24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）一、教学目标【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度与价值观】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.二、课型新授课三、课时第3课时，共3课时。四、教学重难点【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.五、课前准备\n课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）（二）探索新知探究一切线长定理及应用教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？（出示课件4）学生思考，尝试作图并解答．出示课件5:出示定义:切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．\n教师问：切线长与切线的区别在哪里？学生思考后师生共同总结：①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．教师问：PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？（出示课件6）学生思考后，尝试利用图形轴对称性解释.教师归纳：（出示课件7）切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:∵PA、PB分别切☉O于A、B，\n∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.出示课件8：已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.学生观察分析，合作交流后师生共同解答.证明：∵PA切☉O于点A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴PA=PB，∠APO=∠BPO.教师问：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件9）学生操作后观察得：OP垂直平分AB.师生共同证明如下.证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线\n∴OP垂直平分AB.教师问：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件10）学生操作后观察得：CA=CB.师生共同证明如下.证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，∴AC=BC.出示课件11：例1已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.学生独立思考后师生共同解决如下.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.\n∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.巩固练习：（出示课件12）PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=;（2）若∠BPA=60°,则OP=.学生自主思考后口答：⑴5；⑵6.出示课件13：例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．教师分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．师生共同解答.（出示课件14）解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.\n∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，即铁环的半径为巩固练习：（出示课件15）如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为cm(AD<BE).学生思考后独立解决.解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.探究二三角形的内切圆及作法\n出示课件16：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？教师问：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？（出示课件17）学生答：最大的圆与三角形三边都相切.教师问：如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？（出示课件18）学生答：圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.教师问：(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？学生答：圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.教师问：为什么？学生答：三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.出示课件19：做一做已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.引导学生分析作图的关键，师生共同作图如下：\n作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.教师归纳总结：（出示课件20）1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.如图，☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.出示课件21：例已知:△ABC(如图),(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.\n学生观察思考交流后，师生共同解答.（出示课件22，23）解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;②分别以H、G为圆心,以大于HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.巩固练习：（出示课件24）△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）学生思考交流后自主解决.解：设AB=c，BC=a，AC=b.\n则S△OBC=ar,S△OBA=cr,S△OAC=br,S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=ar+cr+br=r（a+c+b）=lr.探究三三角形的内心的定义和性质教师问：如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB,IC有什么特点？（出示课件25）学生答：线段IA，IB,IC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.教师问：如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？（出示课件26）学生答：IE=IF=IG.教师归纳：三角形内心的性质（出示课件27）三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.\n出示课件28：例如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.教师分析后学生独立解答.解：连接IB，IC.∵点I是△ABC的内心，∴IB，IC分别是∠B，∠C的平分线，在△IBC中，巩固练习：（出示课件29）如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=.学生自主思考后独立解答.解析：∵点P是△ABC的内心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.出示课件30，师生共同总结深化认知.名称确定方法图形性质\n外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的内部内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.内心在三角形内部（三）课堂练习（出示课件31-36）1.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）A．3B．C．6D．2.如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E．若点D是AB的中点，则∠DOE=．\n3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=,PB=.4.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=.5.如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.（2）若∠A=80°，则∠BIC=_____度.（3）若∠BIC=100°，则∠A=_____度.（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？6.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.\n7.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案：1.D解析：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=，∴光盘的直径为．2.60°解析：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，\n∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°．3.20°；44.110°5.解：⑴120°；⑵130；⑶20；⑷6.证明：连接OD，∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC,∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，\n∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC.7.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．（四）课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？（五）课前预习预习下节课（24.3第1课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：\n九、教学反思：本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.
