专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法名师点金：在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系．作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.(第1题)作平行线法2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．(第2题)截长补短法17,3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.(第3题)加倍折半法4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(第4题)5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.(第5题)专训二：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分17,类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )A．40° B．100° C．40°或70° D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为( )A．45° B．75° C．45°或75° D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．当底和腰不确定时，分类讨论4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )A．8或10 B．8 C．10 D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．17,由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分．求腰长．点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )(第10题) A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．(第11题)专训三：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，线段的倍分关系、和差关系、不等关系等．17,证明数量关系题型1 证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.(第1题)题型2 证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.(第2题)证明位置关系题型1 证明平行关系3．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE，连接AE.求证：AE∥BC.(第3题)题型2 证明垂直关系4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.17,(第4题)证明线段的倍分关系5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE.求证：AH＝2BD.(第5题)证明线段的和差关系6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.(第6题)证明线段的不等关系7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC.求证：AB－AC＞PB－PC.17,(第7题)专训四：四种常见热门考点名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式多以选择、填空形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、最短距离问题、与翻折有关的计算和证明题等．轴对称图形与轴对称1．(2015·重庆)下列图形是轴对称图形的是( )(第2题)2．(2015·乌鲁木齐)如图，△ABC的面积等于6，边AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是( ) A．3B．4C．5D．63．(2015·绥化)点A(－3，2)关于x轴的对称点A′的坐标为________．17,4．(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.(第4题)线段垂直平分线与角平分线(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是( )A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BC(第6题)C．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是( )A．80° B．50° C．40° D．20°7．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？17, (第7题)等腰三角形的判定与性质(第8题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.(第9题)等边三角形的性质与判定10．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上一点(不是中点)，且AD＝BE＝CF，AE与CD，BF分别交于点G，H，BF与CD交于点N，则△GHN是17,(第10题)( )A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形(第11题)11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．答案专训一(第1题)17,1．证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，FP＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD. (第2题)(2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝BC，∴线段ED的长度保持不变．3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.(第3题)∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.17,4．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，则∠C＝20°.(第5题)5．证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF与△CBD中，∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.专训二1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.207．解：设AB＝AC，BD⊥AC；(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(第7题)17,(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC的内部时，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(第8题)(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3cm，因此必须分两种情况讨论．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3cm时，有AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3cm时，有BC－AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是当AB＝2cm时，三边长分别为2cm，2cm，5cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8cm.10．B11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，17,(第11题)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D、E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训三1．证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD(SAS)．∴DE＝DF.17,2．证明：过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.又∵AF⊥BD，AC⊥CG，∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.∴∠ABD＝∠CAG.在△ABD和△CAG中，∴△ABD≌△CAG(ASA)．∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.又∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∴CD＝CG.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠DCE.又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠DCE＝∠GCE.又∵CE＝CE，∴△CDE≌△CGE(SAS)．∴∠CDE＝∠G.∴∠ADB＝∠CDE.3．证明：∵△ABC，△PCE均为等边三角形，∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠B＝∠PCE＝60°.∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，即∠BCP＝∠ACE.在△CBP和△CAE中，∴△CBP≌△CAE(SAS)．∴∠CAE＝∠B＝60°.∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC. (第4题)4．证明：如图，连接ED，FD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴DE＝DF.17,又∵G是EF的中点，∴DG⊥EF.5．证明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.在△BCE和△AHE中，∴△BCE≌△AHE(ASA)．∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.6．证明：如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E，∴∠ABC＝2∠E.又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.(第6题) (第7题)7．证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAP＝∠CAP.在△AEP和△ACP中，∴△AEP≌△ACP(SAS)，∴PE＝PC.在△PBE中，BE＞PB－PE，即AB－AC＞PB－PC.17,专训四1．A 2.A 3.(－3，－2)4．解：如图所示．(第4题)5．D 6.D (第7题)7．解：作CF⊥AN于F(如图)，∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，又∵AC＝AC，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AF＝AE.∵AE＝(AD＋AB)＝(AF－DF＋AE＋BE)＝AE＋(BE－DF)，∴BE－DF＝0，∴DF＝BE，又∵CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，∴△DFC≌△BEC(SAS)．∴∠5＝∠2.∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，即∠1与∠2互补．8．D9．证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD.10．A 11.317
