，因此C到终点最多用时135秒，因此冲刺阶段最多用时13560(720336)611（秒），所以8第11级下优秀A版教师版第10讲80C最后冲刺阶段的速度至少是8011（米/秒）112.游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米。已知从A点到B点需3.7分，从B点到A点只需2.5分。问：AC比BC长多少米？【分析】取AD等于BC（见下图）。因为从A到B与从B到A，走AD与BC两段路所用的时间和DCDC相同，所以D到C比C到D多用3.7－2.5＝1.2（分），即1.2.由此解得400600111DC12121440米40060012003.从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度．【分析】（方法一）设A、C之间的路程为x千米，自行车上坡速度为每小时y千米，则C、B之间的路程为(20x)千米，自行车下坡速度为每小时2y千米．依题意得：x20x2y2y，20xx31y2y420203两式相加，得：21，解得y8；代入得x12．y2y4故A、C之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．33方法二：整体考虑某人从A到B，再返回A,共用时间213（小时），而上坡和下坡44325各行了20千米，下坡时的速度是上坡时速度的2倍，所以上坡时间为3（小时），41225山坡速度为208（千米/时），下坡速度为8216（千米/时），假设法求得AC间路程233所用时间为(16220)(168)（小时），所以AC间的路程为812（千米）22第11级下优秀A版教师版94.如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5:4，相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇1前降低，这样当乙回到C地时，甲恰好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间5的距离是__________千米。ABCD4【分析】由于甲、乙的速度之比为5:4，所以，ABBC:5:4，乙调头后的速度为原来速度的，54所以乙调头后两人速度之比为5:(4)25:16，而乙回到C地时甲恰好到达D处，所以5169BDBC:25:16，即BCCD，则ACBC4CD72（千米），即A、C两地之间94的距离为72千米．5.（2013年第十八届决赛B卷）甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行驶60千米，两车分别到达B地和A地后，立即返回。返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车速度不变。已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A,B两地的距离为千米。【分析】根据题意甲乙的速度比是40:602:3，因此相同时间内甲乙路程比也是2:3，因此第一次相遇时，甲走2份，乙走3份，甲到B地时，乙走了5237.5份，距B地还有1107.52.5份，此时甲乙速度比为2(1):31:1，因此甲乙再各走1.25份相遇，因21000此A,B两地的距离为50(0.51.25)5（千米）71220.51.251.253AB6.A、B两地相距7200米，甲、昊昊分别从A，B两地同时出发，结果在距B地2400米处相遇．如果昊昊的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟米．【分析】第一种情况中相遇时昊昊走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、昊2昊的速度比为(72002400):24002:1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的．3昊昊的速度提高3倍后，两人速度比为2:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第22二种情况中相遇时甲走了全程的．235两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走10分钟，所以甲的22速度为7200()10192(米/分)．351第11级下优秀A版教师版第10讲知识点总结⑴当时间相同即TT时，有S:SV:V；甲乙甲乙甲乙⑵当速度相同即VV时，S:ST:T；甲乙甲乙甲乙⑶当路程相同即SS时，V:VT:T．甲乙甲乙乙甲⑷没有相同量时例如：如果V:V3:5，T:T7:4，那么S:S(37):(54)21:20甲乙甲乙甲乙家庭作业1.甲、乙两人同时从A去B，甲全程骑自行车，乙乘汽车到中点，后一半用步行，已知步行的速度是骑自行车速度的一半，骑自行车速度是汽车速度的一半，那么先到达.【分析】甲2.甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米．问他走后一半路程用了多少分钟？【分析】方法一：全程的平均速度是每分钟（8070）275（米），走完全程的时间是60007580（分钟），走前一半路程速度一定是80米，时间是30008037.5（分钟），后一半路程时间是8037.542.5（分钟）．方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x70x61000，解得x40（分钟），因为80403200（米），大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是30008037.5（分钟），后一半路程时间是40（4037.5）42.5（分钟）．3.小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．那么小李原计划从甲地到乙地要走多少小时？2【分析】40分钟小时3从丙到乙正常与故障后的速度比为1:(175%)4:3，则时间比为3:42那么丙到乙计划用(2)(43)34（时）3所以原计划小李从甲地到乙地要走246(时)4.乐乐从家到学校平时需要45分钟.今天乐乐起晚了，她需要用1.5倍的速度赶去学校，才刚好不会迟到.那么现在距离上课还有多少分钟？实际上乐乐赶到学校，发现还有5分钟才上课.求乐乐今天与平时的速度比是多少？【分析】路程相同时，时间和速度成反比.今天与平时的速度比是1.5:13:2，那么时间比是2:3.第11级下优秀A版教师版1今天需要的时间是453230（分钟）.实际花费时间是30525（分钟）.今天与平时的时间比是25:455:9，那么今天与平时的速度比是9:5.5.一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。55【分析】时间与速度成反比，车速提高20%，所用时间为原来的，原来需要116（时）。6610同理，车速提高了30%，所用时间是原来的。因为提前1小时到达，所以车速提高后的13101313这段路原来用11（时）。甲、乙两地相距10066360（千米）13336.甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。【分析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两人和跑一圈也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V+2）1跑了24秒的路程之和等于400米，24V+24（V+2）=400易得V=7米/秒3A版学案【学案1】一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1:2:3。巍巍走各段路所用时间之比依次是4:5:6。已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米，问巍巍走完全程用了多少时间？252545【分析】上坡路长度为506千米，又已知所用时间比，故总用时为310小3345612时。【学案2】王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推车1步行，步行速度只有骑车速度的，结果这天用了36分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？3【分析】途中有2千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用362016分钟，由于在别的路段1上还是骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上．由于步行速度是汽车速度的，3所以步行2千米所用的时间是骑车2千米所用时间的3倍，多用了2倍，这个多出来的时间就是16分钟，所以骑车2千米需要1628分钟．由于8分钟可以骑2千米，而王刚平时骑车20分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为2(208)5千米．1第11级下优秀A版教师版第10讲【学案3】（2011年西安某高新一中入学数学真卷）1汽车从A地开往B地，若将车速提高，可比预定时间提前20分钟赶到；若按原计划行61驶72千米后，再将车速提高，就可比原定计划提前30分钟到达，求A、B两地间的距3离是多少？1【分析】车速提高，速度比是6:7，那么所用时间为原来的7:6，所以原定时间为6120(76)7140分钟；如果按原速行驶72千米后再提速，此时速度比为3:4，所3用时间比为4:3，所以按原速度后面这段路程需要的时间为30(43)4120分钟．所以前面按原速度行使的时间为14012020分钟，因此A、B两地间的距离是7220140504千米【学案4】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇。若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方。已知甲比乙行的快，甲原来每小时行_____千米。【分析】由于两人所行路程和不变，相遇时间比为8:64:3，所以速度和的比为3:4，因此提速前速度和为22(43)312（千米/时），A、B间距离为12896千米，所以甲的速度为(9623)626.5（千米/时）第11级下优秀A版教师版1