人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷1一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A.∠A，∠B两内角的平分线的交点处B.AC，AB两边高线的交点处C.AC，AB两边中线的交点处D.AC，AB两边垂直平分线的交点处2.下列判断正确的是( )A.点(-3,4)与(3,4)关于x轴对称B.点(3,-4)与点(-3,4)关于y轴对称C.点(3,4)与点(3,-4)关于x轴对称D.点(4,-3)与点(4,3)关于y轴对称3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A.10°B.20°C.30°D.40°4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称，∠CAE=10°，连接BF，则∠ABF的度数是( )A.30∘B.35∘C.40∘D.45∘5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF//AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( )A.120°B.130°C.145°D.150°第37页共37页1.若等腰三角形的周长为19cm，一边长为7cm，则腰长为( )A.7cmB.5cmC.7cm或5cmD.7cm或6cm2.如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为( )A.5B.4C.3D.23.等腰三角形的底角是15∘，腰长为10，则其腰上的高为( )A.8B.7C.5D.44.如图，在△ABC中，AB=AC．(1)分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧相交于点D;(2)作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是( )A.∠BAD=∠CADB.△BCD是等边三角形C.AD垂直平分BCD.S四边形ABDC=AD⋅BC5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列选项中结论错误的是( )A.EF=BE+CFB.∠BOC=90∘+12∠AC.点O到△ABC各边的距离相等D.设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn第37页共37页二、填空题（本大题共8小题，共24分）1.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分，点P是直线m上的动点.若AB=6，AC=4，BC=7，则△APC的周长的最小值是 ．2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，点D到AB的距离为3，∠BAD=60∘，点F为AB的中点，点E为AC上的任意一点，则EF+EB的最小值为 ．3.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=4，则AC= ．4.已知∠AOB=45∘，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是 ．5.已知一个等腰三角形的两个内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形的底角的度数为 ．6.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=30∘，∠1=80∘，则∠2= ．7.如图，在△ABC中，CB=CA，点D在AB上.若BD=BC，AD=CD，则∠ACB= ．第37页共37页1.如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点; ②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25∘，则∠ACB的度数为 ．三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）2.已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC.将图中的等腰三角形全都写出来．并求∠B的度数．3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BC的垂直平分线交AC于点E，BE交AD于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．4.如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC.点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于点F.求证：(1)EF⊥AB．(2)DE=2DF．第37页共37页1.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求证：HC平分∠AHE；(3)求∠CHE的度数(用含α的式子表示)．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE=BG=6cm，∠BEG=60°，EF=2cm．(1)求∠DFG的度数．(2)求BC的长度．3.如图，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不与端点B，C重合)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．(1)尺规作图：在直线BC的下方过点B作∠CBE=∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点E；(2)求证：△BEC是等边三角形，(3)求证：∠AMN=60∘．第37页共37页1.如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．(1)求证：△BCE≌△ACD;(2)求证：CF=CH;(3)判断△CFH的形状并说明理由．2.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．(1)若设AP=x，则PC= ，QC= .(用含x的式子表示)(2)当∠BQD=30∘时，求AP的长．(3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化⋅如果不变，求出线段DE的长;如果变化，请说明理由．第37页共37页答案和解析1.【答案】D 【解析】略2.【答案】C 【解析】解：A、点(-3,4)与(3,4)关于y轴对称；B、点(3,-4)与点(-3,4)关于原点对称；C、点(3,4)与点(3,-4)关于x轴对称；D、点(4,-3)与点(4,3)关于x轴对称．故选：C．根据平面直角坐标系中对称点的规律就可以得到．主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．由余角的性质可求∠C=40°，由轴对称的性质可得∠AB'B=∠B=50°，由外角性质可求解．【解答】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B=∠B=50°，∴∠CAB'=∠AB'B-∠C=10°，故选：A． 4.【答案】C 第37页共37页【解析】【分析】此题主要考查了轴对称的性质、三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC度数是解题关键．利用轴对称的性质得出△BAC≌△FAG，进而结合三角形内角和定理与等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：∵△AFG与△ABC关于直线DE对称，∴△BAC≌△FAG，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AGF=∠AFG=70°，∴∠BAC=∠FAG=40°，∵∠CAE=10°，∴∠GAE=10°，∴∠BAF=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABF=∠AFB=40°．