第十一章三角形11.2.与三角形有关的角11.2.2三角形的外角一、教学目标【知识与技能】了解三角形的外角的两条性质,能利用三角形的外角性质解决问题.【过程与方法】经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力.【情感、态度与价值观】通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】1.了解三角形外角的概念及性质.2.能利用三角形外角的性质解决简单问题.【教学难点】\n1.能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”.2.了解“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的应用范围，并能解决简单问题.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等。学生：三角尺、直尺。六、教学过程（一）导入新课在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？（出示课件3）
（二）探索新知1.创设情境，导入三角形的外角的概念问题引入：发现老鼠独自在O处后，小猫打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住老鼠返回鼠窝的去路，小猫则直接在B处拦截老鼠，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.小猫从C处要转多少度角才能直达B处？（出示课件5）\n教师问1：题目中“小猫从C处要转多少度角才能直达B处？”就是求那个角的度数？学生回答：从图上看出就是求∠BCD的度数.教师问2：我们知道三角形的内角和是180°，利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？学生回答：由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
教师问3：像∠BCD这样的角有什么特征吗？（出示课件6）学生回答：一条边是三角形的边，另一条边不是三角形的变.教师问4：在问题中，像∠BCD这样的角被称为三角形的外角，根据∠BCD的构成，你能说明什么叫三角形的外角吗？学生讨论回答：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.教师总结如下：（出示课件7）如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
\n∠ACD是△ABC的一个外角.教师问5：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？学生回答：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.教师问6：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
学生回答：∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.
（出示课件8）教师问7：根据定义，画出三角形的外角.你能画出多少个？学生回答：如图，可以画出6个外角.教师问8：这几个角有什么关系？(位置关系和数量关系)学生回答，教师补充说明如下：（出示课件9）每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
教师总结如下：（出示课件10）三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；\n
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.2.手脑并用探索三角形外角的性质及外角和教师问9：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，求∠BAC的度数及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数.学生回答：∠BAC＝75°，∠1＝105°，∠2＝115°，∠3＝140°.教师问10：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
学生回答：∠BCD与∠ACB互补.
（出示课件12）教师问11：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
学生回答：∠A+∠B=∠BCD.
教师问12：你是怎么得出结论的呢？\n学生回答如下：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
教师问13：观察你的结论，你能发现三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗？学生讨论回答，教师总结：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.教师问14：试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.学生回答：已知：在△ABC中，∠1是三角形的一个外角.求证：∠1＝∠A＋∠B.证明：∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B.∵∠1与∠ACB是邻补角，∴∠1＋∠ACB＝180°.∴∠1＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝∠A＋∠B.教师问15：你能用作平行线的方法证明此结论吗？学生讨论并回答：（出示课件14）已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：过C作CE平行于AB，∴∠1=∠B，
（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A，
（两直线平行，内错角相等）\n∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
教师总结如下：（出示课件15）三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：
∵∠ACD是△ABC的一个外角.
∴∠ACD=∠A+∠B.
教师问16：如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝40°，∠BAC=75°则三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数之和是多少呢？学生计算并回答：∵∠BAC=75°，∴∠1=105°，同理可得：∠2=115°，∠3=140°.∴∠1+∠2+∠3=105°+115°+140°=360°3.利用三角形外角的性质求角的度数（出示课件17）例：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数。\n师生共同解答如下：解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°∴∠BFC=88°.出示课件18，学生自行练习解答，教师给出答案。4.借助辅助线求角的度数（出示课件19-20）例：如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．共同分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解答如下：\n解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.出示课件21-26，教师带领学生一起解答，并给出答案。教师问17：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？（出示课件27）
学生回答：解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2.
又知∠1+∠2+∠3=180°，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD\n
=2(∠1+∠2+∠3)=360°.
（出示课件28）解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，
∠CBF+∠2=180°②，
∠ACD+∠3=180°③，
又知∠1+∠2+∠3=180°，
①+②+③得
∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–180°=360°.
（出示课件29）解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，∠2＋∠3＝∠4＋∠BAM，
所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°
教师总结：三角形的外角和等于360°.出示课件30-32，学生解答练习。
（三）课堂练习（出示课件33-38）1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）\n
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（ ）
A．24°B．59°C．60°D．69°3.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
4.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是________的外角；
（2）若∠B=45°，∠BAE=36°，∠BCE=20°，试求∠AEC的度数.
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；\n
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．6.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
参考答案：1.（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×（6）√2.B3.360°4.（1）△ADC△ADE（2）解：根据三角形外角的性质有
∠ADC=∠B+∠BCE，
∠AEC=∠ADC+∠BAE.
所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE
=45°+20°+36°=101°.5.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；
\n（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．
6.解：∵∠1是△FBE的外角，∴∠1=∠B+∠E，同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中，
∠C+∠1+∠2=180º，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=180º.
（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:(1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系.(2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系.(3)三角形的外角和是360°.（五）课前预习预习下节课（11.3.1）的相关内容。知道多边形、多边形的对角线、正多边形的定义七、课后作业1、教材15页练习和教材17页第11题2、已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?\n八、板书设计：九、教学反思：本节主要介绍三角形的外角及其性质，是一节探究课.本节的知识是要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，教师放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.在教学设计上，利用变式训练让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学生探究、发现和创新的能力.
