2.3.2抛物线的简单几何性质1【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。【课前准备】：\nPowerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．解：焦点在x轴负半轴上，=2，所以所求抛物线的标准方程是2.填空：动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．曲线椭圆双曲线方程图形焦点F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)范围|x|≤a,|y|≤b|x|≥a,y∈R对称性中心、轴对称中心、轴对称顶点A1,A2,B1,B2A1(-a,0),A2(a,0)离心率e∈(0,1)e∈(1,+∞)准线x=±a2/cx=±a2/c渐近线无y=±(b/a)xxyoABFxyoABFxyoABF3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容：xyoF1F2L1L2xyoF1F2L1L2通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的兴趣。\n二、抛物线的几何性质类比研究归纳抛物线的几何性质：曲线抛 物 线方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图 形焦点F(p/2,0)F(-p/2,0)F(0,p/2)F(0,-p/2)范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1准线x=-p/2x=p/2y=-p/2y=p/2渐近线无无无无引导学生填写表格。通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。\n三、例题讲解例1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2），求这条抛物线的准线方程。解：⑴若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为 ∵∴ ∴抛物线的标准方程为⑵若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为 ∵∴ ∴抛物线的标准方程为例2汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。\n三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径． 抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.例3过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。\n∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．四、巩固练习1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（B）（A）10（B）8（C）6（D）42．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（B）（A）3（B）4（C）5（D）63．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（C）（A）（B）（C）（D）4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。\n轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标（答案：,M到轴距离的最小值为）6.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意在抛物线上且|MF|=5，故由学生演板．\n五、课后练习1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于 3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．课后练习注意分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。\n5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？6．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。习题答案：1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y2．90° 3．x2＝±16y 4．5．米 6．y2=4x,m=或练习与测试：1.求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点为（0，5）；（2）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（-3，4）。2.若P（x0，y0）是抛物线y2=-32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（）。（A）x0+8（B）x0-8（C）8-x0（D）x0+163.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m\n，若水面下降1m，求水面宽度。4.已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为．5.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即所求的抛物线标准方程为．
