6.4用一次函数解决问题\n情境引入小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据：x(厘米)…2225232624…y(码)…3440364238…根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？\n3032383634424023252421222726y(码)x(厘米)据说篮球巨人姚明的鞋子长31cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？52码，你是怎么判断的呢？O\n例1.某公司与销售人员签订了这样的工资合同：工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月3000元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品，奖励工资10元.1.设某销售员销售产品x件，他应得的工资记为y元.求y与x之间的函数关系式.y=10x+3000简单的一次函数的应用典例精析\n2.用求出的函数关系式，解决下列问题（1）某销售员的工资为4100元，他这个月销售了多少件产品？当y=4100时，4100=10x+3000.解得x=110.（2）要使月工资超过4500元，该月的销售量应当超过多少件？由题意得10x+3000＞4500.解得x＞150.\n例2.某种称量体重的台秤，最大称量是150㎏.称体重时，体重x（㎏）与指针按顺时针方向转过的角y(°)有如下一些对应数值：x/㎏015405560y/°03696132144(1)在直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图像.(2)求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.(3)当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180度的位置？当体重为50千克时，台秤的指针转过的角度多少？\nxyO15304560753614472108(1)在直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图像.x/㎏015405560y/°03696132144\n（2）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.分析:由表格给出的数据可以看出，每增加5千克，台秤的指针按顺时针方向旋转12度，所以y是x的正比例函数.根据条件可得y=12/5x(0≤x≤150)\n（3）当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180度的位置？当体重为50千克时，台秤的指针转过的角度多少？当y=180时，180=12/5x.解得x=75当x=50时，y=12/5×50=120.即当体重为75千克时，台秤的指针恰好转到180度的位置.当体重为50千克时，台秤的指针转过的角度是120度.\nA市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元；从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元.①设B市运往C市机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式.②求总运费最低的调运方案的最低运费是多少.例3.\n分析①：A市和B市库存机器共：（）台，C村和D村共需（）台，B市运到C村台，B市剩余台运到D村A市运到C村台，A市剩余台运到D村.x（10-x）〔12-（10-x）〕（6-x）分析②：先求出总运费的关系式，再对照一次函数最值相关问题具体分析.12+610+8\n解：①B市运往C市机器x台，则有题意可知：W=300x+500（6-x）+400（10-x）+800〔12-（10-x）〕=200x+8600（0≤x≤6）∴总运费W（元）关于x的函数关系式为：W=200x+8600（0≤x≤6）\n②∵W=200x+8600（0≤x≤6）是一次函数，且W随x的增大而增大∴当x取最小值时，W有最大值即当x=0时，W=8600元∴总运费最低的调运方案的最低运费是8600元\n一次函数“最大值”和“最小值”的产生和自变量的取值范围相辅相成：k＞0，a≤x≤c时:x=a时，y=ka+b就是最小值，x=c时，y=kc+b就是最大值；k＜0，a≤x≤c时:x=a时，y=ka+b就是最大值，x=c时，y=kc+b就是最小值.方法归纳\n例4.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.（1）求出y关于x的函数关系式；（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.分析：（1）x≤8时，每立方米收费（1+0.3）元；（2）x＞8时，超过的部分每立方米收费（1.5+1.2）元.\n解：（1）y关于x的函数关系式为：(1+0.3)x=1.3x(0≤x≤8)(1.5+1.2)(x-8)+1.3×8=2.7x-11.2(x＞8)y=（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8.（3）因为1.3×8=10.4<26.6，所以该用户用水量超过8立方米.所以2.7x-11.2=26.6，解得x=14答：应缴水费为15.8元答：该户这月用水量为14吨\n总结归纳在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.\n某市出租车的收费标准：不超过3km计费为7元，3km后按2.4元/km计费.(1)写出车费y(元)与路程x(km)之间的函数关系式；(1)当0<x≤3km时,y=7当x>3km时,y=7+2.4(x-3)(2)小亮乘出租车出行，付费12.3元，你能算出小亮乘车的路程吗？（精确到0.1km）∵12.3>7∴12.3=7+2.4(x-3)x=5.2(km)做一做\n甲、乙两地相距40km，小明8:00点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h；小红10:00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小明所用的时间为x（h），小明与甲地的距离为y1（km），小红与甲地的距离为y2（km）.例1.（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.典例精析利用两个一次函数解决实际问题\n由于小红比小明晚出发2h，因此小红所用时间为（x-2）h.从而y2=40（x-2），自变量x的取值范围是2≤x≤3.（1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；解：小明所用时间为xh，由“路程=速度×时间”可知y1=8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5.\n过点（0，40）作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40（x-2）相交，这表明小红先到达乙地.解：将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示.（2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.\n甲骑自行车以10千米每小时的速度沿公路行驶，出发3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米每小时.设甲离开出发地的时间为x小时.