教学基本信息课题变量与函数学科数学学段：初中年级初二教材书名：数学（八年级下）出版社：人民教育出版社出版日期：2018年1月教学目标及教学重点、难点教学目标：1.结合实例，理解变量与常量的概念，理解函数的概念.2.能在具体情境中找出变量，并会判断两个变量间是否存在函数关系.3.探索实际问题中的变化规律，经历“找出变量，建立函数模型表示变量之间的单值对应关系，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.4.在利用函数刻画实际问题中变化规律的过程中，渗透运动变化与联系对应的思想，体会数学建模的思想，领略数学知识背后的人文素养.教学重点：函数的概念.教学难点：理解函数概念的本质.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们好，我是北京师范大学亚太实验学校的白月欣老师.通过寓言故事引入新课，换个视角研究问题10
在语文课本中，我们读过刻舟求剑的故事，这个故事启发我们要从运动变化的角度看待世界.那么用数学的视角怎么解读这个故事呢？带着这个问题，我将和同学们一起开启变量数学的第一课：变量与函数.知识概要产生变量数学的原因是我们处在一个万物皆变的世界，行星在宇宙中的位置随着时间而变化，气温随着海拔而变化等；在数学中，也存在很多变化的过程，几何方面比如圆的面积随着半径变化等；代数方面，比如代数式的值随着x而变化等.在这些变化过程中，有些量发生变化，有些量不发生变化，为了研究这些变化的量之间的依赖关系，数学中逐渐形成了函数概念.在以后的学习中我们还会探究函数的不同表示方法以及包括一次函数在内的特殊函数关系.了解产生函数的原因，为什么学习函数，本节课处于一个什么地位.关键内容1.变量与常量概念的理解；2.函数概念的理解.了解这节课的重点.概念理解我们如何理解这些概念呢？再来回看一下刻舟求剑的故事回看刻舟求剑的故事：战国时，楚国有个人坐船渡江.船到江心，不慎把宝剑落入水中，马上掏出一把小刀，在船舷上刻上个记号.船靠岸后，那楚人立即在船上刻有记号的地方下水，去捞取掉落的宝剑.楚人捞了半天，始终不见宝剑的影子.故事中涉及了哪些量？哪些量是发生变化的？哪些量是没有变的？继续分析这个故事，为了方便计算，我们假设船是顺流而行，并且匀速运动，速度为80m/min，水流速度为10m/min，设船行驶的路程为通过大量实例让学生经历计算与分析过程，通过分析不同形式下的关系，自然生成函数的概念.10
Sm，行驶时间为tmin.此时变化的量和没有发生变化的量有哪些？他们之间有什么关联？变化的量：船行驶的路程和时间；没有变化的量：水流速度和船的速度经过分析，可以得出：，即当行驶时间分别为1min，2min，3min，4min，5min时，楚国人掉落的宝剑距离他有多远？为了更好的表示，我们用一个表格求值.在以上计算中，我们感受到S和t之间的一种数值对应关系.为了更深的体会这一点，我们再来看几个例子.同学们在分析以下几个题目时可以按暂停，自己做完再看看跟老师的答案一样吗？并且在填写的过程中，思考三个问题：这个变化过程中，有哪些量？这些量有什么特征？它们之间有什么关系？例1电影《攀登者》，我们假设票价为40元/张.第一场售出150张，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元.x/张150205310y/元来看看你求对了吗？电影《攀登者》的票房可观，是因为攀登珠峰的画面感动着我们。那么为什么攀登珠峰会这么困难？我们来看下面这个例子.例2珠穆朗玛峰北部在我国西藏定日县境内，适宜在5月份攀登.为了便于计算，我们假设当地平均海拔5km，5月份平均最低温度为℃，下表表示了温度随海拔而变化的情况.补充完整。海拔h/km45678…感受表格中的数学规律，体会背后坚毅的品格的人文价值10
温度t/℃1…根据表格中的数据我们可以得出结论：海拔每上升1千米，温度就下降6℃，因此计算出海拔8千米时的温度是-23℃.可以看出攀登珠峰时会遇到的困难之一是温度比较低.我们继续往下看.例3一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到，作为热力学温度的零度，热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，.t取定一些值时，T为多少？填写下表：t/℃0317T/K我们要关注到这个例子中有一个表达式，表格中的数值都可以根据这个表达式求出.例4摩天轮转动时，坐在座位上的人离开的高度是怎么变化的？下图反映了摩天轮上一点的高度h/m与旋转时间t/min之间的关系.根据图形，填写下表：t/min012345…h/m…这个例子中我们要关注到图象的特征，根据图象给出的信息填表时可以用在图象上画竖线的方法准确地找到h的值.【归纳1】这些问题反映了不同事物的变化过程.其中有些量的数值是变化的，例如时间t，路程s；售出票数x，票房收入y解析式中体会函数概念图象中体会函数的概念10
