教学基本信息课题函数图象的表示方法学科数学学段：第三学段年级八年级教材书名：数学出版社：人民教育出版社出版日期：2013年9月教学目标及教学重点、难点本课程以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，复习函数的三种表示方法，结合图象数形结合的分析简单的函数关系.提高观察数据的能力以及由所学函数知识推测事物变化趋势的能力.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入各位同学大家好，在前面的学习中，我们对函数及其图象进行了探究.比如在这个例子中，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数，这三种表示函数的方法，分别被称为列表法、解析式法和图象法.那么你认为这三种表示函数的方法各有什么优点呢？复习函数的三种表示方法，激发学生思考不同表示方法的优点，引入课题新课首先看看列表法，列表法直接给出部分自变量和函数的对应值，这会给某些特定的数值带来一目了然的效果，比如我国人口数统计表，就可以通过年份直接读出对应的人口数.解析式法的核心是数量关系。用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，称为解析式.解析式法也是描述函数的常用方法，它能明显地表示出对应规律，从数量关系的角度明确自变量与函数的对应变化，一些常用公式即以这样的形式呈现:比如圆的面积公式：s=πr².帮助学生梳理三种表示方法的优点，引导学生尝试用不同的表示方法表示函数.5
而在图象法中，通过列表、描点、连线的一般步骤，可以画出很多函数的图象.图象法直观地表示了变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.比如自动测温仪记录的气温变化图.虽然我们无法写出气温随时间变化的函数解析式，但可以通过一一对应的图象关系直观的表达出气温随时间变化的趋势，还能通过函数图象发现一些特殊的值，比如当天的最高温度和最低温度.综上，这三种方法各有长处，而表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法.有时候，为了更全面地认识问题，可能需要同时使用几种方法。这节课，我们就将通过一些简单的实际问题，体验函数不同表示方法的作用，帮助大家提高运用函数知识的能力.例题例1:一个水库的水位在最近5小时内持续上涨，表中记录了这5小时内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.这个问题是以表格形式向我们呈现的时间t和水位高度y之间的关系，这就是我们前面说到的列表法。列表法可以表示出部分对应值，但在发现规律和趋势方面就不够直观了。这两个变量之间的关系是不是还可以用别的方法来表示呢？t/h012345y/m33.33.63.94.24.5(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？(2)水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.(3)据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为多少米.分析：(1)通过表格中的数据建立平面直角坐标系，描点发现规律：在这个时间段中，水位可能是始终以同一速度均匀上升的，每小时都上升0.3米。通过5
(2)借助图象法可以找到符合题意的解析式：(3)代入t=7可求出对应函数值从而成功预测未知函数值，解决实际问题，同时在图象中进行拓展.练习：食用油沸点的温度远高于水的沸点温度.小明为了用量程不超过100℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间t/s010203040油温y/℃1030507090后来，小明还观察到，烧了110秒时，油沸腾了。你能借助函数的表示方法，估计这种油沸点的温度是多少吗？例2：“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度.（不考虑水量变化对压力的影响）甲乙实际问题，引导学生用列表法、图象法表示函数引导学生将发现的规律转化为解析式，为后续学习一次函数做好铺垫引导学生体验解析式法的优势，并感受解析式法和图象法的相互转化.5
分析：在横轴上取间隔相等的坐标，通过找到这些点对应的纵坐标进行对比：甲图纵坐标的下降高度是相同的，即匀速下降；而乙图纵坐标的下降高度显然是不相同的，先快后慢.单位时间水面高度的降低量应该是固定的，所以在相同的时间间隔中，水面高度应均匀下降。所以甲图更适合表示y与x的对应关系.练习：匀速的向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示.这个容器的形状是右图中的哪一个？本题旨在彰显图象法的独到优势，帮助学习分析解决无数据情况下的图象问题，并在分析图象的过程中提供解决方案：比较相同时间间隔的纵坐标的变化量.通过例题2，加深学生对函数值均匀变化对应图象呈直线型的理解和认识，为后续分析图象打下基础在例题所学基础上进行提高和拓展，引导学生建立函数值变化速率和图象倾斜程度之间的联系.总结（1）函数有哪几种表示方法？这些表示方法分别有哪些优势和不足？对于一些实际问题，可以用多种方法表示两个变量的对应函数关系，他们分别被称为列表法、解析式法和图象法。这三种方式各有自己的特点和长处，列表法直接给出部分自变量和对应的函数值，解析式法则明显表示出了变量间对应数量关系，图象法最直观，既能帮助我们发现变化规律，也便于我们表示变化趋势，甚至对未知的函数值进行预测。对课堂内容进行总结和梳理，引导学生再次对比不同表示方法的优点,体验三种方法之间的相互转化.引导学生运用多种方法来表示函数，从而灵活解决问题.5
（2）这些方法之间可以互相转化吗？当我们无法直接得到函数解析式时，可以通过哪些步骤的研究，把握变化规律，预测变化趋势？这三种方法是可以互相转化的.在前面的例子中，我们根据列表法中所给的具体函数值可以绘制出图象；而通过分析图象发现规律也能找到适合函数关系的解析式；对于没有具体数据的函数，如果有解析式就可以通过代入具体的自变量求出对应的函数值。希望在后续的学习中，同学们能在对比中加深体验，灵活使用适当的方法，认识和了解更多的函数。作业作业1：一条小船沿直线向码头匀速前进，在0min，2min，4min，6min时，测得小船与码头的距离分别为200m，150m，100m，50m.小船与码头的距离s是时间t的函数吗？如果是，写出函数解析式，并画出函数图象.如果船速不变，多长时间后小船到达码头？作业2：通过这节课的学习，你对函数的三种表示方法有什么新的认识和了解呢？找一找，生活中你有没有见过这些表示方法呢？它们都是怎样发挥自己的特长的？请写下你的感受.巩固所学，探索并分析简单实际问题中的函数关系，检验学生运用三种表示方法的能力，提高学生分析数据、发现规律能力5
