期末达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )2．一元二次方程x(x－3)＝4的解是( )A．x＝1B．x＝4C．x1＝－1，x2＝4D．x1＝1，x2＝－43．抛物线y＝－－3的顶点坐标是( )A.B.C.D.4．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行(或列)吗？设增加了x行(或列)，则列方程得( )A．(8－x)(10－x)＝8×10－40B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋405．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是( )A．36°B．33°C．30°D．27°6．一个不透明的袋子中有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球(黑球与白球除颜色外，其他均相同)，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋子中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋子中有白球( )A．18个B．28个C．36个D．42个7．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是( )A．15°B．20°C．25°D．30°12
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，O为BC的中点，以O为圆心作半圆O交BC于点M，N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则半圆O的半径和∠MND的度数分别为( )A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )A．5B.C．5D．510．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a＋b＝0；(2)9a＋c＞3b；(3)8a＋7b＋2c＞0；(4)若点A(－3，y1)，点B，点C在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2，其中正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共30分)11．a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是________．12．在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于原点对称的点的坐标是________．13．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2022＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________．12
14．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝________．15．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是________．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO∶OA＝1∶.将△BOC绕C点沿顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝________．17．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的叶状阴影图案的面积为________．18．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，若这个圆锥底面圆的半径为1cm，则这个扇形的半径是________cm.19．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为________．20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(4，0)，且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，点P的坐标为________．三、解答题(21题8分，22，23题每题6分，26题10分，27题12分，其余每题9分，共60分)12
21．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－2x－143＝0;(2)5x＋2＝3x2.22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1.(1)求证：2a＋b＝0；(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π)．12
24．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其他差异)，从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x，y表示．若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜．(1)用列表法或画树状图法求(x，y)所有可能出现的结果总数．(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．25．如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由．(2)①求证：CF＝OC；②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．12
26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：A方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；B方案：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴相交于O，A两点．(1)求这个二次函数的解析式．(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．12