故选C． 5.【答案】B 【解析】解：∵AB=AC，∠C=65°，∴∠B=∠C=65°，∵DF//AB，∴∠CDE=∠B=65°，∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°；故选：B．由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=65°，由平行线的性质得出∠CDE=∠B=65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．6.【答案】D 【解析】第37页共37页【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是分类思想的运用．分两种情况讨论：当7cm为腰长时，当7cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：当7cm为腰长时，底边为5cm，符合三角形三边关系；当7cm为底边时，腰长为6cm，符合三角形三边关系；故腰长为7cm或6cm，故选：D． 7.【答案】D 【解析】解：如图，连接AO，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∵S△ABC=S△AOB+S△AOC，∴12BC×2=12AB⋅OE+12AC⋅OF，即12×2=12(OE+OF)，∴OE+OF=2；故选：D．三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积，根据△ABC是等边三角形，所以三角形是等底的三角形，且高OF+高OE等于三角形ABC的高．本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等．本题利用面积法解决问题，这也是几何题中常用的方法．8.【答案】C 【解析】略第37页共37页9.【答案】D 【解析】略10.【答案】D 【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(180∘-∠A)=90∘- 12∠A，∴∠BOC=180∘-(∠OBC+∠OCB)=90∘+12∠A，故B选项结论正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF//BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故A选项结论正确；过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接OA，如图，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE⋅OM+12AF⋅OD=12OD⋅(AE+AF)=12mn，故D选项结论错误；第37页共37页∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故C选项结论正确．故选D．11.【答案】10 【解析】∵直线m垂直平分BC，∴B、C两点关于直线m对称，如图，设直线m交AB于D，连接CD，则BD=CD．当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC的周长的最小值是6+4 =10．12.【答案】解：如图，连接BD．∵AB=BC= CD=AD，∴AC垂直平分BD．∴点B关于直线AC的对称点为点D．连接DF，则DF的长即为EF+EB的最小值．在△ABD中，由∠BAD=60∘，AD= AB，可得△ABD为等边三角形．∵点F为AB的中点，∴DF⊥AB．∴DF=3. ∴EF+EB的最小值为3．第37页共37页 【解析】见答案13.【答案】2 【解析】略14.【答案】等腰直角三角形 【解析】略15.【答案】30∘或80∘ 【解析】略16.【答案】40∘ 【解析】略17.【答案】108∘ 【解析】略18.【答案】105∘ 【解析】略第37页共37页19.【答案】解：图中等腰三角形有△ABC，△ADB，△ADC∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；∵BD=AD，DC=AC∴△ADB和△ADC是等腰三角形；∵AB=AC∴∠B=∠C∵BD=AD，DC=AC∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC=2∠B，在△ACD中，∵∠ADC=∠DAC=2∠B，∠C=∠B，∴5∠B=180°∴∠B=36°． 【解析】因为AB=AC，BD=AD，DC=AC，由等腰三角形的概念得△ABC，△ADB，△ADC是等腰三角形，再根据角之间的关系求得∠B的度数．此题考查了等腰三角形判定；解决此题的关键是熟练掌握运用等腰三角形的判定方法，注意数形结合的解题思想，在图形上找到等腰三角形是解答本题的关键．20.【答案】证明：∵BC的垂直平分线交AC于点E，∴BE=CE．∴∠EBC=∠C.∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90∘，∠EBC+∠BFD=90∘．∴∠CAD=∠BFD．∵∠BFD=∠AFE，∴∠AFE=∠CAD．∴AE=EF．∴E在AF的垂直平分线上． 【解析】见答案21.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=∠ABC=60∘．∵D第37页共37页为AC的中点，∴AD=CD=12AC．∵CE=12BC，∴CD=CE．∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30∘．∵∠ABC=60∘，∴∠EFB=180∘-60∘-30∘=90∘．∴EF⊥AB．(2)连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60∘．∵D为AC的中点，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30∘．∵∠E=30∘，∴∠DBC=∠E.∴DE=BD．∵∠BFE=90∘，∠ABD=30∘，∴BD=2DF.即DE=2DF． 【解析】见答案22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)；(2)证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，如下图所示，第37页共37页∵△ACD≌△BCE，∴S△ACD=S△BCE，AD=BE，∴12·AD·CM=12·BE·CN，∴CM=CN，∴HC平分∠AHE；(3)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AOC=∠BOH，∴∠AHB=∠ACB=α，∴∠AHE=180°-α，∴∠CHE=12∠AHE=90°-12α. 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；(2)首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可得S△ACD=S△BCE，AD=BE，根据三角形的面积公式可得CM=CN，即可证得CH平分∠AHE；(3)由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE的度数．23.【答案】解：(1)∵EB=BG=6cm，∠BEG=60°，∴△EBG是等边三角形，∴EG=BE=6cm，∠FGD=60°，∵EF=2cm，∴FG=4cm，∵AB=AC.AD平分∠BAC，第37页共37页∴AD⊥BC，BD=CD，∵∠DFG=90°-60°=30°，(2)在Rt△DFG中，∵FG=4cm，∠DFG=30°，∴DG=12∠GF=2cm，∴BD=BG-DG=4cm，∴BC=2BD=8cm． 