（2）写出乙离开出发地的路程y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围;y=10x(x≥0)y=25x-75(x≥3)做一做（1）写出甲离开出发地的路程y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围;\ny/千米0x/小时532110504030204甲y=10x乙y=25x-75由图可知，交点坐标是（5,50），即甲出发5小时后被乙追上，此时，两人距离出发地50千米（3）在同一直角坐标系中，画出（1）（2）中函数的图像，并结合实际问题，解释图像中交点的意义.\n例2某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？\n分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用（60x+1000）元．问题变为比较80x与60x+1000的大小了．解法一：设该单位参加旅游人数为x.那么选甲旅行社，应付费用80x元；选乙旅行社，应付（60x+1000）元记y1=80x，y2=60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，y1与y2的图象交于点（50,4000）.\n解：观察图象，可知：当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少.x／人5060y／元800160032002400400048005600O10203040708090y1=80xy2=60x+1000\n解法二：（1）当y1=y2，即80x=60x+1000时，x=50.所以当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；（2）当y1＞y2，即80x＞60x+1000时，得x＞50.所以当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少；（3）当y1＜y2，即80x＜60x+1000时，得x＜50.所以当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；\n解法三：设选择甲、乙旅行社费用之差为y，则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.画出一次函数y=20x-1000的图象如下图.O204060-200-400-600-800-1000yxy=20x-1000它与x轴交点为（50,0）由图可知：（1）当x=50时，y=0，即y1=y2；（2）当x＞50时，y＞0，即y1＞y2；（3）当x＜50时，y＜0，即y1＜y2.\n某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：A方案：每月收取基本月租费15元，另收通话费为0.2元/min；B方案：零月租费，通话费为0.3元/min.（1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（min）之间的函数关系式；（2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出那种付费方式合算？做一做\n解：（1）A方案：y=15+0.2t（t≥0），B方案：y=0.3t（t≥0）.（2）这两个函数的图象如下：t（min）O501501001020y（元）503040●●y=15+0.2ty=0.5t●观察图象，可知：当通话时间为150min时，选择A或B方案费用一样；当通话时间少于150min时，选择A方案费合算；当通话时间多于150min时，选择B方案合算.\n1.请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距.已知指距与身高具有如下关系：指距x（cm）192021身高y（cm）151160169（1）求身高y与指距x之间的函数关系式；（2）当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？分析：上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系，观察这两个变量之间的变化规律，当指距增加1cm，身高就增加9cm，可以尝试建立一次函数模型.当堂练习\n解：设身高y与指距x之间的函数表达式为y=kx+b.将x=19，y=151与x=20，y=160代入上式，得19k+b=151，20k+b=160.（1）求身高y与指距x之间的函数表达式；解得k=9，b=-20.于是y=9x-20.①将x=21，y=169代入①式也符合.公式①就是身高y与指距x之间的函数表达式.\n解：当x=22时，y=9×22-20=178.因此，李华的身高大约是178cm.（2）当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？\n2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数关系式；解:当0≤x≤50时，由图象可设y=k1x，∵其经过（50，25），代入得25=50k1，∴k1=0.5，∴y=0.5x;当x＞50时，由图象可设y=k2x+b，∵其经过（50,25）、（100,70），得k2=0.9,b=-20,∴y=0.9x-20.255075100255070100Oy(元）x(度）75\n⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按0.9元/度计算.\n3.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（ ）A．小亮骑自行车的平均速度是12km/hB．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园C．小明在距学校12km处追上小亮D．9：30小明与小亮相距4km\n解：A.根据函数图象小亮去滨湖湿地公园所用时间为10﹣8=2小时，∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；B.由图象可得，小明到滨湖湿地公园对应的时间t=9.5，小亮到滨湖湿地公园对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园，故正确；C.由图象可知，当t=9时，小明追上小亮，此时小亮离开学校的时间为9﹣8=1小时，∴小亮走的路程为：1×12=12km，∴小明在距学校12km出追上小亮，故正确；D.由图象可知，当t=9.5时，小明的路程为24km，小亮的路程为12×（9.5﹣8）=18km，此时小明与小亮相距24﹣18=6km，故错误；故选D．\n4.如图所示，l1反映了某公司产品的销售成本与销售量的关系,l2反映了此公司产品的销售收入与销售量的关系.根据图象填空：Ox（吨）y（元）100020003000400050001234567l1l2\n（1）l1对应的表达是，l2对应的表达式是；（2）当销售量为2吨时，销售收入=元，销售成本=元；（3）当销售量为6吨时，销售收入=元，销售成本=元；（4）当销售量吨时，销售收入等于销售成本；（5）当销售量吨时，该公司盈利（收入大于成本）.当销售吨时，该公司亏损（收入小于成本）.y=500x+2000y=1000x3000等于4大于4小于4600050002000\n5.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是.30厘米、25厘米2时、2.5时\n（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？y甲=-15x+30y乙=-10x+25x=1x>1x<1\n课堂小结简单的一次函数的应用求一次函数的表达式及其应用分段函数的应用两个一次函数的综合应用
