第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．2sin30°的值为( )A．B．1C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA等于( )A．B．C．D．3．已知α为锐角，且cosα＝，则α等于( )A．30°B．45°C．60°D．无法确定4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin∠ABC的值为( )A．B．C．D．15．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为( )A．asin26.5° B． C． D．acos26.5°11
6．【教材P15习题T4变式】如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是( )A．200mB．200mC．220mD．100(＋1)m7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为( )A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB的延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为( )A．2B．3C．2＋D．2－9．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB等于( )A．B．C．D．10．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时11
测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )A．(6＋)米B．12米C．(4＋2)米D．10米二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：tan245°－1＝________．12．如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两树的坡面距离AB为m米，则相邻两树的水平距离AC为________米． 13．【教材P6做一做改编】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，则BC的长是________．14．【教材P7习题T4变式】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为________．15．规定：在平面直角坐标系xOy中，若点P的坐标为(a，b)，则向量可以表示为11
＝(a，b)，如果与互相垂直，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，那么x1x2＋y1y2＝0.若与互相垂直，＝(sinα，1)，＝(2，－)，则锐角∠α＝________.16．【教材P21习题T4变式】如图，一轮船在M处观测到灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处，观测到灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至离灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为________海里(结果保留根号)．17．如图，一架长为6m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，若梯子的底端B外移到D处，则梯子顶端A下移到C处，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________m(参考数据：sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)．18．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是__________．三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)sin60°－cos45°＋； (2)＋4cos60°·sin45°－.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．11
21．【教材P21习题T3改编】如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝底BC的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9.求：(1)BC的长；(2)tan∠CDE的值．23．为了承办2022年冬奥会，张家口市加强城市绿化建设．如图，工作人员正在对该市某河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200m，求该河段的宽度(结果保留根号)．11
24．【教材P27复习题T21变式】为了培养学生的动手操作能力，某校积极开展数学实践活动．在一次综合实践活动中，某小组对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度i＝3∶4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算古塔的高度ME(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732)．11
答案一、1．B 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D7．D 8．D 9．B10．A 点拨：如图，延长AC交BF的延长线于点D，过点C作CE⊥BD于点E.由题意得BF＝8米，CF＝4米，∠CFD＝30°. 在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4米，∴CE＝2米，EF＝4cos30°＝2(米)．∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴tanD＝＝＝.∴DE＝2CE＝4米．∴BD＝BF＋EF＋ED＝(12＋2)米．∴AB＝BD＝×(12＋2)＝6＋(米)． 二、11．0 12．mcosα 13．214． 15．60° 16．15 17．1.0218．(8，12) 点拨：如图，过点F作FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA交AF的延长线于点H，∴∠FAE＝90°.∴∠FEA＋∠AFE＝90°.∵FA∥OG，∴∠FGO＝∠HFG.11
∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠AFE＝90°.∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO.∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝.在Rt△AEF中，∵EF＝10，∴AE＝EF·cos∠FEA＝10×＝6.由勾股定理，得AF＝8.∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形．∴AH＝OG.∵OG＝17，∴AH＝17.∴FH＝17－8＝9.在Rt△FGH中，∵＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15.由勾股定理，得HG＝＝12，∴F(8，12)．三、19．解：(1)原式＝×－×＋2＝－1＋2＝；(2)原式＝1＋4××－＝1＋－(2－)＝－1＋＋.20．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∴BC＝AC·tanA＝15×＝5，AB＝2BC＝2×5＝10.21．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∴EF＝AD＝6m，AE＝DF.11
在Rt△CDF中，∵CD＝14m，∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝7m.∴AE＝7m.∵cos∠DCF＝，∴FC＝CD·cos∠DCF＝14×＝7(m)． 在Rt△ABE中，∵∠B＝45°，∴BE＝AE＝7m.∴BC＝BE＋EF＋FC＝7＋6＋7＝13＋7(m)．22．解：(1)在Rt△DEA中，∵DE＝2，sinA＝， ∴AD＝＝＝3.∵DB＝9，∴AB＝BD＋AD＝12.在Rt△ABC中，∵AB＝12，sinA＝，∴BC＝AB·sinA＝12×＝8.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8，∴AC＝＝＝4.在Rt△DEA中，∵DE＝2，AD＝3，∴AE＝＝＝.∴CE＝AC－AE＝3.∴tan∠CDE＝＝.23．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.11
根据题意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，∴＝.∴AD＝(300－100)m.答：该河段的宽度为(300－100)m.24．解：如图，过点D分别作DC⊥EP于点C，作DF⊥ME于点F，过点P作PH⊥DF于点H，则DC＝FE，DH＝CP，HF＝PE.设DC＝3xm，∵tanθ＝，∴CP＝4xm.由勾股定理，得PD2＝DC2＋CP2，即252＝(3x)2＋(4x)2，解得x＝5(负值舍去)．∴DC＝15m，CP＝20m.∴DH＝20m，FE＝15m.设MF＝ym，则ME＝(y＋15)m.在Rt△MDF中，∵tan∠MDF＝，∴DF＝＝ym.11
在Rt△MPE中，∵tan∠MPE＝，∴HF＝PE＝＝(y＋15)m.∵DH＝DF－HF，∴y－(y＋15)＝20，解得y＝7.5＋10.∴ME＝MF＋FE＝7.5＋10＋15≈39.8(m)．答：古塔的高度ME约为39.8m.11
