第1章达标检测卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A．ax2＋2＝x(x＋1)B．x2＋＝3C．x2＋2x＝y2－1D．3(x＋1)2＝2(x＋1)2．如果2是方程x2－3x＋k＝0的一个根，那么常数k的值为( )A．1B．2C．－1D．－23．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是( )A．(x＋2)2＝3B．(x－2)2＝3C．(x－2)2＝5D．(x＋2)2＝54．方程x2－4x＋9＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．只有一个实根5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为( )A．12B．12或9C．9D．76．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为( )A．4＋2B．12＋6C．2＋2D．4＋2或12＋67．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图像可能是( )8．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为( )10
A.B．1C．5D.或1二、填空题(每题2分，共20分)9．方程(x－3)2＋5＝6x化成一般形式是__________________，其中一次项系数是________．10．一个三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为________________．11．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2023的值为________．12．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________．13．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则a＝________．14．对于任意实数a、b，定义f(a，b)＝a2＋5a－b，如f(2，3)＝22＋5×2－3，若f(x，2)＝4，则实数x的值是________．15．下面是某同学在一次测试中解答的填空题：①若x2＝a2，则x＝a；②方程2x(x－2)＝x－2的解为x＝；③已知x1、x2是方程2x2＋3x－4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1x2＝－2．其中解答错误的序号是__________．16．已知a、b、c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．17．若x2－3x＋1＝0，则的值为________．18．如图，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为144m2，则路的宽为________m.三、解答题(25，26题每题10分，其余每题6分，共56分)19．用适当的方法解下列方程：(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0； (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；10
(3)x2－2x－2＝0;(4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.20．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？21．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．22．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两个实数根x1、x2满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求k的值．10
23．为了贯彻党中央、国务院关于倡导开展全民阅读的重要部署，落实《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程的意见》，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2018年图书借阅总量是7500本，2020年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区从2018年至2020年图书借阅总量的年平均增长率；(2)已知2020年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2021年达到1440人．如果2020年至2021年图书借阅总量的增长率不低于2018年至2020年的年平均增长率，那么2021年的人均借阅量比2020年增长a%，则a的值至少是多少？10
24.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x－＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足求x2＋y2的值．25．已知x1、x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使得等式＋＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．10
26．某公司投资新建了一个商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益＝租金－各种费用)为275万元？10
答案一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A7．B 8.B二、9.x2－12x＋14＝0；－1210．6或10或1211．－1 【点拨】将x＝1代入方程x2＋ax＋b＝0，得1＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1，∴(a＋b)2023＝－1.12．413. 【点拨】由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1·x2＝a.由x21－x22＝10，得(x1＋x2)(x1－x2)＝10，∴x1－x2＝2，∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2，∴25－4a＝4，∴a＝.14．－6或1 15.①②③ 16.直角17. 【点拨】由x2－3x＋1＝0，得x2＝3x－1，则＝＝＝＝＝＝.18．2三、19.解：(1)原方程可化为(x－4)(x＋5)＝0，∴x－4＝0或x＋5＝0，解得x＝4或x＝－5.(2)原方程可化为(2x＋1＋2)2＝0，即(2x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－.(3)∵a＝1，b＝－2，c＝－2，∴b2－4ac＝4－4×1×(－2)＝12＞0，∴x＝＝＝1±.∴x1＝1＋，x2＝1－.(4)原方程化为一般形式为y2－2y＝0.因式分解，得y(y－2)＝0.∴y1＝2，y2＝0.20．(1)证明：在关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，10
b2－4ac＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两个根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．21．解：(1)由题意知a≠0，b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4.∵a2＞0，∴a2＋4＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴b2－4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.(答案不唯一)22．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，解得k＞.(2)∵k＞，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.又∵x1·x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.∵|x1|＋|x2|＝x1·x2，∴2k＋1＝k2＋1，解得k1＝0，k2＝2.又∵k＞，∴k＝2.23．解：(1)设该社区从2018年至2020年图书借阅总量的年平均增长率为x，根据题意，得7500(1＋x)2＝10800，即(1＋x)2＝1.44，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．答：该社区从2018年至2020年图书借阅总量的年平均增长率为20%.(2)10800×(1＋0.2)＝12960(本)，10800÷1350＝8(本)，12960÷1440＝9(本)．10
(9－8)÷8×100%＝12.5%.故a的值至少是12.5.24．解：令xy＝a，x＋y＝b，则原方程组可化为整理，得②－①，得11a2＝275，解得a2＝25，代入②可得b＝4，∴方程组的解为或x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝b2－2a，当a＝5时，x＋y＝4，xy＝5，∴x＝4－y，∴y2－4y＋5＝0，无解．∴a＝5不符合题意．当a＝－5时，x2＋y2＝26，因此x2＋y2的值为26.25．解：(1)∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0，解得k≤－1.(2)存在．∵x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2.∵＋＝k－2，∴＝＝k－2，∴k2－6＝0，解得k1＝－，k2＝.又∵k≤－1，∴k＝－.∴存在这样的k值，使得等式＋＝k－2成立，k值为－.26．解：(1)∵(130000－100000)÷5000＝6(间)，30－6＝24(间)，∴能租出24间．(2)设每间商铺的年租金增加x万元，则10
×(10＋x)－×1－×0.5＝275，整理，得2x2－11x＋5＝0，解得x1＝5，x2＝0.5，5＋10＝15(万元)，0.5＋10＝10.5(万元)．∴当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该公司的年收益为275万元．10
