本章复习提升易混易错练易错点1 忽视对底数的讨论致错1.(★★☆)若loga23<1,则实数a的取值范围是 . 2.(★★☆)若函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 . 3.(2020湖南长沙一中月考,★★☆)设函数f(x)=kx2+2x(k为常数)为奇函数,函数g(x)=af(x)-1(a>0,a≠1).(1)求实数k的值;(2)求g(x)在[-1,2]上的最大值.易错点2 忽视转化的等价性致错4.(★★★)已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0时,求函数f(x)的值域.易错点3 忽视对数运算公式中的限定条件致错5.(★★☆)计算:5log25(1-3)2+3log9(1+3)2= . 6.(★★☆)设lga+lgb=2lg(a-2b),则log4ab= . 7.(★★☆)已知loga(3a-1)恒为正,则实数a的取值范围为 . 易错点4 画图不准确致错8.(★★★)已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )12
A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)9.(★★☆)当0<x≤14时,x<logax,则实数a的取值范围为 . 易错点5 忽视定义域与值域致错10.(2020河北唐山一中高一期中,★★☆)若函数f(x)=log12(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围为( )A.(-∞,4]B.(-4,4]C.[-4,4)D.[-4,4]11.(★★☆)已知函数y=f(x),x,y满足lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),求函数y=f(x)的关系式、定义域及值域.易错点6 数学建模不当或运算求解失误12.(★★☆)某工厂生产一种溶液,按市场要求其杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)( )A.10B.9C.8D.713.(★★☆)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:kg)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100kg.(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?12
思想方法练一、函数与方程思想在解决函数问题中的运用1.(★★☆)函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为a2,b2,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则实数t的取值范围为( )A.(0,1)B.(0,1]C.-∞,18D.0,182.(2020湖南长沙长郡中学高一上第一次模块检测,★★☆)已知函数f(x)=a+14x-1是奇函数,则a的值为 . 二、数形结合思想在解决函数问题中的运用3.(★★☆)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.34.(2020安徽黄山高一上期末,★★☆)形如y=b|x|-c(c>0,b>0)的函数因其函数图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其称为“囧函数”.若函数f(x)=ax2+x+1(a>0且a≠1)有最小值,则当c=1,b=1时的“囧函数”与函数y=loga|x|的图像的交点个数为( )A.1B.2C.4D.65.(★★☆)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f13=0,则不等式f(log18x)>0的解集为 . 6.(★★☆)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 . 三、转化与化归思想在解决函数问题中的运用7.(★★☆)若10|lgx|-a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是( )12
A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥18.(2020山东菏泽高一上期末,★★★)设函数f(x)=1ex+aex(a为常数),若对任意x∈R,f(x)≥3恒成立,则实数a的取值范围是 . 9.(★★☆)求y=log12(3+2x-x2)的值域.四、分类讨论思想在解决函数问题中的运用10.(★★☆)设a>0且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P,Q的大小.11.(★★☆)已知函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值为14,求实数a的值.12