【解析】(1)证明△BEG是等边三角形，推出∠DGF=60°，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．(2)想办法求出BD，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)作图如图所示．(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60∘，∴∠ACH=120∘，∵CN平分∠ACH，∴∠HCN=∠BCE=60∘，∵∠CBE=∠CBA=60∘，∴∠EBC=∠BCE=60∘，∴△BEC是等边三角形．第37页共37页(3)证明：连接ME，∵△ABC和△BCE都是等边三角形，∴AB=BC=BE．在△ABM和△EBM中，{AB=EB∠ABM=∠EBMBM=BM∴△ABM≌△EBM(SAS)，∴AM=EM，∠BAM=∠BEM，∵AM=MN，∴MN=EM，∴∠N=∠CEM，∵∠HCN=∠N+∠CMN=60∘，∠BEC=∠BEM+∠CEM=60∘，∴∠CMN=∠BEM=∠BAM，∵∠AMC=∠ABC+∠BAM=∠AMN+∠CMN，∴∠AMN=60∘． 【解析】(1)以B为圆心，以任意长为半径画弧，交AB、BC两边为D和F，以F为圆心，以DF为半径画弧，交前弧于G，作射线BG，交NC的延长线于E，则∠CBE=∠CBA;(2)证明△BCE三个角都是60∘，可得结论;(3)作辅助线，构建三角形全等，证明△ABM≌△EBM(SAS)，得AM=EM，∠BAM=∠BEM，证明∠CMN=∠BEM=∠BAM，根据三角形外角的性质可得结论．25.【答案】(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60∘．∴∠BCE=60∘+∠ACE=∠ACD．第37页共37页∴△BCE≌△ACD(SAS)．(2)证明：∵△BCE≌△ACD，∴∠FBC=∠HAC．∵∠ACB=60∘，∠FCH=180∘-∠ACB-∠ECD=60∘，∴∠BCF=∠ACH．又∵BC=AC，∴△BCF≌△ACH(ASA)．∴CF=CH．(3)解：△CFH是等边三角形．理由：∵CF=CH，∠FCH=60∘，∴△CFH是等边三角形． 【解析】见答案26.【答案】 (1)6-x；6+x；(2)解：∵在QCP中，∵∠BQD=30°，∠C=60°∴∠QPC=90°∴PC= 12QC，即6-x= 12(6+x)，解得x=2，∴AP=2；(3)解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、第37页共37页Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，∴在△APE和△BQF中，∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ，∴△APE≌△BQF(AAS)，∴AE=BF，PE=QF∵∠DFQ=∠DEP=90°，∠QDF=∠EDPPE=QF∴△QFD≌△PEDAAS,∴DF=DE=12EF∵EF=BE+BF=EB+AE=AB，∴DE= 12AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．(1)由△ABC是边长为6的等边三角形，AC=BC=6，设AP=x，则PC=6-x，QC=6+x；(2)由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= 12QC，即6-x= 12(6+x)，求出x的值即可；(3)作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由∠DFQ=∠DEP=90°，∠QDF=∠EDP，PE=QF，再证明△QFD≌△PED，进而可得出EF=BE+BF=EB+AE=AB，DE= 12AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变【解答】解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，故答案为：6-x第37页共37页；6+x；(2)见答案；(3)见答案． 人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷2一．选择题（共8小题，满分32分）1．“认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为（ ）第37页共37页A．48°B．54°C．74°D．78°3．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）A．20B．12C．16D．134．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边距离等于8，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A．PQ＞8B．PQ≥8C．PQ＜8D．PQ≤85．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（ ）A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB+BCC．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点第37页共37页7．在△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）A．（）n•75°B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°二．填空题（共8小题，满分32分）9．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝5，则PB＝ ．10．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长为 ．11．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是 ．12．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝ 度．第37页共37页13．如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为 ．15．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．16．如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．三．解答题（共8小题，满分56分）17．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC成轴对称图形．18．作图题（1）在图1中，画出△CDE关于直线AB的对称图形△C′D′E′第37页共37页（2）在图2中，已知∠AOB和C、D两点，在∠AOB内部找一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）求证：DC＝AB．20．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．第37页共37页21．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN＝BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．22．如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB＝10，AC＝8，求BE长．23．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．24．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t＝ （s）时，△PBC是直角三角形；第37页共37页（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．