第三章：函数的应用第一节：函数与方程,要点梳理1.函数的零点（1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.f(x)=0基础知识自主学习,（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_____有交点函数y=f(x)有_______.(3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),使得_________，这个____也就是f(x)=0的根.f（a）·f（b）<0(a，b)f(c)=0cx轴零点,2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点__________________________无交点零点个数______________(x1,0),(x2,0)(x1,0)无一个两个,3.二分法（1）二分法的定义对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间［a，b］，验证______________,给定精确度；第二步，求区间（a，b）的中点x1；f(a)·f(b)<0一分为二零点f(a)·f(b)<0,第三步，计算_______：①若_______，则x1就是函数的零点；②若_____________，则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));③若______________，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));第四步，判断是否达到精确度：即若|a-b|<,则得到零点近似值a（或b）;否则重复第二、三、四步.f(x1)f(a)·f(x1)<0f(x1)·f(b)<0f(x1)=0,基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的零点是（）A.0，2B.0，C.0，D.2,解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0，得x=0,x=∴g（x）的零点为0，C,2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，则a的取值范围是（）A.B.a≤1C.D.解析f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则f(-1)·f(1)≤0,即D,3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（）解析图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函数f（a）·f（b）<0.B,4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（）A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析对选项D，∵f（1）=e-3<0，f（2）=e2>0，∴f（1）f（2）<0.D,5.设函数则函数f(x)-的零点是__________.解析当x≥1时，当x<1时，(舍去大于1的根).∴的零点为,题型一零点的判断【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］；(2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］.第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.思维启迪题型分类深度剖析,解（1）方法一∵f（1）=12-3×1-18=-20<0，f（8）=82-3×8-18=22>0，∴f(1)·f(8)<0，故f(x)=x2-3x-18,x∈[1，8]存在零点.方法二令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x∈[1，8].∴(x-6)(x+3)=0，∴x=6∈[1，8],x=-3[1，8]，∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.,(2)方法一∵f（1）=log23-1>log22-1=0,f(3)=log25-3<log28-3=0,∴f（1）·f（3）<0，故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件.探究提高,知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x3+1;（2）x∈（0，1）.解（1）∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,∴f(x)=x3+1有零点-1.（2）方法一令f(x)=0，∴x=±1,而±1(0,1),∴x∈(0,1)不存在零点.,方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象没有交点.故x∈(0，1)没有零点.,题型二函数零点个数的判断【例2】求函数y=lnx+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.思维启迪,解在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.若采用基本作图法，画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.探究提高,知能迁移2已知函数(a>1),判断f(x)=0的根的个数.解设f1(x)=ax(a>1),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax(a>1)与f2(x)=的图象(如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.,题型三零点性质的应用【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.（1）可结合图象也可解方程求之.（2）利用图象求解.思维启迪,解（1）方法一∵等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是[2e，+∞)，4分因而只需m≥2e，则g(x)=m就有零点.6分方法二作出的图象如图：4分可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e.6分,方法三解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根，4分等价于故m≥2e.6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，,作出（x>0）的图象.∵f（x）=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e2.10分故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞).12分,此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解.探究提高,知能迁移3是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤或a≥1.,检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)=0时，a=解之得x=或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠综上所述,a<或a>1.,1.函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定理；②数形结合；③解方程f（x）=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f（x）-g（x）的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.方法与技巧思想方法感悟提高,1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在［a,b］上连续;(2)f(a)·f(b)<0;(3)在（a,b）内存在零点.事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.,一、选择题1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A.[0，1]B.[1，2]C.[-2，-1]D.[-1，0]解析∵f（-1）=3-1-(-1)2=f（0）=30-02=1>0，∴f（-1）·f（0）<0，∴有零点的区间是[-1，0].D定时检测,2.(2009·天津理，4)设函数(x>0),则y=f(x)（）A.在区间(1,e)内均有零点B.在区间(1,e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析因为因此f(x)在内无零点.因此f(x)在(1，e)内有零点.答案D,3.（2009·福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则,又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x=0;零点为答案A,4.方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析∵a∈R+，∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图，∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.∴方程有两解.B,5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A.B.C.D.解析本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.,如图，作出函数y=|x|·(x-1)的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的交点，即方程有3个实根.答案A,6.设f(x)=x3+bx+c(b>0)(-1≤x≤1),且则方程f(x)=0在[-1,1]内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析∵f（x）=x3+bx+c（b>0），∴f′(x)=3x2+b>0,∴f（x）在[-1,1]上为增函数,又∵∴f（x）在内存在唯一零点.C,二、填空题7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.解析∴g（x）=-6x2-5x-1的零点为,8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解集是________________.解析∵f（x）=x2+ax+b的两个零点是-2，3.∴-2，3是方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数的关系知∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0，即-(4x2+2x-6)>02x2+x-3<0,解集为,9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0①有三个实根；②当x<-1时,恰有一实根(有一实根且仅有一实根);③当-1<x<0时，恰有一实根；④当0<x<1时，恰有一实根；⑤当x>1时，恰有一实根.则正确结论的编号为___________.,解析∵f（-2）=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,f（-1）=0.01>0，即f(-2)·f(-1)<0，∴在（-2，-1）内有一个实根.由图中知：方程f(x)=0在(-∞,-1)上,只有一个实根,所以②正确.又∵f(0)=0.01>0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根,所以③不正确.又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,f(1)=0.01>0,即f(0.5)f(1)<0,所以f(x)=0.在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)·f（0.5）<0,,∴f（x）=0在（0，0.5）上也有一个实根.∴f（x）=0在（0，1）上有两个实根，④不正确.由f（1）>0且f(x)在（1，+∞）上是增函数，∴f（x）>0,f(x)=0在（1，+∞）上没有实根.∴⑤不正确.并且由此可知①也正确.答案①②,三、解答题10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.解∵f（x）=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0)，则t2+mt+1=0.当Δ=0,即m2-4=0，∴m=-2时，t=1;m=2时，t=-1不合题意，舍去，∴2x=1，x=0符合题意.,当Δ>0，即m>2或m<-2时，t2+mt+1=0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点.∴这种情况不符合题意.综上可知：m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.,11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围.解设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0,又∵f（2）=22+（m-1）×2+1,∴m≤,②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则由①②可知m≤-1.,12.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间［-1，1］上有零点,求a的取值范围.解（1）当a=0时，f(x)=2x-3.令2x-3=0,得x=［-1，1］∴f（x）在［-1，1］上无零点，故a≠0.（2）当a>0时，f(x)=2ax2+2x-3-a的对称轴为,①当≤-1,即0<a≤时，须使∴a的解集为.②当-1<<0,即a>时，须使解得a≥1,∴a的取值范围是［1，+∞).,（3）当a<0时，①当0<≤1,即a≤时，须有又a≤∴a的取值范围是,②当>1,即</a≤时，须使∴a的解集为.②当-1<<0,即a></x<0时，恰有一实根；④当0<x<1时，恰有一实根；⑤当x></log28-3=0,∴f（1）·f（3）<0，故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件.探究提高,知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x3+1;（2）x∈（0，1）.解（1）∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,∴f(x)=x3+1有零点-1.（2）方法一令f(x)=0，∴x=±1,而±1(0,1),∴x∈(0,1)不存在零点.,方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象没有交点.故x∈(0，1)没有零点.,题型二函数零点个数的判断【例2】求函数y=lnx+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.思维启迪,解在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象，由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.若采用基本作图法，画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.探究提高,知能迁移2已知函数(a>
