27.2.3相似三角形应用举例人教版数学九年级下册27.2相似三角形,1.在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？2.观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？导入新知,怎样测量河宽？导入新知世界上最宽的河——亚马逊河,导入新知世界上最高的树——红杉,导入新知旗杆,导入新知乐山大佛怎样测量这些非常高大物体的高度？,利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.导入新知,1.能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理.2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的测量问题.素养目标,古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度.探究新知知识点1利用相似三角形测物体,例1据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF，又∠AOB＝∠DFE＝90°∴△ABO∽△DEF．因此金字塔的高为134m．素养考点1利用相似三角形测物体的高探究新知怎样测出OA的长？∴∴,【讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？【方法总结】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．（3）表达式：物1高：物2高=影1长：影2长探究新知,1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？∵△ABC∽△A'B'C'解得A'C'=54m答：这栋高楼的高度是54m.解：ABC1.8m3mA'B'C'90m?巩固练习∴即,AFEBO┐┐还可以有其他测量方法吗？△ABO∽△AEF平面镜【想一想】探究新知,测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.探究新知注：反射角与入射角相等是隐含条件.,2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B巩固练习,例2如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，解得PQ＝90.PQRSTab∴△PQR∽△PST．因此，河宽大约为90m.探究新知素养考点2利用相似三角形测物体的宽∴即,【讨论】测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离．该例题还可参照课本P41页练习2设计测量方案．探究新知,3.如图，测得BD=200m，DC=50m，EC=70m，求河宽AB．ADBEC解：∵AB∥CE∴△ABD∽△ECD答：河宽AB为280m.巩固练习∴即AB=280m.解得,测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.归纳：巩固练习,例3已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内．探究新知素养考点3利用相似三角形测量有遮挡的物体图（1）仰角水平线视线,解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．由题意可知，AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD，△AEH∽△CEK即解得EH＝8（m）由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．探究新知图（2）∴,【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样的?【方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．探究新知,4.如图，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G点，则AD＝_____＝_____，图中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC巩固练习,1.（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m连接中考巩固练习B,2.（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺连接中考巩固练习B,1.如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（）A．B．C．D．C课堂检测基础巩固题,2.如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是____米．8课堂检测基础巩固题,3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．EADCB60m50m120m课堂检测基础巩固题,解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD.∴，即，解得AB=100(m).因此，两岸间的大致距离为100m.EADCB60m50m120m课堂检测基础巩固题,如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.ABCDGEF课堂检测能力提升题,ABCDGEF解：由题意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，则解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗杆的高度为11.5m.∴课堂检测能力提升题,如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．ABCD课堂检测拓广探索题,解：如图：过点D作DE∥BC，交AB于点E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m，∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，故学校旗杆的高度为10m.EABCD课堂检测拓广探索题,相似三角形的应用举例利用相似三角形测量高度利用相似三角形测量宽度利用相似解决有遮挡物问题课堂小结,课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
