人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷2一．选择题（共8小题，满分32分）1．“认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为（ ）A．48°B．54°C．74°D．78°3．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）A．20B．12C．16D．134．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边距离等于8，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A．PQ＞8B．PQ≥8C．PQ＜8D．PQ≤8第18页共18页\n5．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（ ）A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB+BCC．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点7．在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）A．（）n•75°B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°二．填空题（共8小题，满分32分）9．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝5，则PB＝ ．第18页共18页\n10．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长为 ．11．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是 ．12．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝ 度．13．如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为 ．15．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．16．如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．第18页共18页\n三．解答题（共8小题，满分56分）17．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC成轴对称图形．18．作图题（1）在图1中，画出△CDE关于直线AB的对称图形△C′D′E′（2）在图2中，已知∠AOB和C、D两点，在∠AOB内部找一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）求证：DC＝AB．第18页共18页\n20．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．21．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN＝BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．22．如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB＝10，AC＝8，求BE长．第18页共18页\n23．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．24．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t＝ （s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．第18页共18页\n第18页共18页\n参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：B．2．解：∵在△ABC中，∠A＝78°，∠C＝∠C′＝48°，∴∠B＝180°﹣78°﹣48°＝54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B＝∠B′＝54°．故选：B．3．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BC＝4，∵AD⊥BC，点E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC＝6，∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，故选：C．4．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于8，∴点P到OB的距离为8，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥8．故选：B．5．解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．第18页共18页\n故选：D．6．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝BC+AB，故B正确；∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选：D．7．解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．故选：D．第18页共18页\n8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA＝5．故答案为：5．10．解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．所以其周长是12cm．故答案为12cm．11．解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，∴OD＝BD，OE＝CE，∵AB＝5，AC＝4，第18页共18页\n∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DO+EO+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故答案为：9．12．解：∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝25°；∴∠ABD＝∠BDC+∠C＝50°；△ABD中，AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°；故∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝80°．故答案为：80．13．解：∵等边△ABC，∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABE+∠EBC＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°，∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°，∴∠APE＝60°．故答案为：60．14．解：分两种情况：①在左图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，第18页共18页\n∴∠A＝60°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝60°；②在右图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，∴∠DAB＝60°，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝30°．故答案为：30°或60°．15．解：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM＝PE＝2，PE＝PN＝2，∴MN＝2+2＝4．故答案为：4．16．解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，第18页共18页\n∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×4＝2，∴EG＝AG＝×2＝1，∴DF＝1．故答案为：1．三．解答题（共8小题）17．画对任意三种即可．．18．解：（1）如图1中，△C′D′E′即为所求；（2）作出线段CD的垂直平分线MN，∠AOB的平分线OQ，直线MN与OQ的交点为P，等P即为所求；第18页共18页\n19．（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；（2）证明：∵∠DAB＝45°，∠DAC＝75°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∵AB＝AC，∴DC＝AB．20．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，第18页共18页\n∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．21．解：△OMN是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中点，∴AO＝BO＝CO（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；∠B＝∠C＝45°；在△OAN和OBM中，，∴△OAN≌△OBM（SAS），∴ON＝OM（全等三角形的对应边相等）；∴∠AON＝∠BOM（全等三角形的对应角相等）；又∵∠BOM+∠AOM＝90°，∴∠NOM＝∠AON+∠AOM＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形．第18页共18页\n22．解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝10，AC＝8，∴BE＝1．23．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，第18页共18页\n又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．24．解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝（2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ，3﹣t＝0.5t，所以t＝2；当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，3﹣t＝2t，所以t＝1；所以t＝1或2（s）（3）因为∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，所以∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，又因为∠A＝60°，所以AD＝2AP，2t+t＝3，解得t＝1（s）；（4）相等，如图所示：第18页共18页\n作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE∥QG，则易知∠G＝∠AEP，∠A＝∠ACB＝∠QCG＝60°，在△EAP和△GCQ中，因为，所以△EAP≌△GCQ（AAS），所以PE＝QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．第18页共18页