答案全解全析易混易错练1.答案 0,23∪(1,+∞)解析 由loga23<1得loga23<logaa.当a>1时,有a>23,即a>1;当0<a<1时,有a<23,即0<a<23.综上,实数a的取值范围是0,23∪(1,+∞).2.答案 12解析 当a>1时,y=ax与y=loga(x+1)在[0,1]上都是增函数,∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上是增函数,∴f(x)max=f(1)=a+loga2,f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,∴a+loga2+1=a,∴loga2=-1=loga1a,解得a=12(舍去);当0<a<1时,y=ax与y=loga(x+1)在[0,1]上都是减函数,∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=f(1)=a+loga2,∴a+loga2+1=a,∴loga2=-1=loga1a,解得a=12.综上所述,a=12.3.解析 (1)由题意得f(-x)=-f(x),即kx2-2x=-kx2-2x,∴k=0.(2)由(1)知f(x)=2x,∴g(x)=a2x-1=(a2)x-1.①当a2>1,即a>1时,g(x)在[-1,2]上单调递增,故g(x)在[-1,2]上的最大值为g(2)=a4-1;②当a2<1,即0<a<1时,g(x)在[-1,2]上单调递减,故g(x)在[-1,2]上的最大值为g(-1)=1a212
-1.易错警示 此类问题求解时容易出错的地方是忽略了对指数函数底数的讨论,误认为指数函数是增(或减)函数,盲目地求出结果.求解时若底数是参数,则要注意对底数进行分类讨论.4.解析 令t=ax(t>0),则y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,∵x≥0,∴t≥1,∴y≥2;当0<a<1时,∵x≥0,∴0<t≤1,又g(0)=-1,g(1)=2,∴-1<y≤2.综上,当a>1时,函数f(x)的值域是[2,+∞);当0<a<1时,函数f(x)的值域是(-1,2].易错警示 使用换元法时应注意其等价性,如本题令t=ax,则t的取值范围必须是ax的范围.5.答案 23解析 原式=25log25(3-1)+9log9(1+3)=3-1+1+3=23.易错警示 对数的底数要大于0且不等于1,真数要大于0,这是求解对数问题必须要注意的条件.6.答案 1解析 依题意,得a>0,b>0,a-2b>0,原式可化为ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,则ab2-5×ab+4=0,∴ab=4或ab=1.∵a-2b>0,∴ab>2,∴ab=4,∴log4ab=1.7.答案 13,23∪(1,+∞)解析 由题意知loga(3a-1)>0=loga1.当a>1时,y=logax在定义域上是增函数,∴3a-1>1,解得a>23,∴a>1;当0<a<1时,y=logax在定义域上是减函数,∴3a-1<1,3a-1>0,解得13<a<23,∴13<a<23.12
综上,实数a的取值范围是13,23∪(1,+∞).8.D 作出函数y=f(x)的图像与直线y=a如图所示,因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,所以实数a的取值范围为0<a<1,故选D.9.答案 116,1解析 若x<logax在x∈0,14上成立,则0<a<1,且y=x的图像在y=logax图像的下方,如图所示,由图像知14<loga14,∴0<a<1,a12>14,解得116<a<1,即实数a的取值范围是116,1.易错警示 数形结合是数学问题求解过程中常用的思想方法之一,只有数与形的灵活结合才会起到事半功倍的效果.因此准确地作出函数图像尤为重要.10.D 设u=x2-ax+3a,则函数f(x)由y=log12u,u=x2-ax+3a复合而成,因为y=log12u是减函数,所以u=x2-ax+3a在(2,+∞)上单调递增,从而a2≤2,解得a≤4.又当x∈(2,+∞)时,u=x2-ax+3a>0,所以当x=2时,u=4-2a+3a≥0,解得a≥-4,所以-4≤a≤4.故选D.11.解析 因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),所以3x>0,3-x>0,lgy>0,解得0<x<3,y>1.又lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)=lg[3x(3-x)],所以lgy=3x(3-x),所以y=103x(3-x).12
又3x(3-x)=-3x-322+274,0<x<3,所以0<3x(3-x)≤274,所以y∈(1,10274],所以函数关系式为y=f(x)=103x(3-x),定义域为(0,3),值域为(1,10274].12.C 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×1-13n≤11000,即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4,所以最少过滤8次,故选C.13.解析 (1)设日销售量q=kex(25≤x≤40,k为常数),则ke30=100,∴k=100e30,∴日销售量q=100e30ex(25≤x≤40),∴y=100e30(x-20-t)ex(25≤x≤40).(2)当t=5时,y=100e30(x-25)ex,令y=100e4,则x-25=ex-26,画出函数y=x-25与y=ex-26的图像如图所示,由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26,∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元.易错警示 准确建模和正确运算是解答函数应用题的两大前提条件,二者缺一不可.解答问题时,首先根据已有条件确定出正确的函数模型,再根据此模型经过正确计算才能得到正确的结论.思想方法练12
