§2．2．1双曲线的及其标准方程【学情分析】：学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。【教学目标】：知识与技能1、使学生掌握双曲线的定义、标准方程2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；过程与方法1、理解双曲线标准方程的推导过程；2、认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；情感态度与价值观通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的数学问题。【教学重点】：双曲线的定义、标准方程【教学难点】：双曲线标准方程的推导过程【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、椭圆的定义是什么？2、到两个定义距离之差是一个定长的点的轨迹是什么呢？通过复习引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。二．实验1、如图2.2.1,取一条拉链进行实验，让学生观察点M的轨迹。2、问题：点M所满足的几何条件是什么？通过实验引导学生探究，整理实验，归纳抽象成数学问题。三．双曲线的定义的讲解1、投影：双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）常数一般用2表示。（讲解定义时要注意条件：）2、探索思考：若没有该条件所表示的图形会是怎样的？3、讨论：椭圆定义与双曲线定义有什么异同？1、明确双曲线的定义。抓住几个不变：两个定点；一个常数。2、通过对限制条件的探究，加深学生概念的理解。3、在与椭圆的对比中建立有关双曲线的知识结构。四．双曲线标准方程的推导1．提问：我们是如何建立坐标系求椭圆的标准方程的？探索：仿照求椭圆标准方程的方法，求双曲线的标准方程。2.引导学生推导双曲线的标准方程1.充分利用学生学习椭圆的学习经验提高学生学习双曲线的学习效率,3.教师让学生板演双曲线的标准方程的推导过程，得到：4.类比椭圆的标准方程，令得双曲线的标准方程：（）说明：此方程表示的双曲线焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2＋b2.5.问题：椭圆的标准方程有两种，双曲线是否也有两种呢？进一步得到：当焦点在y轴时，（）说明：此方程表示的双曲线焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2＋b2.2．通过反复与椭圆进行类比，既加强与已有知识联系，又找出与旧知识的不同之处，做到“同化”与“顺应”。五．例题1．例1：已经双曲线两个焦点分别为、，双曲线上一点P到、距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。分析：本题为根据双曲线的定义求标准方程解：设双曲线的标准方程为：（），因为，故，所以，因此，双曲线的标准方程为：由学生板演练习：教科书练习2．例2一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B双曲线标准方程的简单应用,两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.又∴2c=800,c=400,b2=c2－a2=44400.∵∴x>0.所求双曲线的方程为：(x>0).思考1：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.思考2：如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？AB的中垂线。3．补充例题：已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC1|＝7＋r,|PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6，内切有|PC1|＝r－7,|PC2|＝r－1，∴|PC2|－|PC1|＝6故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1四、小结1、提问：我们已经学习了双曲线，双曲线是怎样的点的轨迹？2、双曲线的标准方程是怎样的？3、双曲线标准方程中a、b、c之间的关系是什么？你能通过它们求出双曲线的标准方程吗？五、作业教科书习题2.21、2、,练习与测试：1．一动圆P过定点M（－4，0），且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，求动圆圆心P的轨迹。分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|＝|PM|－4，外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P的轨迹是双曲线x2/4－y2/12＝1。2．已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC1|＝7＋r,|PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6，内切有|PC1|＝r－7,|PC2|＝r－1，∴|PC2|－|PC1|＝6故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝13．若，则“”是“方程表示双曲线”的()（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程表示双曲线；当方程表示双曲线时，k=-4是可以的，这不在k>3里．故应该选A．4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是5．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.6．已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是（）A．B．C．D．,答案：C7．“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案：C8．与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2），求双曲线方程解：设双曲线方程为－=1由题意易求c=2又双曲线过点（3，2），∴－=1又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8故所求双曲线的方程为－=1
