22.3实际问题与二次函数（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能根据实际问题构造二次函数模型.2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.【过程与方法】通过对“矩形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度与价值观】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。四、教学重难点【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.【教学难点】将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.\n六、教学过程（一）导入新课出示课件3：排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？（二）探索新知探究二次函数与几何图形面积的最值出示课件5：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师分析：可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.教师问：如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值？（出示课件6）\n学生答：由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值师生共同解答：（出示课件7）解：小球运动的时间是3s时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m．师生共同总结：一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值出示课件8：例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1矩形面积公式是什么？问题2如何用l表示另一边？问题3面积S的函数关系式是什么？学生思考后，师生共同解答.解：矩形场地的周长是60m,一边长为lm,所以另一边长为（）m.场地的面积S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0<l<30).因此，当时，\nS有最大值即当l是15m时，场地的面积S最大.教师点拨：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：（出示课件10）1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.变式1如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（出示课件11）教师问：变式1与例题有什么不同？学生答：一边靠墙.教师问：我们可以设面积为S，如何设自变量？学生答：设垂直于墙的边长为x米.教师问：面积S的函数关系式是什么？学生答：S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.教师问：如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？（出示课件12）学生答：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.教师问：如何求最值？\n学生答：最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.变式2如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（出示课件13）教师问：变式2与变式1有什么异同？学生答：墙长不一样.教师问：可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？学生答：设垂直于墙的边长为x米.S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.教师问：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？学生答：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则教师问：当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？（出示课件14）学生答：不正确.教师问：如何求自变量的取值范围？学生答：0＜x≤18.教师问：如何求最值？学生答：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.\n教师总结：（出示课件15）实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.出示课件16：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？师生共同分析后，生独立解决.解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,∴另一边长为8-x.则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2,即：当x==4,另一边为4时,S有最大值＝8，∴当两直角边都是4时，直角三角形面积最大，最大值为8.（三）课堂练习（出示课件17-25）1.如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．\n（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.3.如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小.4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？5.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.\n(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.参考答案：1.解：⑴设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45.当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10.答：AD的长为10m；⑵设AD=xm，∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．\n2.3.34.解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面积为y，则DG=1-x.当x=时，y有最小值.即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.5.解：即∵0＜x＜25，∴当x=20时，满足条件的绿化带面积y最大=200.6.解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.\n（四）课堂小结1.通过本节课的学习你有什么收获？2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.（五）课前预习预习下节课（22.3第2课时）的相关内容.七、课后作业1教材习题22.3第4、5、6、7题.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.\n
