2022年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2022•青岛一模）设i为虚数单位，复数等于（ ） A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．1﹣iD．1+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：=．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 2．（5分）（2022•青岛一模）设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={x|y=}，则（ ） A．A⊆BB．A∪B=AC．A∩B=∅D．A∩（∁IB）≠∅【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；集合．【分析】：化简集合A，B，即可得出结论．【解析】：解：由题意，A={y|y=log2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}==1.6．故选B．【点评】：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题． 4．（5分）（2022•青岛一模）“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．即不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，可得数列{an}为等差数列；若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案．【解析】：解：由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{an}为等差数列，反之，若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，故“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件，-16-\n故选C【点评】：本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题． 5．（5分）（2022•青岛一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ ） A．2B．C．D．3【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解析】：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 6．（5分）（2022•青岛一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ） A．﹣=1B．﹣=1 C．﹣=1D．﹣=1-16-\n【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知得，由此能求出双曲线方程．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．故选：A．【点评】：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用． 7．（5分）（2022•青岛一模）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【考点】：平面与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．【解析】：解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故C正确．故选C．-16-\n【点评】：正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键． 8．（5分）（2022•青岛一模）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（ ） A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．【解析】：解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题． 9．（5分）（2022•青岛一模）对于函数y=sin（2x﹣），下列说法正确的是（ ） A．函数图象关于点（，0）对称 B．函数图象关于直线x=对称 C．将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图象 D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x﹣）的图象【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．-16-\n【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：A，将x=代入可得y≠0，故不正确；B，将x=代入可得：y=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，求出平移后的函数解析式即可判断．D，求出平移后的函数解析式即可判断．【解析】：解：A，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=1，故不正确；B，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，将它的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin（2x+）的图象，故不正确；D，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数y=sin（4x﹣）的图象，故不正确．故选：B．【点评】：本题考查正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于中档题． 10．（5分）（2022•青岛一模）已知点G是△ABC的外心，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则||的最大值为（ ） A．B．C．2D．3【考点】：向量的加法及其几何意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据题意，得出：①G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且斜边BC=2；②点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；③OA经过BC的中点G时，||取得最大值为2||．【解析】：解：∵点G是△ABC的外心，且2++=，∴点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角；又∵是三个单位向量，-16-\n∴BC=2；又∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，∴点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；又∵||=1，∴OA经过BC的中点G时，||取得最大值，最大值为2||=2．故选：C．【点评】：本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题，是基础题目． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2022•青岛一模）已知函数f（x）=tanx+sinx+2022，若f（m）=2，则f（﹣m）= 4028 ．【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解．【解析】：解：∵函数f（x）=tanx+sinx+2022，∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+2022，∵f（﹣x）+f（x）=4030，∴f（m）+f（﹣m）=4030，∵f（m）=2，∴f（﹣m）=4028．故答案为：4028．【点评】：本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大． 12．（5分）（2022•青岛一模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 132 ；【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1-16-\n满足条件i≥11，s=12，i=11满足条件i≥11，s=132，i=10不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．故答案为：132．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 13．（5分）（2022•青岛一模）设a=∫12（3x2﹣2x）dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的第6项的系数为 ﹣24 ．【考点】：定积分；二项式系数的性质．【专题】：导数的概念及应用；二项式定理．【分析】：先根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式展开式的通项公式求出第6项的系数．【解析】：解：a=∫12（3x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）|=4，∴（ax2﹣）6=（4x2﹣）6，∵Tk+1=，∴T6=T5+1=﹣•4x﹣3，=﹣24x﹣3，∴展开式中的第6项的系数为﹣24，故答案为：﹣24．【点评】：本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式，属于与基础题． 14．（5分）（2022•青岛一模）若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是 （﹣4，2） ．