27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质第二十七章相似九年级数学下（RJ）教学课件导入新课讲授新课当堂练习课堂小结,1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.(重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.(重点)学习目标,导入新课复习引入1.相似三角形的判定方法有哪些？◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似◑平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似◑三边成比例的两个三角形相似◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似◑两角分别相等的两个三角形相似◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似,2.三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？高中线角平分线周长面积,如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？讲授新课相似三角形对应线段的比一ABCA'B'C'合作探究,∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'．解：如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．则∠ADB=∠A'D'B'=90°.．∴△ABD∽△A'B'D'．A'B'C'D'∴如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应边BC和B′C′上的高之比．CABD,仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为k时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.试一试：,类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比.相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.归纳：,解：∵△ABC∽△DEF，DEFH例1已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6，EF=4，BG=4.8.求EH.∴(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，∴，解得EH=3.2.AGBC典例精析,1.如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是______.2.已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:4，若BC边上的高AD=12cm，则B'C'边上的高A'D'＝______.2:32:316cm练一练,相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？想一想：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'.从而归纳：相似三角形周长的比等于相似比.,相似三角形面积的比二如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么它们的面积比是多少？合作探究ABCA'B'C',由前面的结论，我们有D'DABCA'B'C'分别作BC，B′C′边上的高AD和A′D′.故,相似三角形的面积的比等于相似比的平方．归纳：,1.已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2…k周长比…面积比10000…试一试：24100100kk2,2.把一个三角形变成和它相似的三角形：(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的______倍；(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍.2510,3.两个相似三角形的一对对应边分别是35cm、14cm，(1)它们的周长差为60cm，这两个三角形的周长分别是_______________；(2)它们的面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2,解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，ABCDEF∴例2如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.∴△DEF∽△ABC，相似比为1∶2.,∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为ABCDEF,如果两个相似三角形的面积之比为2∶7，较大三角形一边上的高为7，那么较小三角形对应边上的高为_____.练一练,例3如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且,又∵△ABC的面积为100cm2，∴△ADE的面积为36cm2.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).BCADE,如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.ABCDFE练一练解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC．即相似比为1:2，面积比为1:4.∴,又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比为．∴面积比为1:4.设S△ABC=4，则S△ADE=1，S△EFC=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=ABCDFE,1.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍．()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．()√×当堂练习,3.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，AP，DQ是中线，若AP=2，则DQ的值为()A．2B．4C．1D.C,4.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为cm2.____14,5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF．∴△ADE∽△EFC．又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴AE:EC=2:3．则AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25．∴S△ABC=25．,6.如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC．ABCDE【分析】由题意可得△ADE∽△ABC，要求它们的面积比，可先求出其相似比．观察得到△ADE与△DCE同高，易得AE与CE的比，进而求解．解：过点D作AC的垂线，垂足为F，则F,∴即S△ADE:S△ABC＝4:9.∴又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF,相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比课堂小结相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形性质的运用
