第十七章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( )A．3，4，5B．6，8，10C.，2，D．5，12，132．在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是( )A．3B．4C．5D．±53．如图，数轴上点A，B表示的数分别为1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A.B.C.＋1D.＋14．下列命题中，其逆命题成立的是( )A．对顶角相等B．等边三角形是等腰三角形C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0D．如果三角形的三边长a，b，c(其中a＜c，b＜c)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形5．已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为( )A．12B．7＋C．12或7＋D．以上都不对13
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是( )A．2B．2C．4D．47．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定8．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5m，高为3m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要( )A．5mB．7mC．8mD．12m9．如图，长方体的底面邻边长分别是5cm和7cm，高为20cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(点B为棱的中点)，那么所用细线最短为( )A．20cmB．24cmC．26cmD．28cm 10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )13
A.B.C.D．2二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，已知正方形ABCD的面积为8，则对角线BD的长为________．12．如图，一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12m处，则树折断之前高________m.13．若一个三角形的三边之比为3:4:5，且周长为24cm，则它的面积为________cm2.13
14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是________．15．若三角形的三边长满足关系式|a－5|＋(a＋b－17)2＋＝0，则这个三角形的形状为____________________________________________．16．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为________．17．如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为__________．13
18．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为________．19．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是________．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位长度的速度从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若△BPQ为直角三角形，则t的值为________．13
三、解答题(26，27题每题10分，其余每题8分，共60分)21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AB＝AC＝13，BD＝1.(1)求CD的长；(2)求BC的长．22．如图，某港口A有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34nmile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？23．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．13
24．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数(x，y，z)叫做勾股数，如(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：(________，________，________)，(________，________，________)；(2)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明．13
25．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠BAC与∠ADC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸(单位：cm)为：AD＝8，AC＝10，CD＝6，AB＝24，BC＝26，请你判断这个零件是否符合要求，并说明理由．26．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.求AB的长．13
27．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2.∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2.故当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.∴小明的猜想是正确的．请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论．13
答案一、1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A7．C 8.B 9.C 10.B二、11.4 12.24 13.24 14.1015．直角三角形 16.3 17.(10，3)18．()n－119. 点拨：在网格中求三角形的高，应借助三角形的面积求解．以AC，AB，BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1，1，，因此△ABC的面积为2×2－1－1－＝；用勾股定理计算出BC的长为，因此BC边上的高为.20.，或点拨：(1)如图①，当∠BQP＝90°时，易得∠BPQ＝30°，则BP＝2BQ.∵BP＝12－3t，BQ＝t，∴12－3t＝2t，解得t＝.(2)如图②，当∠QPB＝90°时，易知∠B＝60°，∴∠BQP＝30°.∴BQ＝2BP.若0＜t≤4，则t＝2(12－3t)，解得t＝；若4＜t≤6，则t＝2(3t－12)，13
解得t＝.三、21.解：(1)∵AB＝13，BD＝1，∴AD＝13－1＝12.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5.(2)在Rt△BCD中，BC＝＝＝.22．解：由题意知，AM＝8×2＝16(nmile)，AP＝15×2＝30(nmile)．∵两岛相距34nmile，∴MP＝34nmile.∵162＋302＝342，∴AM2＋AP2＝MP2.∴∠MAP＝90°.又∵∠NAM＝60°，∴∠PAS＝30°.∴乙船航行的方向是南偏东30°.23．解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，∴a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．点拨：本题利用配方法，先求出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断．24．(1)6；8；10；9；12；15(答案不唯一)(2)证明：x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，即以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形．25．解：这个零件符合要求．理由如下：在△ACD中，∵AD2＋CD2＝82＋62＝64＋36＝100，且AC2＝102＝100，∴AD2＋CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°.13
在△ABC中，∵AC2＋AB2＝102＋242＝100＋576＝676，且BC2＝262＝676，∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°.因此，这个零件符合要求．26．解：∵BF＝CF＝8，∠C＝30°，∴∠FBC＝∠C＝30°.∴∠DFB＝60°.由题易知BE与BC关于直线BF对称，∴∠DBF＝∠FBC＝30°.∴∠BDC＝90°.∴DF＝BF＝4.∴BD＝＝＝4.∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°.∴∠ABD＝30°.∴AD＝BD＝2.∴AB＝＝＝6.27．解：当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为：a2＋b2＜c2.证明：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.设CD＝x.在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－x2；在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋x)2.∴b2－x2＝c2－(a＋x)2，整理，得a2＋b2＝c2－2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.13
∴a2＋b2＝c2－2ax＜c2.∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.点拨：阅读理解探究题的解题思路：(1)遵循题目范例或给定提示进行理解；(2)联想学习过的相关定义、性质、法则等进行探究分析．本题中，通过作高将钝角三角形转化为直角三角形是解题的关键．13