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．【解析】：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率-16-\n即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键． 15．（5分）（2022•青岛一模）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是 ②④ ．【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：压轴题；新定义．【分析】：根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解析】：解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．-16-\n满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】：此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2022•青岛一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）∵，∴，∴a2﹣b2=ac﹣c2，∴，∵B∈（0，π），∴．（Ⅱ）由b=3，，，得a=2，由a＜b得A＜B，从而，故，∴△ABC的面积为．【点评】：本题考查了正弦定理与余弦定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（12分）（2022•青岛一模）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：-16-\n学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率．（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：…（4分）所以…（6分）（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，…（10分）所以ξ的分布列为0123P所以…（12分）【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用． -16-\n18．（12分）（2022•青岛一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA1=3，BC=1，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，四边形ADD1A1为平行四边形，从而B1D∥E1G，由此能证明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD1的一个法向量和平面CDD1C1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结A1D交AD1于G，因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，从而B1D∥E1G…（4分）又因为B1D⊄平面AD1E1，E1G⊂平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．…（5分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，AD⊂面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，又∠BAD=90°，所以AB，AD，AA1两两垂直．…（6分）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB=t，则A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，3，0），C1（t，1，3），D1（0，3，3）．从而，．因为AC⊥BD，所以，解得．…（8分）所以，．设是平面ACD1的一个法向量，-16-\n则即令x1=1，则．…（9分）又，．设是平面CDD1C1的一个法向量，则即令x2=1，则．…（10分）∴，∴平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．…（12分）【点评】：本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想． 19．（12分）（2022•青岛一模）已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=（﹣1）n，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】：数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．-16-\n【分析】：（1）由题意和等差数列的前n项和公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出an，再化简b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2，可得当n≥2时b1•b2•b3…bn﹣1=2n﹣1，将两个式子相除求出bn；（2）由（1）化简cn=（﹣1）n，再对n分奇数和偶数讨论，分别利用裂项相消法求出Tn，最后要用分段函数的形式表示出来．【解析】：解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则a10=a1+9d=19，，解得a1=1，d=2，所以an=2n﹣1…（3分）所以b1•b2•b3…bn﹣1•bn=2n+1…①当n=1时，b1=3，当n≥2时，b1•b2•b3…bn﹣1=2n﹣1…②①②两式相除得因为当n=1时，b1=3适合上式，所以…（6分）（Ⅱ）由已知，得则Tn=c1+c2+c3+…+cn=…（7分）当n为偶数时，==…（9分）当n为奇数时，==…（11分）综上：…（12分）-16-\n【点评】：本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及分类讨论思想，考查化简、计算能力，属于中档题． 20．（13分）（2022•青岛一模）已知椭圆C：+y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O为坐标原点）．（Ⅰ）证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：方程思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由直线l与圆O相切，得圆心到直线l的距离d=r，再由直线l与椭圆C相交，得出E、F点的坐标关系，从而证明OE⊥OF；（Ⅱ）根据直线l与圆O相切于点W，以及OE⊥OF，得出λ=的坐标表示，求出λ的取值范围．【解析】：解：（Ⅰ）因为直线l与圆O相切，所以圆x2+y2=的圆心到直线l的距离d==，∴；…（2分）由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0；设E（x1，y1），F（x2，y2），则，；…（4分）所以所以OE⊥OF；…（6分）（Ⅱ）∵直线l与圆O相切于W，，-16-\n∴；…（8分）由（Ⅰ）知x1x2+y1y2=0，∴x1x2=﹣y1y2，即；从而，即，∴；…（12分）因为﹣≤x1≤，所以λ∈．…（13分）【点评】：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了直线与圆相切的应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目． 21．（14分）（2022•青岛一模）已知函数f（x）=x2+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1），h（x）=f（x）+g'（x）．（Ⅰ）若函数g（x）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）若h（x）在上单调递减，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对于∀t∈，总存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2满f（xi）=g（t）（i=1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出g（x）的定义域和导数，求得切线的斜率和切点，写出切线方程，联立f（x），消去y，运用判别式为0，即可得到k；（Ⅱ）求出h（x）的导数，h（x）在上单调递减，则h'（x）≤0对x∈恒成立，运用导数求出h'（x）在的最大值，解不等式即可得到k的范围；（Ⅲ）分别求出g（t）在t∈的值域A和f（x）在x∈（﹣1，4）的值域B，由题意可得A包含于B，得到不等式组，解出即可得到k的范围．【解析】：解：（Ⅰ）函数g（x）的定义域为（﹣1，+∞），g'（x）=ln（x+1）+1，则g（0）=0，g'（0）=1，∴切线l：y=x，-16-\n由，∵l与函数f（x）的图象相切，∴；（Ⅱ），导数，令，对x∈恒成立，则在递增，即h'（x）在上为增函数，∴，∵h（x）在上单调递减，∴h'（x）≤0对x∈恒成立，即，∴；（Ⅲ）当时，g'（x）=ln（x+1）+1＞0，∴g（x）=（x+1）ln（x+1）在区间上为增函数，∴时，，∵的对称轴为x=﹣k，∴为满足题意，必须﹣1＜﹣k＜4，此时，f（x）的值恒小于f（﹣1）和f（4）中最大的一个，∵对于，总存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2满足f（xi）=g（t）（i=1，2），∴，∴，∴．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，同时考查任意存在问题注意转化为函数的值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．-16-
