第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和一、教学目标【知识与技能】了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.【过程与方法】经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.【情感、态度与价值观】经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】1.多边形的内角和公式.2.多边形的外角和公式.\n【教学难点】如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式.五、课前准备教师：课件、三角尺、多边形结构图等。学生：三角尺、直尺、多边形纸片。六、教学过程（一）导入新课如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗?（二）探索新知1.探究多边形的内角和定理教师问1：你知道三角形的内角和是多少度吗？学生回答：三角形的内角和等于180°.教师问2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？学生回答：都是360°.（出示课件4）教师问3：你能猜想四边形的内角和是多少度吗？学生回答：四边形的内角和等于360°.\n教师问4：你是如何得到这个结论的？你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？学生讨论回答并得出结论.（出示课件5）证明：如图，连接AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为：180°×2=360°.
教师问5：同学们想一想，还有其他的证明方法吗？学生讨论回答并得出结论.（出示课件6-8）解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3–180°
=360°.
解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：\n
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.
解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3–180°=360°.
结论：四边形的内角和为360°.
总结点拨：这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.教师问6：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和吗?学生回答：五边形的内角何为：内角和为180°×3=540°.
教师问7：如图，请你利用分割的方法探索六边形的内角和.学生讨论回答并得出结论.六边形的内角和等于720°.（180°×4=720°.）（出示课件11）\n教师问8：选择两种不同的将多边形分割成三角形的方法填入下表：多边形的边数图形分割出的三角形个数多边形的内角和456…………n学生讨论回答，并给出不同答案.多边形的边数图形分割出的三角形个数多边形的内角和422×180º=360º533×180º=540º644×180º=720º…………nn–2（n-2）·180º教师问9：通过填表，你知道多边形的内角和公式是什么了吗？\n学生回答：多边形的内角和等于(n－2)×180教师问10：还有其他的分割多边形为三角形的方法吗？学生讨论并回答，教师引导总结.总结点拨：（出示课件13）多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n–2)×180°.注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
教师问11：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？学生讨论交流回答，并得出结论：正多边形的每个内角的度数是，每个外角的度数是.例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.（出示课件9）
师生共同解答如下：解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2)×180°=360°，所以∠B＋∠D=360°–（∠A＋∠C）\n
=360°–180°=180°.
总结点拨：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.例2：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？（出示课件14）师生共同解答如下：解：设这个多边形边数为n，则
（n–2）•180=360+720，
解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，
（8–2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
例3：已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（出示课件16）（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．（出示课件17）
师生共同解答如下：（1）解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，\n
360°÷180°+2=4．
故甲同学说的边数n是4；
（2）解：依题意有
（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
2.合作探索多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
教师问12：看图想一想，五边形任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
学生回答：互补教师问13：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？学生回答：5×180°=900°（出示课件21）教师问14：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？五边形的外角和是多少呢？（出示课件22）学生回答：五边形的内角和+外角和=五个平角和五边形外角和=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2)×180°=360°
结论：五边形的外角和等于360°.
\n教师问15：小组合作完成下表.三角形四边形五边形六边形八边形十边形内角和外角和学生讨论给出答案.三角形四边形五边形六边形八边形十边形内角和180°360°540°720°900°1080°外角和360°360°360°360°360°360°教师问16：通过表格，你发现了什么规律？学生讨论回答：①多边形每增加一条边，内角和就增加180°；②多边形的外角和都是360°.教师问17：试证明你的结论.学生交流合作作出证明，教师查看给予引导.在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？（出书课件23）
证明：n边形外角和=n个平角–n边形内角和=n×180°–(n–2)×180°=360°
所以n边形的外角和等于360°（注意与边数无关）例4：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
\n（出示课件25）师生共同解答如下：解：设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于(n–2)•180°，
多边形外角和等于360°，
∴(n–2)•180°=2×360º.
解得n=6.
∴这个多边形的边数为6.
例5：已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.（出示课件26）解法一：设这个多边形的内角为7x°，外角为2x°，
根据题意得7x+2x=180，解得x=20.
即每个内角是140°，每个外角是40°.
360°÷40°=9.
答：这个多边形是九边形.
教师问：还有其他解法吗？
解法二：设这个多边形的边数为n，根据题意得（出示课件27）解得n=9.答：这个多边形是九边形.（三）课堂练习（出示课件31-35）1.判断．\n
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（ ）
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（ ）
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等.（ ）2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是________.
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）
A.360°B.540°
C.720°D.900°
5.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
6.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
参考答案：1.（1）√（2）×（3）√2.10\n3.1504.B5.解：设多边形的边数为n，则有180×（n–2）=1800°，解得n=12.∴原多边形边数为12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.6.解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
＝五边形的内角和
＝540°.
（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:本节主要学习多边形的内角和与外角和公式.（五）课前预习预习下节课（12.1）的相关内容。\n1.知道全等形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角等概念2.了解全等三角形的性质七、课后作业1、教材24页练习1,2,32、如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6m向左转60°,已知AB=BC=6m.(1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米?走过的路径是一个什么图形?为什么?(路径A到B到C到…)(2)求出这个图形的内角和.八、板书设计：九、教学反思：\n本节主要介绍多边形的内角和与外角和公式，是一节自主探究课，所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.在教学设计上，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握将复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法，让学生在获得数学活动经验的同时，提高探究、发现和创新的能力.
