3、圆的面积第1课时圆面积的意义和计算公式u教学内容：教科书第19～20页，圆面积的意义和圆面积计算公式的推导。u教学提示：教材首先通过“已知云南景洪的曼飞龙白塔的塔基是圆柱形石座，底面周长是42.6米，求这座塔基的占地面积”的实际情境提出圆面积的概念，使学生在以前所学知识的基础上理解“圆的面积就是它所占平面的大小”。 由于以前学生所求的图形面积都是多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等）的面积，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到。教材没有直给出圆的面积计算公式，而是先通过例1，把圆的面积与正方形的面积进行比较，利用数格子的方法估算圆的面积，使学生对圆的面积有一个初步的感性认识。进而引导学生运用转化的思想来推导圆的面积计算公式。由于让学生完全自主地探索如何把圆转化成长方形是有很大难度的，教材上给出了明确的提示，让学生利用学具进行操作，在此基础上，让学生自主发现圆的面积与拼成的长方形面积的关系，圆的周长、半径和长方形的长、宽的关系，并推导出圆的面积计算公式。 最后，本节课教材安排了两道例题，例1用石塔占地突出圆面积的概念，强调与周长的区别。通过“估”和“数”的活动，使学生感受到圆的面积与r有关，为后面的圆面积公式的推导作准备。感受过程：（1）圆的面积比4个小正方形面积小，就是比4r²小。（2）用数方格的方式，让学生知道圆面积比3r²大。（3）结论：圆面积是半径平方的3倍多一些。例2用实验的方法探索圆面积的计算公式。实验的方式：（1）图形转化。（浸透极限思想）（2）讨论：平行四边形与圆的关系。（3）比较推理（4）归纳圆面积计算公式。u教学目标：1.知识与技能：知道圆面积的含义。理解和掌握圆面积计算公式。会运用圆面积公式计算圆面积。2.过程与方法：通过教具演示，渗透转化的数学思想和极限思想，使学生经历探索圆的面积计算公式的过程。
3.情感态度与价值观：激发学生参与教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。u重点难点：教学重点：圆面积的计算方法。教学难点：推导圆面积计算公式。u教学准备:教具准备：多媒体课件学具准备：8和16等份的圆形纸片各1个，正方形、圆形物品、圆规、剪刀等。u教学过程：（一）新课导入（投影出示——《马儿的困惑》的场景）谈话：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？预设：是一个圆形。那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？预设：圆的面积。教师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积）圆的面积是指的什么？归纳：圆所占平面的大小，就是圆的面积。【设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。】 （二）探究新知1.初步感知圆的面积。（1）估一估圆的面积。投影出示一个圆，如图。有一个圆，并以圆的半径r为边长画一个小正方形。
请同学们估一估，圆的面积大约是小正方形面积的多少倍？让学生独立思考，同桌合作交流，然后反馈学生估的结果。预设：生1：这个圆面上可以画4个这样的小正方形，但圆的面积没有四个小正方形的面积大。所以，我估计，圆的面积大约是小正方形面积的3倍。教师给予肯定：这样的估计有道理。生2：我不是想在圆面上画4个这样的小正方形。是想把这个圆对折两次后，平分成4等份，一等份的圆和大半个小正方形的面积相等，4等份一定比两个正方形大，比4个正方形小，所以，我也估计，圆的面积大约是小正方形面积的3倍。教师给予肯定：分析得不错。难道圆的面积刚好是小正方形面积的3倍吗？（2）数方格验证，得出结论。提问：如果我们将正方形的边长r平均分成4份，在小正方形内就有16个方格。于是得到现在的图，(出示)你能用数方格的方法回答刚才的问题吗？(非常接近1格的算做1格，其余不足1格的算半格)反馈学生数的结果：小正方形有16个方格，14圆里大约有13格。教师接着问：整个圆里大约有多少个方格？(13×4=52)52大约是16的多少倍？师生共同小结：圆的面积是小正方形面积的3倍多一些，也就是半径平方(r2)的3倍多一些。（板书：S=r2的3倍多。）【设计意图：通过本环节让学生对圆的面积与正方形的面积进行比较，估一估圆的面积与正方形的面积的关系，然后通过数格子的方法进行验证，使学生对圆的面积有一个初步的感知，也为下面的推导圆的面积公式做好铺垫。】2.探究圆的面积计算公式。（1）谈话：刚才我们通过估一估，数一数，得出了圆的面积是半径平方的3倍多一些这一结论，这一结论对所有的圆都适用，也就是说，只要知道圆的半径，就能估算出圆的面积。试一试：一个圆的半径是5cm，它的面积大约是多少平方厘米？让学生说说想法。用这个方法只能估算出圆的面积。要想得到准确值还需要进一步探索圆的面积计算公式。回想一下以前我们是怎样推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的？
我们都是把这个图形转化成学过的图形，从而推导出它们的面积计算公式的。那我们能不能把圆也转化成学过的图形到来推导出圆的面积计算公式呢？今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。教师：今天我们能否运用转化的方法研究圆的面积呢？那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？（2）观察猜想：课件出示：分成16等分的圆。教师：圆是个曲线图形，想想它可能转化为什么图形呢？你是怎样想的？（3）操作验证教师指导：让学生利用课前准备好的学具，选择其中一个圆形纸片（16等份或32等份），剪开，独立或与同伴合作拼成一个学过的平面图形。教师指导学生拼图。教师：谁想把你的结果展示出来？“化曲为直”渗透极限思想多媒体课件直观演示把圆分成64等份、128等份……转化成长方形的过程，使学生理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近长方形。教师提问：你们发现什么吗？学生推导圆的面积公式（课件出示：32等分的圆转化为近似长方形）教师：那么拼出来的这个近似的长方形和圆形之间有什么关系呢？课件出示：拼成近似长方形和原来的圆的面积有什么关系？近似的长方形的长相当于圆的哪一部分？近似长方形的宽又是圆的哪一部分？根据汇报板书指导学生推导公式请同学们试一试，根据已经学过的长方形的面积公式，推导出圆的面积公式吧！教师：圆的面积和什么有关？让学生通过观察、分析。由看到16等份都是近似的等腰三角形而猜想出有可能转化成一个平行四边形、长方形、三角形、梯形等。然后学生回答。（3）学生动手：把圆形纸片剪成16份或32份，再拼成一个自己学过的图形。
