直线与平面平行的判定[A级 基础巩固]1．圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )A．平行 B．相交C．在平面内D．不确定解析：选A 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．故选A.2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．3.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )A．平行B．相交C．在平面α内D．平行或在平面α内解析：选D 在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD⊂α.故选D.4.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABCA1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有( )A．1条 B．2条C．3条D．无数条解析：选D 如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条．故选D.5.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是( )A．OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBA解析：选ABC 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确；PD⊂平面PCD，5
OM⊄平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故D不正确．故选A、B、C.6．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.答案：平行7．已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个__________.解析：若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)8．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：如图所示，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：69．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.10．如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明：如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且5
DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.[B级 综合运用]11．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )解析：选BCD 对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行．12．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．解析：∵M是A1D1的中点，∴直线DM与直线AA1相交，∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，∴DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，连接MM1，M1C(图略)．∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，∴MM1∥CD.∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，∴MM1＝CD.∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM∥CM1，∴DM∥平面BCC1B1.答案：相交 平行13．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________．解析：如图，连接A1C1，C1D，所以F为A1C1的中点，5
在△A1C1D中，EF为中位线，所以EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1.所以EF∥平面C1CDD1.同理，EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA14．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．(1)若弧的中点为D.求证：AC∥平面POD；(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积．解：(1)证明：设BC∩OD＝E，∵D是弧的中点，∴E是BC的中点，又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC∥平面POD.(2)设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，∴h＝r，l＝r，∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9(1＋)π.[C级 拓展探究]15．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．5
解：存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.证明如下：如图，取BE的中点N，连接CN，MN，则MN∥AB且MN＝AB.又PC∥AB且PC＝AB，所以MN綉PC，即四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，所以PM∥平面BCE.5