第37页共37页参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：B．2．解：∵在△ABC中，∠A＝78°，∠C＝∠C′＝48°，∴∠B＝180°﹣78°﹣48°＝54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B＝∠B′＝54°．故选：B．3．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BC＝4，∵AD⊥BC，点E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC＝6，∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝16，故选：C．4．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于8，∴点P到OB的距离为8，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥8．故选：B．5．解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．第37页共37页故选：D．6．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝BC+AB，故B正确；∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选：D．7．解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．故选：D．第37页共37页8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA＝5．故答案为：5．10．解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．所以其周长是12cm．故答案为12cm．11．解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，∴OD＝BD，OE＝CE，∵AB＝5，AC＝4，第37页共37页∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DO+EO+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故答案为：9．12．解：∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝25°；∴∠ABD＝∠BDC+∠C＝50°；△ABD中，AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°；故∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝80°．故答案为：80．13．解：∵等边△ABC，∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABE+∠EBC＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°，∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°，∴∠APE＝60°．故答案为：60．14．解：分两种情况：①在左图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，第37页共37页∴∠A＝60°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝60°；②在右图中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝30°，∴∠DAB＝60°，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝30°．故答案为：30°或60°．15．解：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM＝PE＝2，PE＝PN＝2，∴MN＝2+2＝4．故答案为：4．16．解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，第37页共37页∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×4＝2，∴EG＝AG＝×2＝1，∴DF＝1．故答案为：1．三．解答题（共8小题）17．画对任意三种即可．．18．解：（1）如图1中，△C′D′E′即为所求；（2）作出线段CD的垂直平分线MN，∠AOB的平分线OQ，直线MN与OQ的交点为P，等P即为所求；第37页共37页19．（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；（2）证明：∵∠DAB＝45°，∠DAC＝75°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∵AB＝AC，∴DC＝AB．20．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，第37页共37页∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．21．解：△OMN是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中点，∴AO＝BO＝CO（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；∠B＝∠C＝45°；在△OAN和OBM中，，∴△OAN≌△OBM（SAS），∴ON＝OM（全等三角形的对应边相等）；∴∠AON＝∠BOM（全等三角形的对应角相等）；又∵∠BOM+∠AOM＝90°，∴∠NOM＝∠AON+∠AOM＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形．第37页共37页22．解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝10，AC＝8，∴BE＝1．23．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，第37页共37页又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．24．解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝（2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ，3﹣t＝0.5t，所以t＝2；当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，3﹣t＝2t，所以t＝1；所以t＝1或2（s）（3）因为∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，所以∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，又因为∠A＝60°，所以AD＝2AP，2t+t＝3，解得t＝1（s）；（4）相等，如图所示：第37页共37页作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE∥QG，则易知∠G＝∠AEP，∠A＝∠ACB＝∠QCG＝60°，在△EAP和△GCQ中，因为，所以△EAP≌△GCQ（AAS），所以PE＝QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．第37页共37页