（预设生成）学生可能拼成一个近似的平行四边形、长方形、三角形、梯形。学生动手操作、观察后，汇报并展示结果，注重不同情况的展示。（贴在黑板上）学生观察，渗透极限思想学生观察多媒体的演示，理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近长方形。【设计意图：通过这一环节，渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并借助电脑课件的演示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。】学生交流汇报以上结果。学生自主推导圆的面积公式学生观察：发现涂色的圆分成上、下两个部分。学生交流，汇报发现的结果：①形状变化了，面积没相等。②近似长方形的长相当于圆周长的一半。③近似长方形的宽相当于半径（r）指名学生进行汇报，投影演示“变曲为直”的过程。教师这时给予学生鼓励性评价，然后接着提出，我们从多角度，多侧面推导出了圆的面积公式。如果我们用S表示圆的面积，r表示圆的半径。你会用字母表示圆的面积公式吗？学生汇报，教师板书：平行四边形的面积＝底×高↓↓↓圆的面积=圆周长的一半×半径=C×r=×2πr×r=πr2如果用字母S表示圆的面积，那圆的面积计算公式就是：S=πr2。【设计意图：先让学生观察再猜想的方法，既培养了学生的空间想象力，又发展了学生的逻辑推理能力。激发学生想动手拼一拼的欲望。这个环节中，探究是开放的，学生通过观察、探讨，合作，归纳出圆的面积公式，突出重点。在探究的过程中体验成功的满足和喜悦，提高学生观察，探究能力。培养学合作精神。】
（三）巩固新知分两组分别完成课堂活动第1、2题。学生分两组分别进行测量，计算，教师适时给予指导。学生做完之后两个小组进行交流，评价。【设计意图：练习的设计，除激发学生的学习兴趣、有效巩固了新知外，更重要的是让学生动手操作，增强数学的应用意识，提高操作能力。】 （四）达标反馈1.填空题。（1）把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于（），长方形的宽就是圆的（）。因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（）。（2）圆的直径是6厘米，它的周长是（），面积是（）。2.填表。答案：1.（1）圆周长的一半半径长×宽πr2（2）18.8428.262.如下表。（五）课堂小结今天我们学了什么知识？是怎样学习的？你有什么感受吗？同学们，猜想验证、操作发现是我们在数学学习中探索未知领域时经常要用到的方法，
用好它相信同学们会有更多的发现！【设计意图：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】（六）布置作业1.填空题。（1）一个半径为4厘米的圆，把它平均剪成若干份后，拼成一个近似平行四边形，这个平行四边形的底是（）厘米，高是（）厘米。（2）一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。（3）一个圆的直径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。2.求下列圆的面积。答案：1.（1）12.564（2）200.96（3）50.242.3.14×（4÷2）2=12.56（平方厘米）3.14×32=28.26（平方厘米）u板书设计圆面积的意义及计算公式平行四边形的面积＝底×高
↓↓↓圆的面积=圆周长的一半×半径=C×r=×2πr×r=πr2用字母表示圆的面积计算公式：S=πr2。u教学反思《圆的面积》是小学数学教学中的一个难点，又是学习圆柱与圆锥的基础，圆面积公式的推导过程运用了“极限”的思想和方法，这对小学生来讲是深奥难懂的。教材首先用云南景洪的曼飞龙塔基的情景引出了圆的面积概念，接着让学生比较圆的面积和以圆的半径为边长的正方形的面积，对圆的面积有一个初步的感性认识，接下来让学生尝试运用以前曾多次采用过的“转化”的数学思想，把圆转化成已学过的图形（主要是长方形）来计算面积，引导学生自主推导出圆面积的计算公式，再一次让学生熟悉运用“转化”这种数学思想方法来解决较复杂问题的策略。学习此知识之前，学生已初步认识了圆，理解了面积的含义，并且掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，因此学习圆的面积公式推导过程时只需要教师启发、点拨学生依然从转化的思想入手，将圆转化为已学过的图形进行计算，然后通过等量代换得到圆面积公式。因此，新课内容必须从贴近学生生活的情境出发，激发学生的探究欲望，降低内容的抽象性，引导学生用转化的方法推导出圆面积的计算公式。在教学“圆的面积”计算公式推导时，我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法，引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等平面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合作动手、动脑剪一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。再引导学生交流、验证自己的推导想法，师生共同倾听并判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，有效地体验从猜想——实践验证——分析——归纳总结的科学探究问题的方法。看看他们的推导方法是否科学、合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习，提高了学生的实践能力和创新意识。
