等比数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于( )A． B． C． D．πC [由题意可知a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝，故选C．]2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )A．B．C．D．D [由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D．]3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…．此数列是( )A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列B [由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2C [法一：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝aq2n－2＝22n．又an>0，所以(a1qn－1)2＝(2n)2，所以a1qn－1＝2n．log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(aq0＋2＋…＋2n－2)＝log2[aqn(n－1)]＝log2(a1qn－1)n＝log2(2n)n＝n2．法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an>0，所以an＝2n．利用特殊值法，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4．只有选项C符合．法三：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an>0，所以an＝2n．5
于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2．]5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )A．4B．6C．7D．5D [∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50，又{an}各项为正，故a4a5a6＝5．]二、填空题6．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________．6 [由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2a8＝6．]7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝_____．1 [设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4．∴q4＝，q2＝，∴a3＝a1q2＝2×＝1．]8．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________．－2 [由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a，即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，化简得2a1d＋20d2＝0，由a1＝20，d≠0，得d＝－2．]三、解答题9．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an．[解] 法一：因为a1a3＝a，a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2．从而解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1．当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝．故an＝2n－1或an＝23－n．法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2．代入已知，得即即5
将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝．由②得或故an＝2n－1或an＝23－n．10．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．[解] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d，2，2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8．②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)．此时三个数为8，2，－4．③若2为等比中项，则22＝(2＋d)(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8或8，2，－4．1．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于( )A．1B．2C．4D．8D [由已知，a4－2a＋3a8＝0，即4a7－2a＝0，又各项不为0，a7＝2，所以b7＝2，则b2b8b11＝b＝8．]2．(多选题)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝( )A．B．1C．D．2AC [因为a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，所以或所以＝q10＝，所以＝或＝．]5
3．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a10a11a12a13＝________，a8a15＝________．4 2 [∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9．∴a10a11a12a13＝4．又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4．∴a8a15＝±2．又∵{an}为递减数列，∴q>0．∴a8a15＝2．]4．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；……；第n次“扩展”，得到数列1，x1，x2，…，xt，4，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·4)，其中t＝2n－1，n∈N*．则数列{an}的通项公式an＝__________．3n＋1 [由an＝log2(1·x1·x2·…·xt·4)，可得an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·4)·4]＝log2＝3an－2，所以an＋1－1＝3(an－1)，则数列{an－1}是首项为a1－1＝log242－1＝3，公比为3的等比数列，故an－1＝3n，所以an＝3n＋1．]设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，__________．给出下列三个条件：条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．[解] 方案一：选择条件①．(1)因为数列{Sn＋a1}为等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)．设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以an＝a1qn－1＝2n－1．5
(2)由(1)得an＝2n－1，所以bn＝＝＝，所以Tn＝＝＝－＝－．方案二：选择条件②．(1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上，所以an＋1＝Sn＋1(n∈N＋)，所以an＝Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝an，即＝2(n≥2)．因为a1＝1，a2＝S1＋1＝a1＋1＝2，所以＝2适合上式．所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝a1qn－1＝2n－1．(2)同方案一的(2)．方案三：选择条件③．(1)当n≥2时，因为2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1 (ⅰ)，所以2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an，所以2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an (ⅱ)，(ⅰ)－(ⅱ)得2an＝nan＋1－2(n－1)an，即＝2(n≥2)，当n＝1时，2a1＝a2，＝2，适合上式．所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝a1qn－1＝2n－1．(2)同方案一的(2)．5