1.D 显然f(x)是定义域上的增函数,若f(x)是“减半函数”,则f(a)=a2,f(b)=b2,即f(x)=x2有两个不等实根.通过函数特点将函数问题转化为对应方程根的问题,体现了函数与方程的思想.∴logc(2cx+t)=x2,∴2cx+t=cx2.令cx2=u,则u>0,则2u2-u+t=0.依题意知上述方程有两个不等正根,∴Δ=1-4×2×t>0,t2>0,解得0<t<18,故选D.2.答案 12解析 f(x)的定义域为{x|x≠0}.由f(x)是奇函数知,任取x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)+f(x)=0.根据函数的奇偶性列出关于a的方程,体现了方程的思想.即a+14-x-1+a+14x-1=0,所以a+4x1-4x+a+14x-1=0,即2a+4x-11-4x=0,即2a-1=0,解得a=12.故a的值为12.思想方法 函数与方程思想是数学中重要思想方法之一,函数与方程思想中体现了转化与化归的方法.方程的解可以看作两个函数图像交点的横坐标,解的个数是两个函数图像交点的个数.3.B 令f(x)=0,即2x+x3-2=0,则2x-2=-x3.在同一平面直角坐标系中画出y=2x-2和y=-x3的图像(如图所示).通过研究两函数图像的交点个数从而判断零点个数.由图可知两图像在区间(0,1)内只有一个交点,∴函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内只有一个零点,故选B.12
4.C ∵f(x)=ax2+x+1=a(x+12)2+34,且f(x)有最小值,∴a>1.在同一平面直角坐标系中作出函数y=1|x|-1与y=loga|x|的大致图像,如图所示.直接作出两函数图像判断交点个数.由图像知,当c=1,b=1时的“囧函数”与函数y=loga|x|的图像有4个交点,故选C.5.答案 0,12∪(2,+∞)解析 ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)的图像关于y轴对称.由f13=0,得f-13=0.∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0]上为减函数.由f(x)的性质可作出f(x)的图像,通过观察图像直接得出不等式的解集.作出函数f(x)的大致图像如图所示.由图可知,当f(log18x)>0时,log18x<-13或log18x>13,解得x>2或0<x<12,∴不等式f(log18x)>0的解集为0,12∪(2,+∞).6.答案 x1<x2<x3解析 令f(x)=x+2x=0,得2x=-x.令g(x)=x+lnx=0,得lnx=-x.在同一平面直角坐标系内画出y=2x,y=lnx,y=-x的图像,如图所示,通过观察图像交点横坐标判断x1、x2的大小.由图可知x1<0<x2<1.12
令h(x)=x-x-1=0,则(x)2-x-1=0,解得x=1+52(负值舍去),所以x3=1+522>1.所以x1<x2<x3.思想方法 有些函数问题直接求解难度很大或根本无法求解,此时若能根据题目的特点,作出合适的函数图像,借助于图像求解问题,往往会起到事半功倍的效果.7.B 若10|lgx|-a=0有两个实数根,即10|lgx|=a有两个实数根,则函数y=10|lgx|与y=a的图像有两个不同的交点.将方程有两个实数根转化为其对应的两个函数的图像有两个交点.当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0<x<1时,y=10|lgx|=10-lgx=1x.所以y=10|lgx|=x,x≥1,1x,0<x<1.作出y=10|lgx|和y=a的图像如图所示,由图得a>1.8.答案 94,+∞解析 f(x)≥3⇔1ex+aex≥3⇔a≥3ex-1(ex)2.令t=1ex,则t>0,则a≥3t-t2.将不等式问题转化为函数最值问题.设g(t)=-t2+3t=-t-322+94,则当t=32时,g(t)max=94,又不等式a≥3t-t2恒成立,∴a≥94,故实数a的取值范围是94,+∞.9.解析 设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4,则u≤4.因为u>0,所以0<u≤4.又y=log12u在(0,4]上为减函数,12
所以log12u≥log124=-2.将值域问题转化为解不等式问题.所以y=log12(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).思想方法 数学问题求解的过程就是一步一步转化与化归的过程,求解的过程是由难化易,由未知到已知的过程.10.解析 当0<a<1时,有a3<a2,则a3+1<a2+1,又y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.底数a的值不确定,可分a>0和0<a<1两种情况讨论.当a>1时,有a3>a2,则a3+1>a2+1,又y=logax在(0,+∞)上单调递增,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.综上可得,P>Q.11.解析 令t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.对t=ax分a>1和0<a<1讨论.当a>1时,∵x∈[-1,1],∴t∈1a,a,∴当t=a,即x=1时,函数取得最大值,即a2+2a-1=14,解得a=3(a=-5舍去).当0<a<1时,∵x∈[-1,1],∴t∈a,1a,∴当t=1a,即x=-1时,函数取得最大值,即a-2+2a-1-1=14,解得a=13a=-15舍去.综上所述,a=3或a=13.思想方法 分类讨论能使问题化整为零,从而起到化繁为简的目的.如对于函数y=ax,y=logax(a>0且a≠1),我们常分a>1,0<a<1两种情况讨论.不同问题分类标准不同,应根据具体题目确定具体的分类变量及分类标准.12
