3.1.5空间向量运算的坐标表示课题向量的坐标教学目的要求1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1．投影与投影定理25分钟2．分向量与向量的坐标30分钟3．模与方向余弦的坐标表示35分钟重点难点1．投影定理2．分向量3．方向余弦的坐标表示教学方法和手段启发式教学法，使用电子教案一、向量在轴上的投影1．几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，\n记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为(4)空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。(5)向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。2．投影定理性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即\n二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a=是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：i+j+k或a=axi+ayj+azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a＝{ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为终点为\n的向量可以表示为特别地，点对于原点O的向径注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2．向量运算的坐标表示设，即，则(1)加法：◆减法：◆乘数：◆或\n◆平行：若a≠0时，向量相当于，即也相当于向量的对应坐标成比例即三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。图7－61．模2．方向余弦由性质1知，当时，有\n◆任意向量的方向余弦有性质：◆与非零向量a同方向的单位向量为：1．例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}，，，，设为与同向的单位向量，由于即得
