专题05和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算；2．代数式的化简与求值；3．简单的不定方程（组）；4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：1.;2.;3.；4.；5.．例题与求解【例1】已知，，那么的值为___________.（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于().A.－1B．－1或－7C．1D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有；(1)代入字母的值求值；(2)代入字母间的关系求值；(3)整体代入求值．\n【例3】计算：(1)（“希望杯”邀请赛试题）（2）（江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1);（上海市竞赛试题）(2).（四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．解题思路：先分解因式再代入求值.\n【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．能力训练A级1.如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．（烟台市初中考试题）2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．方程的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）4.如果是完全平方式，那么的值为__________．（海南省竞赛试题）5.已知()，则的值是()．A．2，B．2C．D．6．当，的值为()．A.－1B．0C．2D．17．已知，，则M与N的大小关系是()．A.M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）\n8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是()．A.388944B.388945C.388954D.388948（五城市联赛试题）9．计算：(1)（北京市竞赛试题）(2)(安徽省竞赛试题)10.一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）11.已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.(1)求的值；(2)分别求，，，的值．（湖州市竞赛试题）\nB级1．已知是正整数，且是质数，那么____________.（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________.（“希望杯”邀请赛试题）3.已知正数，，满足，则＝_________.（北京市竞赛试题）4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知，，是一个三角形的三边，则的值()．A.恒正B．恒负C．可正可负D．非负(太原市竞赛试题)6．若是自然数，设，则()．A.一定是完全平方数B．存在有限个，使是完全平方数C.一定不是完全平方数D．存在无限多个，使是完全平方数7．方程的正整数解有()组．A.3B．2C．1D．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程的整数解有()组．A.2B．4C．6D.8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）\n10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：，，，，…你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4，求：(1)按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.(1)若，互质，证明与互质；(2)当，互质时．求的值；(3)若，的最大公约数为5，求的值．（江苏省竞赛试题）\n专题05 和差化积——因式分解的应用例1 或例2 D 提示：（a－b）（a－c）＝7．a－b>0，a－c>0．例3 （1） 提示：设1997＝a，则原式＝ （2）221 提示：例4 （1）x＝1，y＝－1 提示：（2x－3）（2＋3y）＝1；（2）提示：（2x＋y）（x＋2y）＝2007×1＝669×3＝223×9＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223）．例5 （1）a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2×3＝6．（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5．（3）．例6 提示：设m＝19951993，则a＝．A组1．a＋3b 2．36 3．（x，y）＝（6，5）或（4，5）4．1或－35．A6．D 7．B 8．A9．（1）3 （2） 提示：设a＝22223，b＝11112，则原式＝．10.设，则.11.(1)由,得,故.\n(2)由,,得,而,∴,从而,又.当时,,解得,,；当时,,解得,,；B级1.3提示：原式=，2.783.8提示：4.101030或103010或3010105.Ｂ提示：原式=6.Ｃ提示：7.Ｃ8.Ｃ9.提示：原式=，共有个因数.10.===11.(1)499就是扩充三次的最大数(2)，取可得新数∴取可得新数∴,设扩充后的新数为，则总可以表示为，式中为整数.当时,,又,故1999可以通过上述规则扩充得到.12.(1)设s为与的最大公因数，则，（于是.可见,是的因数,∵互质,∴也互质,可见,即与互质,同理可得:与互质.(2)∵,∴.又都是正整数，\n∴整除.因与互质，∴整除116，即.而,具有相同的奇偶性,且,∴或,解得或,∵互质,.∴,∴.(3)若设,则同(2)有即,,且.根据(2)有,.∴.