在学生实践操作的基础上，我利用多媒体精确演示圆割补拼图的过程，让学生清楚地理解自己推导方法的科学性和准确性，极大地激发了学生们的学习兴趣，为学生今后圆锥，圆柱奠定了有力的基础。 课上及时安排了坡度适当、由易到难的练习题，使学生由浅入深地掌握了知识，形成了技能。同时，还注意培养学生逻辑推理的能力。圆除了剪拼成近似的长方形外，还可以转化成近似的三角形、近似的梯形。如果让学生在这里再动手操作，对学生思维的拓展是有很大的好处，但一节课无法容纳这么多的内容，所以这一节课就选择了单纯让学生把圆转化成近似长方形来推导圆面积的公式。但回头想想，也可以把圆的面积分两课时来上，一课时是让学生操作，圆可以转化成什么图形？第二课时才深入地研究如何推导圆面积的公式，这样费时多些但对学生的能力开拓会更有好处。u教学资料包（一）教学精彩片段圆面积的意义和计算公式(教学片断)探究合作，推导圆面积公式1.渗透“转化”的数学思想和方法。师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别的图形。这样有什么好处呢？生：这样就把一个不懂的问题转化成我们可以解决的问题。师：对，这是我们在学习数学的过程当中的一种很好的方法。今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。师：那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？2.演示揭疑。师：（边说明边演示）把这个圆平均分成16份，沿着直径来切，变成两个半圆，拼成一个近似的平行四边形。师：如果老师把这个圆平均分成32份，那又会拼成一个什么图形？我们一起来看一看（师课件演示）。
师：大家想象一下，如果老师再继续分下去，分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于什么图形？（长方形）【评析：教师通过这一环节，渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并借助电脑课件的演示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。】（二）数学资源1.填空题。（1）一个圆形桌面的直径是2米，它的面积是（）平方米。（2）鼓楼中心岛是半径10米的圆，它的占地面积是（）平方米。（3）用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出的这个圆的面积是（）平方厘米。（4）将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是（）平方厘米。2.一个水缸，从里面量，缸口直径是50厘米，缸壁厚5厘米。要制做一个缸盖，使它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴上一圈金属（不计接头），这个金属条长多少厘米？答案：1.（1）3.14（2）314（3）8200.96（4）78.52.50÷2=25（厘米）25+5=30（厘米）3.14×302=2826（平方厘米）3.14×30×2=188.4（厘米）资料链接你知道吗？怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式一算，结论就出来了。可是你可知
道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为了研究和解决这个问题，不知遇到了多少困苦，花费了多少精力和时间。在平面图形中，以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。因此，求三角形面积的公式是：底×高÷2。任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地52900平方米。它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术水平已经很高。圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能做出这样的正方形呢？你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。这个起源于古希腊的几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。开普勒的求解方法约翰尼斯·开普勒是德国天文学家，他发现了行星运动的三大定律，这三大定律可分别描述为：所有行星分别是在大小不同的椭圆轨道上运行；在同样的时间里行星向径在轨道平面上所扫过的面积相等；行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。这三大定律最终使他赢得了“天空立法者”的美名。为哥白尼的日心说提供了最可靠的证据，同时他对光学、数学也做出了重要的贡献，他是现代实验光学的奠基人。
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。提出圆面积公式。开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有这就是我们所熟悉的圆面积公式。开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客观存在的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。卡瓦利里的求解方法他是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像
布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成直线的总和，把立体看成是平面的总和。卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。”事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖暅。比卡瓦利里早1000多年，所以我们叫它“祖暅原理”。在一个圆里画一个最大的正方形，正方形占圆面积的约63.7%，在一个圆外画一个最小的正方形，正方形面积是圆形面积的157%。在卡瓦利里的观点上拓展，也可以将曲线看做不可分量。所以圆面积近似于无数个圆周长曲线的拼接。
