第24章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．cos30°的值等于( )A.B.C．1D.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则tanA等于( )A.B.C.D.3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ACB的值为( )A．3B.C．1D.4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )A．3B．6C．8D．95．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组12
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AB＝c，∠A＝α(α≠45°)，则CD的长为( )A．c·sin2αB．c·cos2αC．c·sinα·tanαD．c·sinα·cosα7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于( )A.B.C.D.8．如图所示，某电视塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，则大楼的高度CD约为( )(结果精确到1米，参考数据：tan39°≈0.8098)A．110米B．114米C．118米D．201米9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )A．30°B．150°C．60°或120°D．30°或150°12
10．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( )A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里二、填空题(每题3分，共30分)11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝8，则BC＝________．12．计算：sin245°＋cos30°·tan60°＝________.13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝6.5，BC＝5，则AC的长是________．14．某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示．其中AB，CD分别表示电梯出入口处的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是5m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________m.12
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.16．设x为锐角，且sinx＝3k－9，则k的取值范围是________．17．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°.根据图形计算tan15°＝________．18．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连结A′B，则tan∠A′BC′＝________.19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.20．一次函数的图象经过点(tan45°，tan60°)和(－cos60°，－6tan30°)，则此一次函数的表达式为________．12
三、解答题(21题6分，22，25题每题8分，23，24题每题12分，26题14分，共60分)21．计算：(1)(2cos45°－sin60°)＋；(2)sin60°·cos60°－tan30°·tan60°＋sin245°＋cos245°.22．在△ABC中，(sinA－1)2＋＝0.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若AB＝10，求BC的长．12
23．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.(1)求边AC的长；(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．24．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，D点为垂足，BE⊥AC，E点为垂足，M点为AB边的中点，连结ME，MD，ED.求证：(1)△MED与△BMD都是等腰三角形；(2)∠EMD＝2∠DAC.12
25．春汛来临之前，某防洪指挥部对长江防线的情况进行排查．发现长江边一处长500m、高10m、背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD，如图)急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制订的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3m，加固后背水坡EF的坡比i＝1：.求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)26．如图①为学校运动会终点计时台的侧面示意图，AB∥CD，AB＝1m，DE＝5m，BC⊥DC于点C，∠ADC＝30°，∠BEC＝60°.(1)求AD的长；(2)如图②，为了避免计时台AB和AD的位置受到与水平面成45°角的光线的照射，计时台上方应放置直径是多少米的遮阳伞(即求DG的长度)?12
答案一、1.B 2.C 3.A 4．B 【点拨】因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA.因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB.所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝10×＝8，则AB＝＝6.5．C 【点拨】对于①，可由AB＝BC·tan∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④，无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.6．D7．B 【点拨】如图，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4. 又BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴tanC＝＝.8．B9．D 【点拨】有两种情况．当顶角为锐角时，如图①，sinA＝，∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，∵sin(180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.12
∴∠BAC＝150°.综上，等腰三角形顶角的度数为30°或150°.10．C二、11.4 12.2 13.12 14.515.16．3<k< 【点拨】因为x为锐角，sinx＝3k－9，所以0<3k－9<1，解得3<k<.17．2－18. 【点拨】如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，易得B′D＝x，BC＝2x，所以BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.19. 【点拨】由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝.20．y＝2x－ 【点拨】tan45°＝1，tan60°＝，－cos60°＝－，－6tan30°＝－2.设此一次函数的表达式为y＝kx＋b，将(1，)，代入，得解得三、21.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.22．解：(1)△ABC是等腰直角三角形．理由：∵(sinA－1)2＋＝0，12
∴∴∴∠A＝∠B＝45°，∴AC＝BC，∠C＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．(2)∵在△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝＝，∴BC＝10×＝5.23．解：(1)过A作AE⊥BC于点E，如图，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴易知AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC＝＝.(2)如图，设BC的垂直平分线交BC于点F，连结CD.∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝.∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝.在Rt△BFD中，根据勾股定理得12
BD＝＝，∴AD＝5－＝，∴＝.24．证明：(1)∵M点为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD＝BM＝AB，ME＝AB.∴△BMD是等腰三角形，ME＝MD，∴△MED为等腰三角形．(2)由(1)知ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝∠MAE＋∠MEA＝2∠MAE.易得MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝∠MAD＋∠MDA＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.25．解：分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为点G，H.由题意可知，EG＝DH＝10m，GH＝ED＝3m.在Rt△ADH中，AH＝＝＝10(m)．在Rt△FGE中，tan∠EFG＝＝，所以FG＝EG＝10m，所以AF＝FG＋GH－AH＝10＋3－10＝10－7(m)，故加固后坝底增加的宽度AF为(10－7)m.26．解：(1)过点B作BF∥AD，交DC于点F，∴∠BFE＝∠D＝30°.∵AB∥DF，∴四边形ABFD为平行四边形，12
∴DF＝AB＝1m，AD＝BF，∴EF＝DE－DF＝4m.在Rt△BCF中，设BC＝xm，则BF＝2xm，CF＝xm.在Rt△BCE中，∠BEC＝60°，∴CE＝m，∴x－＝4，解得x＝2，∴BC＝2m，∴AD＝BF＝4m.(2)由题意知，∠BGE＝45°.∴在Rt△BCG中，CG＝BC＝2m，∵EC＝×2＝2(m)，∴GE＝GC－EC＝(2－2)m，∴DG＝DE－GE＝(7－2)m，即应放置直径是(7－2)m的遮阳伞．12