……有些量的数值是始终不变的，例如速度80m/min，票价40元/张……在一个变化过程中：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.【归纳2】思考：（1）在上述每个变化过程中，变量是什么？（2）在每个变化过程中，是哪一个量随另一个量的变化而变化的？（3）当一个变量取某个确定值时，另一个变量的值如何？如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.在刻舟求剑这个故事中，路程和时间是变量，速度是常量，路程随着时间的变化而变化；当时间t取某个确定的值时，路程的值能算出来，并且只能算出来一个值.第2个变化过程：售票多少张与票房收入是变量，每张票的单价是常量，票房收入随着票房售卖的票数而变化，当x取某个确定的值时，y的值能算出来，并且只能算出一个.第3个变化过程，海拔和温度是变量，海拔随着温度的变化而变化，当x取某个确定的值时，y的值能算出来，并且只能算出一个.第4个变化过程：t和T是变量，27是常量，当t取某个确定的值时，T的值能算出来，并且只能算出一个.第5个变化过程：高度h和时间t是变量，当t取某个确定的值时，h的值能算出来，并且只能算出一个.一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.在填表格的过程中，我们发现自变量取定一个值时，函数对应也能取到一个值，那么可以得出：如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.比如在电影票售票这个例子中，x=150时，y=6000，则6000叫做自变量x的值为150时的函数值.经过实例的分析对比，生成函数的概念10
情境两个变量自变量谁是谁的函数刻舟求剑船行驶时间和路程时间路程是时间的函数票房问题票的数量和票房收入票的数量票房收入是票的数量的函数海拔与温度变化海拔和温度海拔温度是海拔的函数热力学温度T与摄氏温度t关系T与ttT是t的函数摩天轮问题高度和时间时间高度是时间的函数巩固应用同学们，从你身边熟悉的实例中，寻找一个变化过程，分析一下存在的函数关系，加深你对函数的理解.可以按下暂停想一想。老师这里也准备了几个实例，我们一起来看一下.1.你见过水中涟漪吗？如右图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时,圆的面积S分别为多少？这个变化过程中存在函数关系吗？为什么？（1）这个变化过程中，变量是圆的面积S和半径r，（2）在这个变化过程中，圆的面积S随着圆的半径r的变化而变化（3）通过填表，可以得出当r取某个确定的值时，S都有唯一确定的值与其对应.所以可称r是自变量，S是r的函数.2.在计算器上按下面的程序操作：这个变化过程中存在函数关系吗？通过几个实例巩固对函数的概念的理解10
x130101y（1）这个变化过程中，变量是输入的数x和显示的计算结果y，（2）在这个变化过程中，y随着x的变化而变化（3）通过填表，可以得出当x取某个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应.所以可称x是自变量，y是x的函数.3.下面的我国人口数统计表中，年份与人口数的对应关系，分析这个变化过程中,存在函数关系吗？为什么？年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71这个变化过程中，变量是年份和人口数；人口数随着年份的变化而变化；观察表格可得出：当年份取某个确定的值时，人口数都有唯一确定的值与其对应，所以可称年份是自变量，人口数是年份的函数。下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标表示时间t，纵坐标表示心脏部位的生物电流y，在这个变化过程中存在函数关系吗？10
这个变化过程中，变量是时间t和生物电流y；生物电流y随着时间t的变化而变化；观察图象可得出：当t取某个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以可称t是自变量，y是t的函数.通过以上分析，我们发现现实世界中存在很多函数关系，我们判断的方法是通过分析两个变量间的数值对应关系来确定，那么在数学数式中又是怎样的呢？5.下列式子中的y是x的函数吗？为什么？（1）（2）（3）（4）同样，我们可以用x与y之间的数值对应关系来分析.通过计算可得出：四个式子中当x取某个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以上述式子中y是x的函数.我们重点看一下第4个，从表格中观察到，x=时，y=4，x=2时，y=4；圈画的数据中还有这种特征的：x取不同的值，y值可求出相同的值.值得注意的是，y值虽然相同，但是也是与x的值唯一对应的，所以x是自变量时，y仍然是x的函数.从图象角度再加深一下理解.6.下列各图象中哪些表示y是x的函数？为什么？（1）（2）表格中不规律的函数关系，加深对函数概念的理解图象中不规律的函数关系，加深对函数概念的理解10
(3)（4）通过画竖线的方法，我们发现前三个图中，每个确定的x的值，y都有唯一确定的值与其对应。因此这些图象中y是x的函数.在第4副图中，黄竖线左边以及白竖线右边是符合这种对应关系的，但是，黄竖线和白竖线之间以及边界部分，每个确定的x的值，y有两个或者三个值与之对应，不符合函数的概念.那我们来思考：第（4）副图如果我们把y当做自变量，你能得出什么结论？可以得出，如果把y看成自变量，每个确定的y的值，x对比巩固加深对函数概念的理解10
都有唯一确定的值与其对应，所以我们可以称x是y的函数.这个题目给我们的启发是在确定变量间是否存在函数关系时需要先确定哪个变量是自变量.总结在这节课中，我们看到函数是研究变化过程中变量间的某种对应关系.我们需要通过大量具体实例来理解函数的概念这个比较抽象的知识.理解函数的概念时需要关注三个关键点：有两个变量，在变量中确定好自变量，对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与其对应.这种对应关系确定的方法可以通过观察一些表达式，表格或者图象中两个变量所取数值间的对应关系.函数作为刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，它是怎么发展起来的呢？介绍函数发展简史.对函数的认识的提升作业1.从身边熟悉的情境中，找出存在的函数关系，并解释原因.2.查阅函数相关资料，了解函数史的发展过程.将函数的学习外延，延展课下探究的兴趣.10
