2.4线段、角的轴对称性（1）\n如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ABC讲授新课\n线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证：PA=PB．ACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．\n性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．PAB∟文字语言数学符号语言温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.∵P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB.\n你能写出下面这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．\n定理的逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.ABP已知：如图，PA=PB.求证：点P在AB的垂直平分线上.分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点)，然后证明另一个结论正确.想一想：若作出∠P的角平分线，结论是否也可以得征？\n逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.ACBPMN如图，∵PA=PB（已知），∴点P在AB的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.老师提示：这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发，你还能联想到什么？\n例如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？\n如图,AB=AD,BC=DC,E是AC上的一点.试说明:BE=DE解:因为AB=AD,BC=DC,所以点A、C在线段BD的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).因为两点确定一条直线,所以直线AC是线段BD的垂直平分线.又因为点E在AC上,所以BE=DE.\n当堂练习如图,AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点F、G.若△ADF的周长为20cm,求线段BC的长.解:因为DE是AB的垂直平分线,FG是AC的垂直平分线,所以BD=AD,FC=FA.因为△ADF的周长为20cm,所以AD+DF+FA=20cm,所以BC=BD+DF+FC=AD+DF+FA=20cm.\n已知:如图,AB比AC长2cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14cm.求AB和AC的长.解:因为DE垂直平分BC,所以DB=DC.因为AC+AD+DC=14,所以AC+AD+BD=14,即AC+AB=14.又已知AB-AC=2,设AB=x,AC=y,则依题意,得解得所以AB长8cm,AC长6cm.\n如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D,与AC交于点E,求∠BCD的度数解:在△ABC中,∵∠B=90°,∠A=40°,∴∠ACB=50°.∵MN是线段AC的垂直平分线,∴DC=DA.∴∠DCA=∠A=40°.∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=50°-40°=10°.\n如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB.则下列结论正确的有()①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④点P在线段AB的垂直平分线上.A.1个B.2个C.3个D.4个解:由已知只能知道点P在线段AB的垂直平分线上,而两点才能确定一条直线,所以无法确定直线l是不是线段AB的垂直平分线,因此结论①②③都不一定正确.\n逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.课堂小结定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.ACBPMN