答案一、1.B 2.C 3.B 4.D 5．A 【点拨】连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°.∴∠BDC＝90°－∠BCD＝90°－54°＝36°.∴∠A＝∠BDC＝36°.6．B7．C 【点拨】∵正方形ODEF是由正方形OABC绕点O逆时针旋转40°得到的，∴∠AOC＝90°，∠COF＝40°，OA＝OF，∴∠AOF＝90°＋40°＝130°，∴∠OFA＝＝25°.8．A 9.D10．B 【点拨】∵－＝2，∴4a＋b＝0.故(1)正确．∵当x＝－3时，y＜0，∴9a－3b＋c＜0，∴9a＋c＜3b.故(2)错误．由图象可知抛物线经过点(－1，0)和(5，0)，∴解得∴8a＋7b＋2c＝8a－28a－10a＝－30a.∵a＜0，∴8a＋7b＋2c＞0.故(3)正确．∵点A(－3，y1)，点B，点C在该函数图象上，且－2＝，2－＝，＜，∴点C离对称轴的距离近．∴y3＞y2.∵a＜0，－3＜－＜2，∴y1＜y2.∴y1＜y2＜y3.故(4)错误．∵a＜0，∴(x＋1)(x－5)＝－＞0，即(x＋1)(x－5)＞0，故x＜－1或x＞5，故(5)正确．∴正确的结论有3个，故选B.二、11.8 12
12．(3，－2) 13．2020 14．50° 15. 16．105°17．2π－4 【点拨】标注字母如图所示，连接AB，由题意得，阴影部分的面积＝2(S扇形OAB－S△AOB)＝2×(－×2×2)＝2π－4.18．3 【点拨】扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形的半径为rcm，则×πr＝2π×1，解得r＝3.19．2r 【点拨】连接OD，OE.易知BD＝BE＝OD＝OE＝r.∵MN与⊙O相切于点P，且⊙O是△ABC的内切圆，∴MD＝MP，NP＝NE.∴△MBN的周长＝BM＋MP＋PN＋BN＝BM＋MD＋NE＋BN＝BD＋BE＝2r.20.或【点拨】连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，此时EF最短．在Rt△AOC中，易知OC＝OA＝4，∴当D是AC的中点时，OD⊥AC.易得DF∥OC，DF＝OC＝2，∴点P的纵坐标是2.∵点A的坐标为(4，0)，且OA＝4OB，∴点B的坐标为(－1，0)．设过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，由点C的坐标为(0，4)，得－4a＝4，解得a＝－1，因此抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4，当y＝2时，x2－3x－2＝0，解得x＝.∴当线段EF的长度最短时，点P的坐标为或.三、21.解：(1)原方程可化为x2－2x＋1＝143＋1，得(x－1)2＝144，∴x－1＝±12，12
∴x1＝13，x2＝－11.(2)原方程可化为3x2－5x－2＝0，(3x＋1)(x－2)＝0，得3x＋1＝0或x－2＝0，∴x1＝－，x2＝2.22．(1)证明：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1，∴－＝1，即2a＝－b，移项，得2a＋b＝0.(2)解：把x＝4代入方程ax2＋bx－8＝0，得16a＋4b－8＝0 ①.由(1)可知，2a＋b＝0 ②，①②联立，解得∴原方程为x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2.∴方程的另一个根是x＝－2.23．解：(1)如图．点A1的坐标为(2，－4)．(2)如图．(3)BC＝＝，所以C点旋转到C2点所经过的路径长为＝.24．解：(1)画树状图如图所示：12
共有16种等可能的结果．(2)公平．理由：x＋y为奇数的结果数为8，x＋y为偶数的结果数为8，∴甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝.∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率．∴这个游戏对双方公平．25．(1)解：结论：直线DE与半圆O相切．理由：∵CD⊥AD，∴∠D＝90°.∵四边形OABC是平行四边形，∴AD∥OC.∴∠D＝∠OCE＝90°.∴CO⊥DE.又∵CO为半径，∴直线DE与半圆O相切．(2)①证明：如图，连接OB.∵OA＝OC，∴四边形OABC是菱形．∴OA＝OB＝AB.∴△AOB为等边三角形．∴∠BAO＝60°.∵AD∥OC，∴∠COF＝∠BAO＝60°.又∵OC＝OF，∴△OCF是等边三角形．∴CF＝OC.12
②解：在Rt△OCE中，∵OC＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝90°，∴OE＝2OC＝24.∴EC＝12.∵OF＝12，∴EF＝12.则的长为12×2π×＝4π.∴阴影部分的周长为4π＋12＋12.26．解：(1)由题意得，销售量为250－10(x－25)＝－10x＋500，则w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10000.(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.∵－10＜0，∴当x＝35时，w最大＝2250.故当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大．(3)A方案的最大利润更高，理由如下：A方案中：20＜x≤30，∵函数w＝－10(x－35)2＋2250的图象开口向下，对称轴为直线x＝35，∴当x＝30时，w有最大值，此时wA最大＝2000.B方案中：故x的取值范围为45≤x≤49.∵函数w＝－10(x－35)2＋2250的图象开口向下，对称轴为直线x＝35，∴当x＝45时，w有最大值，此时wB最大＝1250.∵wA最大＞wB最大，12
∴A方案的最大利润更高．27．解：(1)∵函数的图象与x轴相交于点O，∴0＝k＋1.∴k＝－1.∴y＝x2－3x.(2)设B点的坐标为(x0，y0)．∵△AOB的面积等于6，∴AO·|y0|＝6.当x2－3x＝0时，即x(x－3)＝0，解得x＝0或x＝3.∴AO＝3.∴|y0|＝4，即|x20－3x0|＝4.∴＝或＝－(舍去)．解得x0＝4或x0＝－1(舍去)．当x0＝4时，y0＝x20－3x0＝4，∴点B的坐标为(4，4)．(3)假设存在点P.设符合条件的点P的坐标为(x1，x21－3x1)．∵点B的坐标为(4，4)，∴∠BOA＝45°，BO＝＝4.当∠POB＝90°时，易得点P在直线y＝－x上，∴x21－3x1＝－x1.解得x1＝2或x1＝0(舍去)．∴x21－3x1＝－2.∴在抛物线上存在点P，使∠POB＝90°，且点P的坐标为(2，－2)．∴OP＝＝2.∴△POB的面积为PO·BO＝×2×4＝8.12
